2023-2024学年山东省潍坊市诸城市相州中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省潍坊市诸城市相州中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在半径为R的圆内，长为R的弦所对的圆周角为( )
A. 30°或150°B. 60°或120°C. 60°D. 30°
2.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cs∠B的值为( )
A. 12B. 22C. 32D. 33
3.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去配的一块玻璃碎片应该是( )
A. 第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块
4.如果Rt△ABC中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A的三角比的值( )
A. 都扩大到原来的2倍B. 都缩小到原来的一半
C. 没有变化D. 不能确定
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=10，S△ABC=50 33，则∠A=( )
A. 60°B. 30°C. 45°D. 75°
6.有下列命题中：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离
相等；④长度相等的弧是等弧；⑤平分弦的直径垂直于这条弦；⑥弦的垂直平分线经过圆心；⑦相等的
圆周角所对的弧相等．其中正确的有( )
A. 1个B. 3个C. 5个D. 7个
7.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且csα=35，AB=4，则AD的长为．( )
A. 3B. 163C. 203D. 165
8.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为．( )
A. 10 3海里/小时B. 30海里/小时C. 20 3海里/小时D. 30 3海里/小时
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列语句正确的有( )
A. 等弧对等弦B. 等弦对等弧
C. 相等的圆心角所对的弧的度数相等D. 长度相等的两条弧是等弧
10.若ABCD为圆内接四边形，则下列选项可能成立的是( )
A. ∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：4
B. ∠A：∠B：∠C：∠D=2：1：3：4
C. ∠A：∠B：∠C：∠D=3：2：1：4
D. ∠A：∠B：∠C：∠D=4：3：2：3
11.△ABC在方格纸(每个小正方形的边长为1)上的位置如图所示，顶点都在格点上，AD交BC于点D，D在格线上，下列选项中正确的是( )
A. tanα=13
B. tanβ=1
C. sinα=14
D. csβ= 32
12.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足CFFD=13，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2.AF=3.下列结论正确的是( )
A. S△DAF=6 5
B. AD2=AF⋅AE
C. tan∠E= 54
D. DC平分∠ADE
三、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.如图所示，在阳光下，某一时刻大树AB的影子的顶端落在墙DE上的C点，同一时刻1.2m的标杆影长为3m.已知CD=4m，BD=6m.则大树的高度为______m.
14.小兰想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为______m.(小兰身高忽略不计，取 3=1.732)
15.如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=50°，则∠CAB的度数为______．
16.在⊙O中，半径OA与半径OB互相垂直，P是AB上任意一点，作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，已知MN=1.5cm，⊙O的半径为______．
17.在Rt△ABC中，AC=6，CB=8，则Rt△ABC外接圆的半径为______．
18.⊙O的半径为5cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB/​/CD，AB=8cm，CD=6cm.则AB和CD之间的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
计算：
(1)2sin30°+cs60°−tan60°⋅tan30°+cs245°；
(2) 22sin45°+sin60°⋅cs45°．
20.(本小题16分)
如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB=80米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：
(1)桥拱的半径．
(2)现有一轮船宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？
21.(本小题16分)
如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E.连接AC、OC、BC．
(1)求证：∠ACO=∠BCD；
(2)若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
22.(本小题14分)
如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
23.(本小题16分)
如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度(结果保留根号)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵半径为R，长度为R的弦，
∴这条弦和两条半径组成了一个等边三角形，
∴该弦所对的圆心角是60°，
①当圆周角的顶点在优弧上时，得此圆周角等于30°；
②当圆周角的顶点在劣弧上，得此圆周角等于150°；
故选：A．
根据半径为R的圆中有一条长度为R的弦，知这条弦和两条半径组成了一个等边三角形．则该弦所对的圆心角是60°，要进一步求其所对的圆周角，应分情况考虑：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得此圆周角等于30°；当圆周角的顶点在劣弧上，根据圆内接四边形的性质，此圆周角和第一种的圆周角互补，即150°
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，注意：此类题一定要分情况考虑．即一条弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况中的角是互补的关系．
2.【答案】B
【解析】解：如图，作AD⊥BC于点D，
则AD=5，BD=5，
∴AB= AD2+BD2= 52+52=5 2，
∴cs∠B=BDAB=55 2= 22，
故选：B．
作AD⊥BC，可得AD=BD=5，利用勾股定理求得AB，再由余弦函数的定义求解可得．
本题主要考查余弦函数的定义和勾股定理，构建直角三角形是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．
【解答】
