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山东省济南第五中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）
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这是一份山东省济南第五中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省济南五中九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（每小题4分共40分）
1．下列方程是一元二次方程（ ）
A．x+2y＝1 B．2x（x﹣1）＝2x2+3
C．3x+＝4 D．x2﹣2＝0
2．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
3．把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
4．如果，那么k的值为（ ）
A．﹣1 B． C．2或﹣1 D．或﹣1
5．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“+”或“﹣”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知如图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图（1）、（2）中的两个三角形，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似
C．只有（1）相似 D．只有（2）相似
9．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
10．使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（ ）
A．x（13﹣x）＝20 B．x•＝20
C．x（13﹣x）＝20 D．x•＝20
二、填空题（每小题4分共24分）
11．若关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0的一个根是1，则c的值是 ．
12．关于x的方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
13．在一个不透明的布袋中，有红球、黑球、白球共60个，它们除颜色外其他都相同．小明从中任意摸出一个球，查看色后放回并摇匀，通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黑球的频率分别稳定在0.15和0.45，则他估计布袋中白球的个数约是 个．
14．如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED，若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为 ．
15．如图，点D在△ABC的边AC上，若要使△ABD与△ACB相似，可添加的一个条件是 （只需写出一个）．
16．如图，已知点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若线段AB的长10厘米，则线段CD长 厘米．
三、解答题：
17．（20分）解下列方程：
（1）x2＝25；
（2）x2﹣4x+2＝0；
（3）x2+3x+2＝0；
（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
19．我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙长31米），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的边长各是多少米？
20．在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机地摸出一个小球记下标号后放回，再随机地摸出一个小球记下标号，求两次摸出小球的标号之和等于4的概率．
21．百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
23．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，＝＝．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数：
（3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE．
24．△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ ，PB＝ （用含t的代数式表示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题4分共40分）
1．下列方程是一元二次方程（ ）
A．x+2y＝1 B．2x（x﹣1）＝2x2+3
C．3x+＝4 D．x2﹣2＝0
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
解：A、x+2y＝1是二元一次方程，故错误；
B、方程去括号得：2x2﹣2x＝2x2+3，
整理得：﹣2x＝3，为一元一次方程，故错误；
C、3x+＝4是分式方程，故错误；
D、x2﹣2＝0，符合一元二次方程的形式，正确．
故选：D．
【点评】要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，
解得k≥﹣2且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
解：∵x2﹣8x+3＝0
∴x2﹣8x＝﹣3
∴x2﹣8x+16＝﹣3+16
∴（x﹣4）2＝13
∴m＝﹣4，n＝13
故选：C．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．如果，那么k的值为（ ）
A．﹣1 B． C．2或﹣1 D．或﹣1
【分析】分两种情况讨论．①a+b+c≠0，利用比例性质得出；②a+b+c＝0，利用分式的性质得出．
解：当a+b+c≠0时，根据比例性质得到：＝＝＝k；
当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，k＝＝＝﹣1．
因而k的值是或﹣1．
故选：D．
【点评】利用等比性质时，注意运用的条件：各式分母的和不等于0．
5．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】移项，系数化成1，再配方，即可得出选项．
解：2x2﹣3x﹣1＝0，
2x2﹣3x＝1，
x2﹣x＝，
x2﹣x+＝+，
（x﹣）2＝，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
解：根据题意得：AB＝＝，AC＝，BC＝2，
∴AC：BC：AB＝：2：＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
7．在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“+”或“﹣”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】让填上“+”或“﹣”后成为完全平方式的情况数除以总情况数即为所求的概率．
解：能够凑成完全平方式，则2xy前可是“﹣”，也可以是“+”，但y2前面的符号一定是：“+”，
此题总共有（﹣，﹣）、（+，+）、（+，﹣）、（﹣，+）四种情况，能构成完全平方式的有2种，
所以概率是 ．
故选：C．
【点评】此题考查完全平方公式与概率的综合应用，注意完全平方式的形式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；a2±2ab+b2能构成完全平方式．
8．已知如图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图（1）、（2）中的两个三角形，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似
C．只有（1）相似 D．只有（2）相似
