备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题2-函数的综合运用

2024高考数学二轮复习

 重难点专题02

函数的综合应用

【考点预测】

高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.

【题型归纳目录】

题型一：函数与数列的综合

题型二：函数与不等式的综合

题型三：函数中的创新题

题型一：函数与数列的综合

例1．已知数列满足，，其中是自然对数的底数，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用不等式可得，即，由累加法可得，利用不等式可得，即，同理用累加法可得，则，即可求解.

【详解】

∵（当时等号成立），∴，

当时，，即，

则，，

整理得，即，

即，，，，

将个不等式相加得，即，，

令，则，

当时，，当时，，

则在上单调递增，在上单调递减，即在出取得最大值，

，所以（当时等号成立），

当时，（当时等号成立），

即当时， ，，，

，，即，

同理利用累加法可得，即，

所以，则，

故选： .

例2．已知等差数列的前n项和为，满足，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

把已知等式变形为，构造函数，可知和是函数的零点，故利用导数研究其单调性并研究其零点，结合函数零点存在性定理求得的关系，再利用等差数列的性质与求和公式即可求解.

【详解】

令，即和是函数的零点

∵，故f(x)最多有一个零点

，

∴

又∵，，

∴1＜＜2，

∴，，∴.

故选：B

【方法技巧与总结】

利用函数与数列知识的相互联系、相似性质：

（1）抽象函数的关系与数列递推关系式类似.(2)函数单调性与数列单调性的相似性.

（3）数列与不等式的综合可以利用数列的形式构造辅助函数，利用函数的性质证明不等式，因此解决数列问题可转化为函数问题，用函数的知识或方法解决.

题型二：函数与不等式的综合

例3．已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题可得函数关于点对称，函数在R上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得.

【详解】

由，得且函数关于点对称．

由对任意，，均有，

可知函数在上单调递增．

又因为函数的定义域为R，

所以函数在R上单调递增．

因为a，b为关于x的方程的两个解，

所以，解得，

且，即．

又，

令，则，

则由，得，

所以．

综上，t 的取值范围是.

故选：D．

例4．已知函数，若关于的不等式有且仅有两个整数解，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

令，讨论的单调性，分析画出函数的图象，由可知.

【详解】

关于的不等式有且仅有两个整数解，转化为有且仅有两个整数解，令，

当 ，，，所以在上单调递减，同理已知在，上单调递减，在上单调递增，且，的图象如下图，而的距离为1，即在之间有且仅有两个整数解，所以，则的取值范围是：.

故答案为：.

例5．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意先求，然后利用倒序相加法求，则由可得，求出的最小值即可求得的取值范围

【详解】

因为，

所以，

由，

，

所以，所以，

所以由，得，

，

，

所以，

令，（）则当，递减，当时，递增，

因为，

所以，

所以，

即的取值范围是，

故答案为：

【方法技巧与总结】

不等式问题转化为函数问题是静态转化为动态，常量转化为变量，这体现了函数思想，并能用函数的图像及性质解答.

题型三：函数中的创新题

例6.（多选）对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（        ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】

【分析】

由 “和谐区间”定义，结合每个函数进行判断，逐一证明函数存在或不存在“和谐区间”即可

【详解】

对A，可知函数单调递增，则若定义域为时，值域为，故不存在“和谐区间”；

对B，，可假设在存在“和谐区间”，函数为增函数，若定义域为时，值域为，则，解得（符合），（舍去），故函数存在“和谐区间”；

对C，，对称轴为，先讨论区间，函数为减函数，若定义域为时，值域为，则满足，解得，故与题设矛盾；同理当时，应满足，解得，故无解，所以不存在“和谐区间”；

对D，为单增函数，则应满足，可将解析式看作，，由图可知，两函数图像有两个交点，则存在“和谐区间”

故选BD

【点睛】

本题考查函数新定义，函数基本性质，方程与函数的转化思想，属于难题

例7.（多选）设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，.若函数（，且），则下列说法正确的是（       ）

A．在区间上为单调函数

B．在区间上不存在最大值

C．在区间上有5个零点

D．若的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点，则.

【答案】BD

【解析】

由题意，画出的图象，观察在区间的图像即可判断选项AB；观察在区间上的零点即可判断选项C；通过条件分析出函数与的图象至少有4个交点，观察图像得到，即可判断选项D.

【详解】

由题意，画出的图象如图所示：

由在区间上的图象可知，

在区间上为非单调函数，A项错误；

在区间上，，没有最大值，B项正确；

无论还是，在区间内恒有1个零点，

由图象可知，在区间上有5个零点，

所以在区间上有6个零点，C项错误；

要使的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点，

则函数与的图象至少有4个交点，

由图象得，

解得，D项正确.

故选：BD.

【点睛】

关键点睛：本题是函数的综合问题，主要考查函数的图像，函数的单调性以及考生对新定义的理解.数形结合是解决本题的关键.

例8.已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．

【答案】

【解析】

画出函数及其关于对称的曲线的简图，根据图像，分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小，利用相切求得切点坐标，即得解．

【详解】

,

函数在单调递增，单调递减.

它的图像及关于直线对称的图像如图所示：

分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小.

令，又P在y轴右侧，；

根据两条曲线的对称性，且P，Q处的切线斜率相等，点Q为点关于对称的点，可求得

因此PQ中点坐标为：

故答案为：

【点睛】

本题考查了函数综合，考查了函数的对称性，单调性综合应用，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于难题．