2022-2023学年山西省朔州市朔城区九年级（上）期中数学试卷及答案

这是一份2022-2023学年山西省朔州市朔城区九年级（上）期中数学试卷及答案，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山西省朔州市朔城区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）已知关于的一元二次方程的一个解是，则实数的值是　　
A．1 B． C． D．
2．（3分）数学中的对称之美无处不在，下列是小明看到的他所在小区的垃圾桶上的四幅垃圾分类标志图案，如果不考虑图案下面的文字说明，那么这四幅图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，是的直径，为弦，，在上任取一点，且点与点位于直径的两侧，连接和，则的度数是　　

A． B． C． D．
4．（3分）下列一元二次方程一定有两个不相等的实数解的方程是　　
A． B． C． D．
5．（3分）在数学课上，老师给出二次函数的四幅图象如下，根据二次函数的图象的性质可知，下列图象可能表示二次函数，，是常数）的图象是　　
A． B．
C． D．
6．（3分）在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张图片如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为和，圆的半径为，根据题意列方程为　　

A． B．
C． D．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，画关于点成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是　　

A． B． C． D．
8．（3分）某钢铁厂七月份产钢50吨，九月份的钢产量比八月份的钢产量增加12吨，若平均每月产钢量的增长率相同且为，则根据题意，列出的方程正确的是　　
A．
B．
C．
D．
9．（3分）如图是一个半径为的的纸片，是的内接三角形，分别以直线和折叠纸片，和都经过圆心，则图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为　　
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点，连接，把线段绕原点逆时针旋转得到线段，则点的坐标是 　　．
12．（3分）如图，和是的两条直径，顺次连接，，和，得到四边形，则四边形的形状一定是 　　．

13．（3分）已知矩形的面积是，当把这个矩形的长减少，宽增加后，所得四边形是正方形，若矩形的宽为，则根据题意，列方程为 　　．
14．（3分）如图，点，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，再把绕点逆时针旋转得到△，点的对应点为点，则点的坐标是 　　．

15．（3分）如图，已知中，，，，将绕直角顶点顺时针旋转得到．若点是的中点，连接，则　　．

三.解答题（本大题共8个小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）解方程：；
（2）求二次函数的图象与轴的交点坐标．
17．（8分）已知方程是关于的一元二次方程．
（1）当时，求该方程的根；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，，，三点的坐标依次为，，．根据题意，解答下列问题．
（1）画出关于原点成中心对称的△；
（2）把绕点顺时针旋转得到△；
（3）连接，和，直接写出△的面积．

19．（8分）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．如图2，把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，喷出的水最远落在地面处．

（1）求上边缘抛物线的函数解析式（用顶点式表示），并求喷出水的最大射程；
（2）灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，喷出的水恰好经过点时，求此时点的坐标．
20．（9分）如图，在平行四边形中，，，对角线，点在射线的延长线上，连接，在上取点，以点为圆心，长为半径作与射线切于点，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）连接，，直接写出四边形的形状和面积．

21．（9分）开发商在新建的某小区划出一个长为90米，宽为60米的矩形场地，计划在其中修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽为米，纵向宽为米的鹅卵石健身道如图所示．已知修建1平方米的休闲区需要费用100元，修建1平方米的鹅卵石健身道需要费用200元，开发商投入的资金是元．
（1）求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（2）若开发商预计投入的资金为658800元，求的值．

22．（12分）综合与探究
问题呈现：
“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解决，如图1，在正方形的边上任取一点，以为边在与正方形的同侧作正方形．
探究结论：

（1）连接，则与的数量关系是 　　，位置关系是 　　．
探究发现：
（2）如图2，在图1的基础上连接，，作的中点，连接，判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
探究拓展：
（3）“智慧”数学小组把“边上任取一点”改成了“边的延长线上任取一点”，其余条件不变，请在图3中补全图形，并直接写出（2）中的结论是否正确，若不正确，请直接写出正确的结论．

23．（12分）综合与实践
如图，抛物线与轴交于，两点，且点在点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上的一动点．
（1）求，，三点的坐标；
（2）如图2，当点在第四象限时，连接，和，得到，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）点在轴上运动，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点的坐标．