【分析】在图（1）中，根据三角形内角和定理求出∠C，根据两角对应相等的两个三角形相似证明；在图（2）中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明．
解：在图（1）中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣35°＝70°，
则∠A＝∠D，∠C＝∠E，
∴△ABC∽△DFE；
在图（2）中，＝，＝＝，
∴＝，又∠AOC＝∠DOB，
∴△AOC∽△DOB，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出＝，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
解：∵▱ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE＝AD，
∴＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．
10．使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（ ）
A．x（13﹣x）＝20 B．x•＝20
C．x（13﹣x）＝20 D．x•＝20
【分析】根据铁丝网的总长度为13m，长方形的面积为20m2，来列出关于x的方程，由题意可知，墙的对边为xm，则长方形的另一对边为m，则可利用面积公式求出即可．
解：设墙的对边长为xm，可得方程：x×＝20．
故选：B．
【点评】本题主要考查长方形的周长和长方形的面积公式，得出矩形两边长是解题关键．
二、填空题（每小题4分共24分）
11．若关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0的一个根是1，则c的值是 1 ．
【分析】把x＝1代入原方程得到2﹣3+c＝0，然后解一次方程即可．
解：把x＝1代入2x2﹣3x+c＝0得2﹣3+c＝0，
解得c＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．关于x的方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞0且m≠1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：∵方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，
解得m＞0，
即m的取值范围为m＞0且m≠1．
故答案为：m＞0且m≠1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．在一个不透明的布袋中，有红球、黑球、白球共60个，它们除颜色外其他都相同．小明从中任意摸出一个球，查看色后放回并摇匀，通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黑球的频率分别稳定在0.15和0.45，则他估计布袋中白球的个数约是 24 个．
【分析】由红球与黑球的频率确定出白球的频率，用频率估计概率，用摸到白球的概率乘以60即可估算出白球数．
解：根据题意得：60×（1﹣0.15﹣0.45）＝60×0.4＝24（个）．
故答案为：24．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例，再计算其个数．
14．如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED，若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为 10 ．
【分析】根据已知条件可知△ABC∽△AED，再通过两三角形的相似比可求出AB的长．
解：在△ABC和△AED中，
∵∠ABC＝∠AED，∠BAC＝∠EAD，
∴△AED∽△ABC，
∴＝，
又∵DE＝4，AE＝5，BC＝8，
∴AB＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证出△ABC∽△AED，是一道基础题．
15．如图，点D在△ABC的边AC上，若要使△ABD与△ACB相似，可添加的一个条件是 ∠ABD＝∠C（答案不唯一） （只需写出一个）．
【分析】两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可
解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC等．
故答案为：∠ABD＝∠C（答案不唯一）．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
16．如图，已知点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若线段AB的长10厘米，则线段CD长 （10﹣20） 厘米．
【分析】根据黄金分割的定义得到AD＝BC＝AB＝5﹣5，然后利用CD＝AD+BC﹣AB进行计算．
解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，
∴AD＝BC＝AB＝×10＝5﹣5，
∴CD＝AD+BC﹣AB＝10﹣10﹣10＝（10﹣20）cm．
故答案为（10﹣20）．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
三、解答题：
17．（20分）解下列方程：
（1）x2＝25；
（2）x2﹣4x+2＝0；
（3）x2+3x+2＝0；
（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
【分析】（1）直接开平方法解方程；
（2）根据配方法，可得答案；
（3）根据因式分解法，可得答案；
（4）根据因式分解法，可得答案．
解：（1）x2＝25，
x＝±5．
∴x1＝5，x2＝﹣5；
（2）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝2，
（x﹣2）2＝2，
x﹣2＝，
解得x1＝2+，x2＝2﹣；
（3）x2+3x+2＝0，
（x+2）（x+1）＝0
x+2＝0或x+1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝﹣1；
（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1），
（x﹣1）（x+3）﹣5（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+3﹣5）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据不同的题目选择不同的方法．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
（2）p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，代入（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求得m的值．
解：（1）根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×（m﹣1）≥0，解得m≤2；
（2）p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，
则（p2﹣2p+3）（m+4）＝7即（4﹣m）（4+m）＝7，
解得：m＝3（舍去）或﹣3．
故m的值为﹣3．
【点评】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，（2）中注意求得的m要满足（1）中m的范围．
19．我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙长31米），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的边长各是多少米？
【分析】设矩形场地的长为x米，则宽为米，根据题意列出相应的一元二次方程即可求解．
解：设矩形场地的长为x米，则宽为米，
由题意得：，
∴，
∴x2﹣62x+960＝0，
∴（x﹣30）（x﹣32）＝0，
解得：x＝30或x＝32（舍去），
∴，
∴矩形场地的长为30米，宽为16米．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