解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：∵各边的长度都扩大两倍，
∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，
∴锐角A的各三角函数值都不变．
故选：C．
根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=10，S△ABC=50 33，
∴S△ABC=12ab=503 3，
∴b=2S△ABCa=2×503 310=103 3，
∴c= a2+b2= 102+(103 3)2=203 3，tanA=ab=10103 3= 3，
∴∠A=60°，
故选：A．
先根据三角形面积求出b，进而由勾股定理求出c，再由锐角三角函数定义求出tanA= 3，则∠A=60°．
本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握锐角三角函数定义和勾股定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：①直径是弦，是真命题；
②不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原命题是假命题；
③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，是真命题；
④在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；
⑤平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；
⑥弦的垂直平分线经过圆心，是真命题；
⑦在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；
故选：B．
利用弦的定义，构成圆的条件，外心性质以及垂径定理逆定理判断即可．
此题考查了命题与定理，熟练掌握性质及定义是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由已知可知：AB=CD=4，∠ADE=∠ECD=α．
在Rt△DEC中，cs∠ECD=csα=CEDC=35，
即CE4=35，
∴CE=125．
根据勾股定理得DE= CD2−CE2=165．
在Rt△AED中，csα=DEAD=35，
即165AD=35，
∴AD=163．
故选：B．
由已知条件可知：AB=CD=4，∠ADE=∠ECD=α.在Rt△DEC中，cs∠ECD=csα=CEDC=35，由此可以求出CE.然后根据勾股定理求出DE，最后在Rt△AED中利用余弦函数的定义即可求出AD．
此题考查了解直角三角形、逻辑推理能力、运算能力．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据方位角的定义得到图中方位角的度数是前提条件．
易得△ABC是直角三角形，利用三角函数的知识即可求得答案．
【解答】
解：∵∠CAB=10°+20°=30°，∠CBA=80°−20°=60°，
∴∠C=90°，
∵AB=20海里，
∴AC=AB⋅cs30°=10 3(海里)，
∴救援船航行的速度为：10 3÷2060=30 3(海里/小时)．
故选D．
9.【答案】AC
【解析】解：A、等弧对等弦，符合题意；
B、在同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧相等，不符合题意；
C、相等的圆心角所对的弧的度数相等，符合题意；
D、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，不符合题意；
故选：AC．
利用圆心角、弧、弦的关系分别判断即可．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
10.【答案】BD
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°=∠B+∠D，
故选：BD．
利用圆内接四边形的对角互补判断即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的对角互补的性质解答．
11.【答案】AB
【解析】解：由图可得，
tanα=13，故选项A正确，符合题意；
tanβ=22=1，故选项B正确，符合题意；
sinα=1 12+32= 1010，故选项C错误，不符合题意；
csβ=2 22+22=22 2= 22，故选项D错误，不符合题意；
故选：AB．
根据题意和图形，可以计算出各个选项中三角函数的值，从而可以判断哪个选项符合题意．
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12.【答案】BC
【解析】解：A.∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CG=DG，AC=AD，∠AGF=∠AGD=90°，
∴∠ADF=∠E，
又∵∠DAF=∠EAD，
∴△ADF∽△AED，
∵CFFD=13，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=8，
∵CG=DG，
∴CG=DG=4，
∴FG=2，
∵AF=3．
∴AG= AF2−FG2= 32−22= 5，
∴S△ADF=12DF⋅AG=12×(4+2)× 5=3 5，
∴A错误，不符合题意；
B.∵△ADF∽△AED，
∴ADAE=AFAD，
∴AD2=AE⋅AF，
故B正确，符合题意；
C.tan∠E=tan∠ADG=AGDG= 54，
故C正确，符合题意；
D.连接AC，
∵AD=CD，
∴当DC平分∠ADE时，AC=CE=AD，
∴∠CAE=∠ACD，
∴AF=FC，
又∵CF=2，AF=3，
∴FC≠AF，
∴DC平分∠ADE错误，
故D错误，不符合题意；
故选：BC．
A.由垂径定理得出CG=DG，AC=CD，得出圆周角∠ADF=∠E，再由公共角相等，即可得出△ADF∽△AED，由已知条件求出FD，得出CD、CG，即可求出FG=2，由勾股定理求得AG，再根据三角形的面积公式求得结果，便可判断正误；
B.由△ADF∽△AED得出比例线段便可判断正误；
C.由正切定义求得∠ADG的正切值，便可判断正误；
D.可以结合DC平分∠ADE，进而得出结论与已知矛盾进而得出答案，判断正误．
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理、相交弦定理、三角函数、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强．
13.【答案】6.4
【解析】【分析】此题考查了相似三角形的实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题解答．
过C作CF⊥AB，垂足为F，根据在同一时刻物高与影长成正比例．利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
【解答】
解：过C作CF⊥AB，垂足为F，如图，
∴四边形BDCF是矩形，BF=CD=4m，BD=CF=6m，
∵同一时刻，太阳光下物体的实际高度与影长成比例，
∴AF：CF=1.2：3，
∴AF=6÷3×1.2=2.4(m)，
∴大树高度AB=BF+AF=4+2.4=6.4(m)，
答：大树的高度为6.4m．
故答案为：6.4．
14.【答案】43.3
【解析】解：∵∠DAB=30°，∠DBC=60°，
∴BD=AB=50m．
∴DC=BD⋅sin60°=50× 32=43.3．
故答案为：43.3．
从题意可知AB=BD=50m，至B处，测得仰角为60°，sin60°=DCBD.可求出塔高．
本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解．
15.【答案】40°