2022-2023学年山西省朔州市朔城区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）已知关于的一元二次方程的一个解是，则实数的值是　　
A．1 B． C． D．
【答案】
【分析】把代入即可求出的值．
【解答】解：把代入，可得，
解得．
故选：．
2．（3分）数学中的对称之美无处不在，下列是小明看到的他所在小区的垃圾桶上的四幅垃圾分类标志图案，如果不考虑图案下面的文字说明，那么这四幅图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可得到答案．
【解答】解：、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
、是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；
、不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
、不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
3．（3分）如图，是的直径，为弦，，在上任取一点，且点与点位于直径的两侧，连接和，则的度数是　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】连接，由圆周角定理的推论得，得，再由圆周角定理的推论得解．
【解答】解：连接，如图所示，

是的直径，
，
，
，
，
．
故选：．
4．（3分）下列一元二次方程一定有两个不相等的实数解的方程是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可得到答案．
【解答】解：时，方程有两个不相等的实数解，
、△，不符合题意，选项错误；
、△，不符合题意，选项错误；
、△，符合题意，选项正确；
、，不符合题意，选项错误．
故选：．
5．（3分）在数学课上，老师给出二次函数的四幅图象如下，根据二次函数的图象的性质可知，下列图象可能表示二次函数，，是常数）的图象是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据二次函数性质，确定对称轴，即可得到答案．
【解答】解：，，是常数），
对称轴为，
只有选项的图象符合题意，
故选：．
6．（3分）在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张图片如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为和，圆的半径为，根据题意列方程为　　

A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据圆的面积公式和矩形面积公式结合两圆的面积和是剩余面积的一半，列出方程即可．
【解答】解：由题意得，
故选：．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，画关于点成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】分别求出点，，，，，的坐标，从而可得，，的中点坐标，由此即可得．
【解答】解：由图可知，，，，，，，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，
，，的中点坐标均为，
与的对称中心是，
故选：．
8．（3分）某钢铁厂七月份产钢50吨，九月份的钢产量比八月份的钢产量增加12吨，若平均每月产钢量的增长率相同且为，则根据题意，列出的方程正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据题意，分别计算八月份、九月份的钢产量，然后根据题意列方程即可．
【解答】解：某钢铁厂七月份产钢50吨，平均每月产钢量的增长率相同且为，
八月份的钢产量为：吨；
八月份的钢产量为：吨；
九月份的钢产量比八月份的钢产量增加12吨，
；
故选：．
9．（3分）如图是一个半径为的的纸片，是的内接三角形，分别以直线和折叠纸片，和都经过圆心，则图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】连接、、，延长交于点，由三角形的内接三角形的性质得出，由勾股定理得出，再由垂径定理得出，结合图形得出阴影部分得面积即为的面积，计算三角形面积即可．
【解答】解：连接、、，延长交于点，如图所示：

是的内接三角形，的半径为，
，，
，
，
，
由图得，阴影部分得面积即为的面积，
，
故选：．
10．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，易得抛物线解析式．
【解答】解：由抛物线知，抛物线顶点坐标是．
由抛物线知，．
该抛物线关于点成中心对称的抛物线的顶点坐标是．
该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为：．
故选：．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点，连接，把线段绕原点逆时针旋转得到线段，则点的坐标是 　　．
【答案】．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，得到，推出，根据旋转性质得到，，推出，得到，推出△，根据，得到，，推出，，得到．
【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
，
，
，，
由旋转知，，，
，
，
△，
，，
．
故答案为：．

12．（3分）如图，和是的两条直径，顺次连接，，和，得到四边形，则四边形的形状一定是 　矩形　．

【答案】矩形．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角即可判断四边形的形状．
【解答】解：和是的两条直径，
，
四边形的形状是矩形．
故答案为：矩形．
13．（3分）已知矩形的面积是，当把这个矩形的长减少，宽增加后，所得四边形是正方形，若矩形的宽为，则根据题意，列方程为 　或　．
【答案】或．
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：长方形的面积长宽，根据此列方程即可．
【解答】解：这个矩形的宽为，则长为，
根据题意得：．
．
故答案为：或．
14．（3分）如图，点，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，再把绕点逆时针旋转得到△，点的对应点为点，则点的坐标是 　　．

