备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题9-函数零点问题的综合运用

2024高考数学二轮复习

重难点专题9

函数零点问题的综合应用

【方法技巧与总结】

1.函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

【题型归纳目录】

题型一：零点问题之一个零点

题型二：零点问题之二个零点

题型三：零点问题之三个零点

题型四：零点问题之max，min问题

题型五：零点问题之同构法

题型六：零点问题之零点差问题

题型七：零点问题之三角函数

题型八：零点问题之取点技巧

【典例例题】

题型一：零点问题之一个零点

例1．已知函数．

（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；

（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围．

【解答】解：（1），

是函数的一个极值点，则．

，．

，

当时，恒成立，在上单调递减．

当时，．

在，上单调递减，在递增．

综上，当时，在上单调递减．

当时，在，上单调递减，在递增．

（2）在上有且仅有一个零点，即方程有唯一解，

令，，令，可得或．

时，，时，，时，

在递增，在，递减，

且时，，时，

或．

，或

所以，的取值范围，．

题型二：零点问题之二个零点

例2．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围．

【解答】解：（1）的定义域为，且，

当时，，此时在上单调递增；

当时，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）由（1）知，当时，在上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；

当时，在上单调递增，在上单调递减，则，

当时，，函数至多有一个零点，不合题意；

当时，，

由于，且，

由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，

由于，且（由于，

由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点；

综上，实数的取值范围为．

题型三：零点问题之三个零点

例3．已知函数，．

（1）求的极值；

（2）若方程有三个解，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）的定义域为，

，

当时，在上递减，在上递增，

所以在处取得极小值，

当时，，所以无极值，

当时，在上递增，在上递减，

所以在处取得极大值．

（2）设，即，

．

①若，则当时，，单调递减，

当时，，单调递增，至多有两个零点．

②若，则，（仅（1），

单调递增，至多有一个零点．

③若，则，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减，

要使有三个零点，必须有成立．

由（1），得，这与矛盾，所以不可能有三个零点．

④若，则．当或时，，单调递增；

当时，，单调递减，

要使有三个零点，必须有成立，

由（1），得，

由及，得，

．并且，当时，，，

，

．

综上，使有三个零点的的取值范围为．

题型四：零点问题之max，min问题

例4．已知函数，．

（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；

（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．

【解答】解：（1）若函数的定义域为，

则任意，使得，

所以△，解得，

所以实数的取值范围为．

（2）若函数在上单调递减，

又因为在上为减函数，

所以在上为增函数且任意，，

所以，且（1），

即，且，

解得，

所以的取值范围为，．

（3）因为当时，，

所以，，

所以在上无零点，

①当时，过点，且对称轴，

作出的图象，可得只有一个零点，

②当时，过点，且对称轴，

当△，即时，只有一个零点，

当△，即时，的零点为，由两个零点，，

当△，即时，令，解得，，且，，

若，即时，函数有3个零点，，，

若，即时，函数有1个零点，

若若，即时，函数有2个零点，，

综上所述，当，，时，只有一个零点，

当或时，有两个零点，

当，时，有三个零点．

题型五：零点问题之同构法

例5．已知函数．

（1）若，求函数的极值；

（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围．

【解答】解析：（1）当时，，，，

显然在单调递增，且，

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

在处取得极小值，无极大值．

（2）函数有两个零点，即有两个解，即有两个解，

设，则，单调递增，

有两个解，即有两个解．

令，则，

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

，，当时，

．

题型六：零点问题之零点差问题

例6．已知函数，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．

【解答】（1）解：当时，，

，，

令，可得，令，可得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）证明：函数的定义域为，，

令，

因为函数有两个极值点，，

所以，是函数的两个零点，

，

，令，可得，令，可得，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

所以，，

由，可得，

因为，所以，

所以要证，即证，只需证（2），

因为，

所以（2），

所以，得证．

题型七：零点问题之三角函数

例7．已知函数，为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

【解答】证明：（1）的定义域为，

，，

令，则在恒成立，

在上为减函数，

又，，由零点存在定理可知，

函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，

在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；

（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；

当时，单调递增，，单调递增；

由于在，上单调递减，且，，

由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，

当，时，单调递减，，单调递增；

当时，单调递减，，单调递减．

当，时，，，于是，单调递减，

其中，

．

于是可得下表：

结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，

由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，

当，时，，则恒成立，

因此函数在，上无零点．

综上，有且仅有2个零点．

题型八：零点问题之取点技巧

例8．已知函数.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）设，若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；

（2）求出的导数，讨论的范围，判断函数的单调性，利用零点存在性定理进行判断.

【详解】

解：（1）当时，，，

，，

∴切线方程为即；

（2）∵，

∴.

①当时，在上单调递增，在上单调递减.

∵，.∴在上有且只有一个零点.

取，使，且，则.

即有两个不同的零点.

②当时，，此时只有一个零点.

③当时，令，得或.

当时，，恒成立，∴在上单调递增.

当时，即.若或，则；

若，则.

∴在和上单调递增，在上单调递减.

当时，即.若时，

若，则.

∴在和上单调递增，在上单调递减

当时，∵，

.

∴无零点，不合题意.

综上，有两个零点的取值范围是.

【点睛】

本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.