山东省济南市天桥区明湖中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

这是一份山东省济南市天桥区明湖中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省济南市天桥区明湖中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.方程的解是(    )A.  B. ，
C. ， D. 无实数根2.下列各组线段，能成比例的是(    )A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，，3.如图，已知，若，，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 4.如图，四边形∽四边形，，，，则等于(    )
 A.  B.  C.  D. 5.如果，那么下列各式中正确的是(    )A.  B.  C.  D. 6.在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个7.在如图所示的三个矩形中，相似的是(    )

 A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲、乙和丙8.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图该事件最优可能的是(    )
A. 暗箱中有个红球和个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球
B. 掷一枚硬币，正面朝上
C. 掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是
D. 从一副扑克牌中任意抽取张，这张牌是“红心”9.下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是(    )

 A.  B.  C.  D. 10.如图，菱形中，，垂足为点，分别交、及的延长线交于点、、，且：：，则：的值为(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.若，则 ______ ．12.如图，已知中，点在上，点在上，，，，则 ______ ．
 13.若，则 ______ ．14.某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一门课程的概率是______ ．15.如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作交于点，若，，则的长为______ ．
 16.如图所示，在平行四边形中，与相交于，为的中点，连接并延长交于点，则：等于______ ．
 三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）17.如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点，再在他们所在的这一侧选点，，，使，，然后确定和的交点，测得，，，请你帮助他们算出峡谷的宽．
四、解答题（本大题共9小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.本小题分
解方程：
；
．19.本小题分

如图，在菱形中，，求证：．
20.本小题分
已知如图，，分别是的边，上的点，，，，，求的长度．
 
 21.本小题分
如图，，，，求的长．
22.本小题分

如图，在和中，，，，且求的长．
23.本小题分
如图，点是等边边上一点，连接，作，交边于点若，，求的长．
24.本小题分
共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自已感兴趣的个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为、、、的四张卡片除字母和内容外，其余完全相同现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是______；
小沈从中随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．这四张卡片分别用它们的编号、、、表示25.本小题分

如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动如果与同时出发，那么经过几秒和相似？
26.本小题分
如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．
问题发现
当时， ______ ．
拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情况给出证明．
问题解决
当旋转至，，三点共线时，如图，图，直接写出线段的长．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
或，
解得，，
故选：．
根据已知方程得到两个关于的一元一次方程，解之即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2.【答案】 【解析】解：、，故本选项正确；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选A．
根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
考查了比例线段的概念．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．3.【答案】 【解析】解：，
，
即，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例4.【答案】 【解析】解：四边形∽四边形，，，，
，，
，
故选：．
利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．5.【答案】 【解析】解：，
设，则，
，故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误；
故选：．
直接利用比例的性质表示出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．6.【答案】 【解析】解：装有除颜色外完全相同的乒乓球共个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，
该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：．
故选：．
直接利用摸到黄色乒乓球的概率为，利用总数乘以概率即可得出该盒子中装有黄色乒乓球的个数．
此题主要考查了概率公式，正确利用摸到黄色乒乓球的概率求出黄球个数是解题关键．7.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了相似多边形的判定．注意对应角相等，对应边成比例，则可判定多边形相似．
由都是矩形，可得所有对应角相等；然后由对应边成比例，即可判定三个矩形中相似的是甲和乙．
【解答】
解：都是矩形，
所有对应角相等；
甲与乙：，故相似；
甲与丙：，故不相似；
乙与丙也不相似．
故选：．8.【答案】 【解析】解：、暗箱中有个红球和个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球的概率是，符合题意；
B、中掷一枚硬币，正面朝上的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是的概率为，不符合题意；
D、从一副扑克牌中任意抽取张，这张牌是“红心”的概率是，不符合题意；
故答案为：．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案．
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．9.【答案】 【解析】【分析】
本题主要应用两三角形相似的判定定理，相似三角形的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似，解答此题先根据勾股定理求出三角形的边长，然后看三边是否成比例即可．
【解答】
解：设单位正方形的边长为，则给出的三角形三边长分别为，，．
A.三角形三边分别是，，，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；
C.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D.三角形三边，，，与给出的三角形的各边成正比例，故D选项正确．
故选D．10.【答案】 【解析】解：连接，如图，
四边形为菱形，
，，，
，
，
而，
四边形为平行四边形，
，
由：：，设，，，
：：：，
，
∽，
：：：，
：：．
故选：．
连接，如图，利用菱形的性质得，，，再证明，接着判断四边形为平行四边形得到，设，，，所以：：，然后证明∽得到：：：，最后利用比例的性质得到：的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质和菱形的判定11.【答案】 【解析】解：，
．
故答案为：．
根据比例的性质直接解答即可．
此题考查了比例的性质，熟练掌握内项之积等于两外项之积是解题的关键．12.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理得到，于是得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．13.【答案】 【解析】解：，
，，
．
故答案为：．
根据已知，用表示、表示、表示，代入分式计算即可．
本题考查了比例的性质，掌握比例的基本变形是解决本题的关键．14.【答案】 【解析】解：画树状图为：数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用、、表示，