20．在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机地摸出一个小球记下标号后放回，再随机地摸出一个小球记下标号，求两次摸出小球的标号之和等于4的概率．
【分析】用树状图列举出所有情况，看两次摸出小球的标号之和等于4的情况数占总情况数的多少即可．
解：由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有9个，这些结果出现的可能性相等，标号之和等于4的结果共有3种．
所以P（标号之和等于4）＝＝．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
21．百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【分析】设每件童装降价x元，那么平均每天就可多售出2x元，根据平均每天销售这种童装盈利1200元，即销量×每件的利润＝1200元，列出方程求解即可．
解：设每件童装应降价x元，则
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
即：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
∵要扩大销售量，减少库存，
∴舍去x1＝10．
答：每件童装应降价20元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出平均每天就可多售出的件数，再根据题意列出现在一天可售出的件数及每件盈利的总钱数，找出题中的等量关系列出方程求解即可．
22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AF＝AM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE﹣AD＝4.9．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
23．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，＝＝．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数：
（3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE．
【分析】（1）根据相似三角形的性质定理得到∠BAC＝∠DAE，结合图形，证明即可；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵＝＝．
∴△ABC∽△ADE；
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF，
即∠BAD＝∠CAE；
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ADE＝∠ABE+∠BAD，
∴∠EBC＝∠BAD＝21°；
（3）证明：连接CE，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF，
即∠BAD＝∠CAE，
∵＝．
∴△ABD∽△ACE．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ 2tcm ，PB＝ ＝（5﹣t）cm （用含t的代数式表示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据路程＝速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB﹣AP就可以求出PB的长．
（2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式建立方程，解方程即可．
解：（1）由题意，得：BQ＝2t（cm），PB＝（5﹣t）cm．
故答案为：2tcm，（5﹣t）cm．
（2）存在，理由如下：
由题意得：×2t×（5﹣t）＝4，
解得：t1＝1，t2＝4（不符合题意，舍去），
∴存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2，t＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2023-2024学年山东省济南五中九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（每小题4分共40分）
1．下列方程是一元二次方程（ ）
A．x+2y＝1 B．2x（x﹣1）＝2x2+3
C．3x+＝4 D．x2﹣2＝0
2．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
3．把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
4．如果，那么k的值为（ ）
A．﹣1 B． C．2或﹣1 D．或﹣1
5．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“+”或“﹣”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知如图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图（1）、（2）中的两个三角形，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似
C．只有（1）相似 D．只有（2）相似
9．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
10．使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（ ）
A．x（13﹣x）＝20 B．x•＝20
C．x（13﹣x）＝20 D．x•＝20
二、填空题（每小题4分共24分）
11．若关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0的一个根是1，则c的值是 ．
12．关于x的方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
13．在一个不透明的布袋中，有红球、黑球、白球共60个，它们除颜色外其他都相同．小明从中任意摸出一个球，查看色后放回并摇匀，通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黑球的频率分别稳定在0.15和0.45，则他估计布袋中白球的个数约是 个．
14．如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED，若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为 ．
15．如图，点D在△ABC的边AC上，若要使△ABD与△ACB相似，可添加的一个条件是 （只需写出一个）．
16．如图，已知点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若线段AB的长10厘米，则线段CD长 厘米．
三、解答题：
17．（20分）解下列方程：
（1）x2＝25；
（2）x2﹣4x+2＝0；
（3）x2+3x+2＝0；
（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
19．我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙长31米），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的边长各是多少米？
20．在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机地摸出一个小球记下标号后放回，再随机地摸出一个小球记下标号，求两次摸出小球的标号之和等于4的概率．
21．百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
23．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，＝＝．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数：
