备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题11-导数中的同构问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题11

导数中的同构问题

【考点预测】

知识点一、常见的同构函数图像

知识点二：同构式的基本概念与导数压轴题

1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式

2、同构式的应用：

（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根

（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式。<同构小套路>

①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；

③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.

（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程

（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

3、常见的指数放缩：

4、常见的对数放缩：

5、常见三角函数的放缩：

6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：

（1） 且时，有

（2） 当 且时，有

再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）

（3）

（4）

（5）

（6）

再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：

（7）；

（8）；

【题型归纳目录】

题型一：不等式同构

题型二：同构变形

题型三：零点同构

题型四：利用同构解决不等式恒成立问题

题型五：利用同构求最值

题型六：利用同构证明不等式

【典例例题】

题型一：不等式同构

例1．已知，且，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

构造函数，根据单调性即可确定的大小.

【详解】

设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以.

故选：A.

【点睛】

解本题的关键是发掘题中三个式子的相似性，并进行等价变形，易于构造函数，本题多次利用函数的单调性，先利用单调性判断函数值大小，再由函数单调性判断自变量大小.

题型二：同构变形

例2．对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)；

(7)；

(8)．

【答案】(1)，.

(2)，.

(3)，.

(4)，.

(5)，.

(6)，.

(7)，.

(8)，.

【解析】

【分析】

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）根据给定的不等式或等式，利用等式不等式性质、指对数式互化变形成不等号或等号两边结构相同的形式，再构建函数作答.

(1)

显然，则，.

(2)

显然，则，.

(3)

显然，则，.

(4)

显然，则

，.

(5)

，.

(6)

，，.

(7)

，.

(8)

，.

题型三：零点同构

例3．已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

先将函数化为，令，进而只需说明在R上有两个零点，然后对函数求导，讨论出函数的单调区间和最值，最后通过放缩法解决问题.

【详解】

，

设，，即函数在上单调递增，易得，于是问题等价于函数在R上有两个零点，，

若，则，函数在R上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；

若，则时，，单调递减，时，，单调递增.

因为函数在R上有两个零点，所以，

而，

限定 ，记，，即在上单调递增，于是，则时 ，，此时，因为，所以，于是时，.

综上：当时，有两个交点，a的最小整数值为2.

故选：C.

题型四：利用同构解决不等式恒成立问题

例4．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））若对任意，恒有，则实数的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可.

【详解】

由题意可知，不等式变形为.

设，

则

.

当时，即在上单调递减.

当时，即在上单调递增.

则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.

所以，即在上单调递增.

若使得对任意，恒有成立.

则需对任意，恒有成立.

即对任意，恒有成立，则在恒成立.

设则.

当时，，函数在上单调递增

当时，，函数在上单调递减

则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.

所以，即，则实数的最小值为.

故选：D

【点睛】

本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题.

例5．已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

问题等价于对任意恒成立，构造函数，利用导数求出函数的单调性，根据单调性求出的最小值，即可求出m的取值范围.

【详解】

由题可得对任意恒成立，等价于对任意恒成立，

令，则，

令，则，

在单调递增，

，

存在唯一零点，且，使得，

在单调递减，在单调递增，，

，即，

令，显然在单调递增，则，即，

则，.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是分离参数，将题目转化为求解的最小值.

题型五：利用同构求最值

例6．已知函数，，若，，则的最小值为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值.

【详解】

由题意，，得，

∴，即，

又，得

∵在上单调递增，

∴综上知：，

∴，

令，，则

∴，得；，得；

故在上单调递减，在上单调递增.

∴，

故选：C

【点睛】

关键点点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.

题型六：利用同构证明不等式

例7．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，求证：函数有两个零点，且.

【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）直接求导，分和讨论单调性即可；

（2）先讨论当时无零点，再讨论时，通过同构得到，即，确定在上的零点，即可证明有两个零点；由相减得，换元令，进而得到，通过放缩构造函数即可求证.

(1)

定义域为，，当时，，在上单调递增；

当时，由得，当时，单调递减，当时，单调递增；

综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；

(2)

当时，因为，所以，无零点.当时，由，

得，即，设，则有，因为在上成立，

所以在上单调递减，当时，，所以等价于，

即，所以的零点与在上的零点相同.若，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，

又， ，，

所以在和上各有一个零点，即在上有两个零点，综上有两个零点.

不妨设，则，相减得，

设，则，代入上式，解得，所以，

因为，所以，因此要证，只需证，即证，

设，则，所以在递增，，

即，因为，所以可化成，又因为，所以.