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=50°，
∴∠B=∠D=50°，
∴∠CAB=90°−50°=40°．
故答案为：40°．
先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．
16.【答案】1.5cm
【解析】解：连接OP，
∵半径OA与半径OB互相垂直，PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴OP=MN=1.5cm，
∴⊙O的半径为1.5cm．
故答案为：1.5cm．
根据垂直的定义得到∠MON=∠PNO=∠PMO=90°，根据矩形的判定定理得到四边形PMON是矩形，根据矩形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
17.【答案】4或5
【解析】解：①当BC是斜边时，则∠A=90°，
∴BCRt△ABC外接圆的直径，
∴Rt△ABC外接圆的半径为12BC=12×8=4；
②当AB是斜边时，则∠C=90°，
∵AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2=10，
∴Rt△ABC的外接圆的半径为5．
综上所述：Rt△ABC的外接圆的半径为4或5．
故答案为：4或5．
分类：①当BC是斜边时，r=4；②当AB是斜边时，根据勾股定理求出AB=10，r=5．
本题考查的是直角三角形的外接圆半径，理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键．
18.【答案】1cm或7cm
【解析】解：①如图1，当AB和CD在圆心O的同侧，连接OB，OD，作直线OM⊥AB于M交CD于点N，
∵AB/​/CD，
∴ON⊥CD，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴BM=4(cm)，DN=3(cm)，
∵⊙O的半径为5cm，
∴OB=OD=5(cm)，
∴OM=3(cm)，ON=4(cm)，
∵MN=ON−OM，
∴MN=1(cm)．
②如图2，当AB和CD在圆心O两侧，连接OB，OD，作直线OM⊥AB于M交CD于点N，
∵AB/​/CD，
∴ON⊥CD，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴BM=4(cm)，DN=3(cm)，
∵⊙O的半径为5cm，
∴OB=OD=5(cm)，
∴OM=3(cm)，ON=4(cm)，
∵MN=OM+ON，
∴MN=7(cm)．
∴平行弦AB，CD之间的距离为1cm或7cm．
故答案为：1cm或7cm．
分两种情形讨论：①如图1中，AB和CD在圆心O的同侧，连接OB，OD，作直线OM⊥AB于M交CD于点N，由AB/​/CD，即可推出ON⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理求出OM和ON的长度即可．
②如图2中，AB和CD在圆心O两侧，连接OB，OD，作直线OM⊥AB于M交CD于点N，由AB/​/CD，即可推出MN⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理求出OM和ON的长度即可．
本题主要考查垂径定理和勾股定理的运用，平行线间的距离的定义，平行线的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19.【答案】解：(1)2sin30°+cs60°−tan60°⋅tan30°+cs245°
=2×12+12− 3× 33+( 22)2
=1+12−1+12
=1；
(2)原式= 22× 22+ 32× 22
=12+ 64
=2+ 64．
【解析】(1)利用特殊角的三角函数值代入计算，即可得出结果；
(2)利用特殊角的三角函数值进行计算，即可得出结果．
本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF=FB=12AB=40，EF=ED−FD=AE−DF，
由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+(AE−DF)2，
设圆的半径是r，
则：r2=402+(r−20)2，
解得：r=50；
(2)如图，货船能顺利通过这座拱桥．理由：
连接EM，设MD=30米．
∵DE⊥MN，EF=50−20=30(m)，
在Rt△DEM中，DE= EM2−DM2=40(米)，
∵DF=DE−EF=40−30=10(米)
∵10米>9米，
∴货船能顺利通过这座拱桥．
【解析】(1)根据垂径定理和勾股定理求解；
(2)连接EM，设MD=30米，可求得此时DE的高，即可求得DF的长，比较9米，即可得到此时货船能顺利通过这座拱桥．
此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
21.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠BCD与∠ACE互余；又∠ACE与∠CAE互余，
∴∠BCD=∠BAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACO=∠BCD；
(2)解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB−EB=(R−8)cm，
CE=12CD=12×24=12cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC2=OE2+CE2，即R2=(R−8)2+122
解得R=13，
∴2R=2×13=26cm．
答：⊙O的直径为26cm．
【解析】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．
(1)根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证；
(2)根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
22.【答案】解：有触礁危险．
理由：过点P作PD⊥AC于D．
设PD为x，在Rt△PBD中，
∠PBD=90°−45°=45度．
∴BD=PD=x．
在Rt△PAD中，
∵∠PAD=90°−60°=30°，
∴AD=xtan30∘= 3x，
∵AD=AB+BD，
∴ 3x=6+x，
∴x=6 3−1=3( 3+1)，
∵3( 3+1)<9，
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
【解析】过点P作PD⊥AC于D，在Rt△PBD和Rt△PAD中，根据三角函数AD，BD就可以PD表示出来，根据AB=12海里，就得到一个关于PD的方程，求得PD.从而可以判断如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险．
本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，构造直角三角形是解题的前提和关键．
23.【答案】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
∵∠BCD=150°，
∴∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，CF= CD2−DF2=2 3，
由题意得∠E=30°，
∴EF=DFtanE=2 3，
∴BE=BC+CF+EF=6+4 3，
∴AB=BE×tanE=(6+4 3)× 33=(2 3+4)米，
答：电线杆的高度为(2 3+4)米．
【解析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．