（3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE．
24．△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ ，PB＝ （用含t的代数式表示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题4分共40分）
1．下列方程是一元二次方程（ ）
A．x+2y＝1 B．2x（x﹣1）＝2x2+3
C．3x+＝4 D．x2﹣2＝0
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
解：A、x+2y＝1是二元一次方程，故错误；
B、方程去括号得：2x2﹣2x＝2x2+3，
整理得：﹣2x＝3，为一元一次方程，故错误；
C、3x+＝4是分式方程，故错误；
D、x2﹣2＝0，符合一元二次方程的形式，正确．
故选：D．
【点评】要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，
解得k≥﹣2且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
解：∵x2﹣8x+3＝0
∴x2﹣8x＝﹣3
∴x2﹣8x+16＝﹣3+16
∴（x﹣4）2＝13
∴m＝﹣4，n＝13
故选：C．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．如果，那么k的值为（ ）
A．﹣1 B． C．2或﹣1 D．或﹣1
【分析】分两种情况讨论．①a+b+c≠0，利用比例性质得出；②a+b+c＝0，利用分式的性质得出．
解：当a+b+c≠0时，根据比例性质得到：＝＝＝k；
当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，k＝＝＝﹣1．
因而k的值是或﹣1．
故选：D．
【点评】利用等比性质时，注意运用的条件：各式分母的和不等于0．
5．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】移项，系数化成1，再配方，即可得出选项．
解：2x2﹣3x﹣1＝0，
2x2﹣3x＝1，
x2﹣x＝，
x2﹣x+＝+，
（x﹣）2＝，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
解：根据题意得：AB＝＝，AC＝，BC＝2，
∴AC：BC：AB＝：2：＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
7．在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“+”或“﹣”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】让填上“+”或“﹣”后成为完全平方式的情况数除以总情况数即为所求的概率．
解：能够凑成完全平方式，则2xy前可是“﹣”，也可以是“+”，但y2前面的符号一定是：“+”，
此题总共有（﹣，﹣）、（+，+）、（+，﹣）、（﹣，+）四种情况，能构成完全平方式的有2种，
所以概率是 ．
故选：C．
【点评】此题考查完全平方公式与概率的综合应用，注意完全平方式的形式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；a2±2ab+b2能构成完全平方式．
8．已知如图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图（1）、（2）中的两个三角形，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似
C．只有（1）相似 D．只有（2）相似
【分析】在图（1）中，根据三角形内角和定理求出∠C，根据两角对应相等的两个三角形相似证明；在图（2）中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明．
解：在图（1）中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣35°＝70°，
则∠A＝∠D，∠C＝∠E，
∴△ABC∽△DFE；
在图（2）中，＝，＝＝，
∴＝，又∠AOC＝∠DOB，
∴△AOC∽△DOB，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出＝，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
解：∵▱ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE＝AD，
∴＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．
10．使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（ ）
A．x（13﹣x）＝20 B．x•＝20
C．x（13﹣x）＝20 D．x•＝20
【分析】根据铁丝网的总长度为13m，长方形的面积为20m2，来列出关于x的方程，由题意可知，墙的对边为xm，则长方形的另一对边为m，则可利用面积公式求出即可．
解：设墙的对边长为xm，可得方程：x×＝20．
故选：B．
【点评】本题主要考查长方形的周长和长方形的面积公式，得出矩形两边长是解题关键．
二、填空题（每小题4分共24分）
11．若关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0的一个根是1，则c的值是 1 ．
【分析】把x＝1代入原方程得到2﹣3+c＝0，然后解一次方程即可．
解：把x＝1代入2x2﹣3x+c＝0得2﹣3+c＝0，
解得c＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．关于x的方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞0且m≠1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：∵方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，
解得m＞0，
即m的取值范围为m＞0且m≠1．
故答案为：m＞0且m≠1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．在一个不透明的布袋中，有红球、黑球、白球共60个，它们除颜色外其他都相同．小明从中任意摸出一个球，查看色后放回并摇匀，通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黑球的频率分别稳定在0.15和0.45，则他估计布袋中白球的个数约是 24 个．
【分析】由红球与黑球的频率确定出白球的频率，用频率估计概率，用摸到白球的概率乘以60即可估算出白球数．
解：根据题意得：60×（1﹣0.15﹣0.45）＝60×0.4＝24（个）．
故答案为：24．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例，再计算其个数．
14．如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED，若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为 10 ．
【分析】根据已知条件可知△ABC∽△AED，再通过两三角形的相似比可求出AB的长．
解：在△ABC和△AED中，
∵∠ABC＝∠AED，∠BAC＝∠EAD，
∴△AED∽△ABC，
∴＝，
又∵DE＝4，AE＝5，BC＝8，
∴AB＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证出△ABC∽△AED，是一道基础题．
15．如图，点D在△ABC的边AC上，若要使△ABD与△ACB相似，可添加的一个条件是 ∠ABD＝∠C（答案不唯一） （只需写出一个）．
【分析】两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可
解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC等．