【答案】．
【分析】过点轴于点，根据旋转的性质得出，△是等腰直角三角形，根据勾股定理求得进而即可求解．
【解答】解：如图，过点轴于点，

线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，
是等边三角形，
，
把绕点逆时针旋转得到△，
，
，
△是等腰直角三角形，
点，点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．（3分）如图，已知中，，，，将绕直角顶点顺时针旋转得到．若点是的中点，连接，则　5　．

【分析】根据旋转的性质，，，，由点是的中点，可求出、，因为，可求出，然后运用勾股定理求出．
【解答】解：作，
根据旋转的性质，，，，
点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
根据勾股定理，．

三.解答题（本大题共8个小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）解方程：；
（2）求二次函数的图象与轴的交点坐标．
【答案】（1），；
（2）和．
【分析】（1）先将方程化为一般式，然后利用公式法求解即可；
（2）求出当时，的值即可得到答案．
【解答】解：（1）将方程化为一般式，得，
△，
，
解得，．
（2）把代入中，得，
解得，，
二次函数的图象与轴的交点坐标是和．
17．（8分）已知方程是关于的一元二次方程．
（1）当时，求该方程的根；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】（1），；
（2）且．
【分析】（1）把代入方程中，然后用直接开平方法求解即可；
（2）根据根的判别式大于0且二次项系数不等于0列式求解即可．
【解答】解：（1）把代入方程中，
得
．
．
解得，．
（2）方程有两个不相等的实数根，
且，
解得且．
的取值范围是且．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，，，三点的坐标依次为，，．根据题意，解答下列问题．
（1）画出关于原点成中心对称的△；
（2）把绕点顺时针旋转得到△；
（3）连接，和，直接写出△的面积．

【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）4．
【分析】（1）分别作出、、关于原点的对应点、、，依次连接即可得到△；
（2）分别作出、、绕点顺时针旋转的对应点、、，依次连接即可得到△；
（3）利用分割法即可得到△的面积．
【解答】解：（1）和△关于原点成中心对称，
，，三点的坐标依次为，，，
、、三点的坐标依次为，，，
△即为所求作；

（2）绕点顺时针旋转得到△，
，，三点的坐标依次为，，，
、、三点的坐标依次为，，，△即为所求作；

（3）

△的面积．
19．（8分）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．如图2，把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，喷出的水最远落在地面处．

（1）求上边缘抛物线的函数解析式（用顶点式表示），并求喷出水的最大射程；
（2）灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，喷出的水恰好经过点时，求此时点的坐标．
【答案】（1）喷出水的最大射程为；
（2）点的坐标为．
【分析】（1）设上边缘抛物线的函数解析式为，把点代入即可求得上边缘抛物线的函数解析式，令，解方程即可求得喷出水的最大射程的值；
（2）令，解方程即可求解．
【解答】解：（1）由题意得点是上边缘抛物线的顶点，
设上边缘抛物线的函数解析式为，
抛物线经过点，
，
解得，
上边缘抛物线的函数解析式为，
把代入中，得，
解得，（舍去），
喷出水的最大射程为；
（2），
点的纵坐标为0.5，
当抛物线恰好经过点时，，
解得，（舍去），
点的坐标是．
20．（9分）如图，在平行四边形中，，，对角线，点在射线的延长线上，连接，在上取点，以点为圆心，长为半径作与射线切于点，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）连接，，直接写出四边形的形状和面积．

【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）菱形，面积是．
【分析】（1）接，根据平行四边形的性质得，再根据切线的性质得，进而得出，然后根据三角形外角的性质得，即可得出答案；
（2）根据平行四边形的性质得，再根据含直角三角形的性质得，根据勾股定理求得，最后根据含直角三角形的性质求得；
（3）连接，，先说明是等边三角形，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案．再求出，可知，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得出答案．
【解答】（1）证明：连接，

四边形是平行四边形，，
．
与射线切于点，
，
．
．
，
．
是的外角，
．
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，
，
．
在中，，
，
，
由勾股定理，得，
在中，，，
；
（3）连接，，
在中，，，
．
，
是等边三角形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
在中，，，，，
，
，
．

21．（9分）开发商在新建的某小区划出一个长为90米，宽为60米的矩形场地，计划在其中修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽为米，纵向宽为米的鹅卵石健身道如图所示．已知修建1平方米的休闲区需要费用100元，修建1平方米的鹅卵石健身道需要费用200元，开发商投入的资金是元．
（1）求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（2）若开发商预计投入的资金为658800元，求的值．

