备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题35-定比点差法、齐次化、极点极线与蝴蝶问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题35

定比点差法、齐次化、极点极线问题与蝴蝶问题

【题型归纳目录】

题型一：定比点差法

题型二：齐次化

题型三：极点极线问题

题型四：蝴蝶问题

【典例例题】

题型一：定比点差法

例1．已知椭圆（）的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于，两点，若，求

例2．已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围．

题型二：齐次化

例3．如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q(均异于点，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．

例4．已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点．

题型三：极点极线问题

例5．已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点．

（1）求椭圆M的离心率；

（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．

例6．若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

题型四：蝴蝶问题

例7．在平面直角坐标系中，已知圆，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，设点的轨迹为曲线。

(1)求曲线的方程；

(2)若，设过点的直线与曲线分别交于点，其中，求证：直线必过轴上的一定点。(其坐标与无关)

例8．如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3．