故答案为：∠ABD＝∠C（答案不唯一）．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
16．如图，已知点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若线段AB的长10厘米，则线段CD长 （10﹣20） 厘米．
【分析】根据黄金分割的定义得到AD＝BC＝AB＝5﹣5，然后利用CD＝AD+BC﹣AB进行计算．
解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，
∴AD＝BC＝AB＝×10＝5﹣5，
∴CD＝AD+BC﹣AB＝10﹣10﹣10＝（10﹣20）cm．
故答案为（10﹣20）．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
三、解答题：
17．（20分）解下列方程：
（1）x2＝25；
（2）x2﹣4x+2＝0；
（3）x2+3x+2＝0；
（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
【分析】（1）直接开平方法解方程；
（2）根据配方法，可得答案；
（3）根据因式分解法，可得答案；
（4）根据因式分解法，可得答案．
解：（1）x2＝25，
x＝±5．
∴x1＝5，x2＝﹣5；
（2）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝2，
（x﹣2）2＝2，
x﹣2＝，
解得x1＝2+，x2＝2﹣；
（3）x2+3x+2＝0，
（x+2）（x+1）＝0
x+2＝0或x+1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝﹣1；
（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1），
（x﹣1）（x+3）﹣5（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+3﹣5）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据不同的题目选择不同的方法．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
（2）p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，代入（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求得m的值．
解：（1）根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×（m﹣1）≥0，解得m≤2；
（2）p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，
则（p2﹣2p+3）（m+4）＝7即（4﹣m）（4+m）＝7，
解得：m＝3（舍去）或﹣3．
故m的值为﹣3．
【点评】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，（2）中注意求得的m要满足（1）中m的范围．
19．我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙长31米），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的边长各是多少米？
【分析】设矩形场地的长为x米，则宽为米，根据题意列出相应的一元二次方程即可求解．
解：设矩形场地的长为x米，则宽为米，
由题意得：，
∴，
∴x2﹣62x+960＝0，
∴（x﹣30）（x﹣32）＝0，
解得：x＝30或x＝32（舍去），
∴，
∴矩形场地的长为30米，宽为16米．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
20．在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机地摸出一个小球记下标号后放回，再随机地摸出一个小球记下标号，求两次摸出小球的标号之和等于4的概率．
【分析】用树状图列举出所有情况，看两次摸出小球的标号之和等于4的情况数占总情况数的多少即可．
解：由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有9个，这些结果出现的可能性相等，标号之和等于4的结果共有3种．
所以P（标号之和等于4）＝＝．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
21．百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【分析】设每件童装降价x元，那么平均每天就可多售出2x元，根据平均每天销售这种童装盈利1200元，即销量×每件的利润＝1200元，列出方程求解即可．
解：设每件童装应降价x元，则
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
即：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
∵要扩大销售量，减少库存，
∴舍去x1＝10．
答：每件童装应降价20元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出平均每天就可多售出的件数，再根据题意列出现在一天可售出的件数及每件盈利的总钱数，找出题中的等量关系列出方程求解即可．
22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AF＝AM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE﹣AD＝4.9．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
23．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，＝＝．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数：
（3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE．
【分析】（1）根据相似三角形的性质定理得到∠BAC＝∠DAE，结合图形，证明即可；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵＝＝．
∴△ABC∽△ADE；
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF，
即∠BAD＝∠CAE；
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ADE＝∠ABE+∠BAD，
∴∠EBC＝∠BAD＝21°；
（3）证明：连接CE，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF，
即∠BAD＝∠CAE，
∵＝．
∴△ABD∽△ACE．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ 2tcm ，PB＝ ＝（5﹣t）cm （用含t的代数式表示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据路程＝速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB﹣AP就可以求出PB的长．
（2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式建立方程，解方程即可．
解：（1）由题意，得：BQ＝2t（cm），PB＝（5﹣t）cm．
故答案为：2tcm，（5﹣t）cm．
（2）存在，理由如下：
由题意得：×2t×（5﹣t）＝4，
解得：t1＝1，t2＝4（不符合题意，舍去），
∴存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2，t＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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