共有种可能的结果数，其中小波和小睿选到同一课程的结果数为，
所以小波和小睿选到同一课程的概率．
故答案为：．
先画树状图数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用、、表示展示所有种可能的结果数，再找出小波和小睿选到同一课程的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．15.【答案】 【解析】解：四边形为矩形，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
．
故答案为：．
先利用等角的余角相等得到，加上，则可判断∽，然后利用相似三角形的性质得到，则利用比例的性质可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．16.【答案】： 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
∽，
，
为的中点，
，
，
，
：：，
：：．
故答案为：：．
先证明∽，得出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的性质是关键．17.【答案】解：如图，，，
，
又对顶角相等，
∽，
，
，，，
，
解得，
即峡谷的宽是． 【解析】先确定与相似，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可求出的宽度．
本题主要考查了相似三角形的应用，利用了相似三角形对应边成比例的性质，构造出相似三角形是解题的关键．18.【答案】解：；
，
或，
所以，；
，
，
或，
所以，． 【解析】先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．19.【答案】证明：四边形为菱形，
，．
又，
，
即．
在和中
≌．
． 【解析】由四边形为菱形，可得，又因为，所以，即可证≌，所以．
此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．20.【答案】解：，，
，
，
，，，
，
． 【解析】由，，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果．
本题考查相似三角形的判定与性质．21.【答案】解：，，
∽，
，
，，
． 【解析】通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．22.【答案】证明：，
，且
∽
，且
 【解析】由题意可证∽，可得，即可求的长．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．23.【答案】解：是等边三角形，
，
，
，
，
∽，
，即，
． 【解析】根据等边，可得，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似，判定∽，得到，进而求出．
本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定及其性质的应用，解决问题的关键是判定相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例列式计算．24.【答案】解：；
画树状图如图：

共有种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为，
抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率为． 【解析】本题考查了用树状图法求概率．
根据概率公式直接得出答案；
根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为，根据概率公式求解可得．
解：有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，共享服务只有一张，
小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为；
见答案；25.【答案】解：设经过秒，两三角形相似，则，，
当与是对应边时，，
即，
解得；
当与是对应边时，，
即，
解得．
故经过秒或秒，两个三角形相似． 【解析】设经过秒和相似，先求出，，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题主要利用相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．26.【答案】 【解析】解：问题发现
，，，
，
点，分别是边，的中点，
，，
，
故答案为：；
拓展探究
的大小无变化，
理由如下：将绕点顺时针方向旋转，且点，分别是边，的中点，
，
，
∽，
；
问题解决
如图，点，分别是边，的中点，
，，
，
将绕点顺时针方向旋转，
，
，
，
如图，．
问题发现
由勾股定理可求的长，由中点的性质可求，的长，即可求解；
拓展探究
通过证明∽，可得；
问题解决
由三角形中位线定理可求，，由勾股定理可求的长，即可求的长．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．