备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题37-切线与切点弦问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题37

切线与切点弦问题

【方法技巧与总结】

1、点在圆上，过点作圆的切线方程为．

2、点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．

3、点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．

4、点在圆上，过点作圆的切线方程为．

5、点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．

6、点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．

7、点在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为．

8、点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．

9、点在椭圆内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．

10、点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．

11、点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．

12、点在双曲线内，过点作双曲线的弦（不过双曲线中心），分别过作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．

13、点在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为．

14、点在抛物线外，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．

15、点在抛物线内，过点作抛物线的弦，分别过作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．

【题型归纳目录】

题型一：切线问题

题型二：切点弦过定点问题

题型三：利用切点弦结论解决定值问题

题型四：利用切点弦结论解决最值问题

题型五：利用切点弦结论解决范围问题

【典例例题】

题型一：切线问题

例1．已知平面直角坐标系中，点到抛物线准线的距离等于5，椭圆的离心率为，且过点．

（1）求，的方程；

（2）如图，过点，作椭圆的切线交于，两点，在轴上取点，使得，试解决以下问题：

①证明：点与点关于原点中心对称；

②若已知的面积是椭圆四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线的方程．

题型二：切点弦过定点问题

例2．已知经过圆上点，的切线方程是．

（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点，的切线方程；

（2）已知椭圆，为直线上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为、，

①求证：直线过定点．

②当点到直线的距离为时，求三角形的外接圆方程．

题型三：利用切点弦结论解决定值问题

例3．已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点

（1）求椭圆的标准方程

（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的切线，切点分别为，，不在坐标轴上），若直线的横纵截距分别为，，求证：为定值

题型四：利用切点弦结论解决最值问题

例4．已知为抛物线上一点，是抛物线的焦点，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，，与抛物线相切于点，，与轴分别交于点，，求四边形面积的最大值．

题型五：利用切点弦结论解决范围问题

例5．如图，已知点在半圆上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，直线，，分别与轴交于点，，，记的面积为，的面积为．

（Ⅰ）若抛物线的焦点坐标为，求的值和抛物线的准线方程；

（Ⅱ）若存在点，使得，求的取值范围．