【答案】（1），；
（2）的值为2．
【分析】（1）根据题意，得出四个休闲区的长和宽，再根据长方形的面积公式，得出四个休闲区的总面积，进而得出鹅卵石健身道的面积，再根据“总费用休闲区的总面积鹅卵石健身道的面积”，得出开发商投入的资金，即可得出与的函数关系式，再根据四个休闲区的长和宽都大于0，即可得出的取值范围；
（2）把代入，得出，解出方程，再结合（1）中的取值范围，即可得出结果．
【解答】解：（1）余下的空地修建成横向宽为米，纵向宽为米的鹅卵石健身道，
四个休闲区的长为米，宽为米，
四个休闲区的总面积为：（平方米），
鹅卵石健身道的面积为：（平方米），
修建1平方米的休闲区需要费用100元，修建1平方米的鹅卵石健身道需要费用200元，
开发商投入的资金为：，
整理，得：，
四个休闲区的长和宽都大于0，
，
解得：，
与的函数关系式为：．的取值范围为；
（2）把代入中，
可得：，
即，
整理，得：，
解得：，，
，
（不符合题意，舍去），
，
的值是2．
22．（12分）综合与探究
问题呈现：
“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解决，如图1，在正方形的边上任取一点，以为边在与正方形的同侧作正方形．
探究结论：

（1）连接，则与的数量关系是 　　，位置关系是 　　．
探究发现：
（2）如图2，在图1的基础上连接，，作的中点，连接，判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
探究拓展：
（3）“智慧”数学小组把“边上任取一点”改成了“边的延长线上任取一点”，其余条件不变，请在图3中补全图形，并直接写出（2）中的结论是否正确，若不正确，请直接写出正确的结论．

【答案】（1），；
（2）（或，，见解析；
（3）正确，见解析．
【分析】（1）根据“”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案；
（2）延长，使，再根据“”证明，可得，，然后根据三角形内角和定理判断，再根据三角形中位线的性质得出答案；
（3）仿照（2）解答即可．
【解答】解：（1）结论：，．
理由：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
在和，
，
，
，，
，，共线，
，
故答案为：，；

（2）结论：（或，．
理由：如答图，延长到，使，连接交于点，交于点．

四边形和四边形是正方形，
，，．
．
．
．
．
，
，，
在中，，
，
．
．
．
点是的中点，．
是的中位线．
，
，；
（3）①如图3为补全的图形．

②（2）中的结论正确．
延长到，使，连接交于点，交于点．
四边形和四边形是正方形，
，，．
．
．
．
．
，
，，
在中，，
，
．
．
．
点是的中点，．
是的中位线．
，
，．
23．（12分）综合与实践
如图，抛物线与轴交于，两点，且点在点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上的一动点．
（1）求，，三点的坐标；
（2）如图2，当点在第四象限时，连接，和，得到，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）点在轴上运动，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点的坐标．

【答案】（1）的坐标是，点的坐标是，点的坐标是；
（2）；．
（3）或或或．
【分析】（1）求出当时的值即可求出、的坐标，求出当时的值即可求出点的坐标；
（2）如图，过点作轴于点，作轴于点，连接．根据推出，据此求解即可；
（3）分图，，，四种情况利用平行四边形的性质讨论求解即可．
【解答】解：（1）把代入中，
得，
解得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
把代入中，得，
点的坐标是；
（2）设点的坐标是，
如图，过点作轴于点，作轴于点，连接，

，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
，
，
化简，得，
，
当时，的面积最大为，
，
点的坐标是；
（3）如图所示，当四边形是平行四边形时，
则，，
点的纵坐标为，
令，
解得：或（舍去），
，
，
；

如图所示，当四边形是平行四边形时，可得；

如图所示，当四边形是平行四边形时，
设点的坐标是，点的坐标为，
，
解得或（舍去），
点的坐标是，点的坐标是，
，
，
，
解得，
；

如图所示，当四边形是平行四边形时，可求；

综上所述，点的坐标为或或或．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/19 13:36:59；用户：初中数学；邮箱：ffbs8bs@126.com；学号：210051