山西省朔州市朔城区2023届九年级中考一模数学试卷(含解析)

数学试卷

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．

3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回．

第Ⅰ卷   选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．

1．下列各数中，是负数的是（　　）

A． B．0 C． D．

2．小颖在研究无盖的正方体盒子的展开图时，画出下面4个展开图，其中符合要求的共有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．下列事件中，是必然事件的是（       ）

A．疫情期间，对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性

B．任意画一个三角形，其内角和为

C．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言

D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”

4．大型电视专题片《领航》自2022年10月8日在中央广播电视总台央视开播以来，引发社会各界广泛关注．截至10月11日，专题片《领航》相关视频内容及宣传报道跨媒体总触达人次超7.56亿次．数据7.56亿用科学记数法表示为（   ）

A． B． C． D．

5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（       ）

A． B．

C． D．

6．把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（   ）

A． B． C． D．

7．如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（       ）

A．平均数是9.4，众数是10 B．中位数是9，平均数是10

C．中位数是9.4，众数是9 D．中位数是9.5，众数是9

8．已知线段，下列说法中正确的为（　　）

A．b，d，c，a成比例 B．d，b，a，c成比例

C．b，d，a，c成比例 D．b，c，d，a成比例

9．将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A，B两点．若厘米，则的长度为（       ）

A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米

10．如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷   非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．________________．

12．我市举办的“喜迎二十大·奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆出入口示意图．小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是________．

13．已知点，，在函数的图象上，那么，，的大小关系是________．

14．如图，将一根细长的绳子沿中间对折，再沿对折后的绳子的中间对折1次，这样连续对折n次，最后用剪刀沿对折n次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成________段．

15．如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是______________．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（1）计算：；

（2）解方程：．

17．如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接，．

(1)若，试说明；

(2)在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．

18．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

七年级20名学生的测试成绩为：

7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．

七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：

八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；

（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

19．阅读下列材料，并完成相应的任务．

任务：

(1)填空：

①依据1指的是中点的定义及________；

②依据2指的是________．

(2)请将证明过程补充完整．

(3)善于思考的小虎发现当点P是的中点时，，请你利用图（2）证明该结论的正确性．

20．如图，小开家所在居民楼，楼底C点的左侧30米处有一个山坡，坡角为，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为，居民楼与山坡的剖面在同一平面内．

(1)求的高度；（结果精确到个位，参考数据：≈1．73）

(2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1．25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？

21．今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的，两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多10棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．

（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？

（2）如果购进的这批树苗共5500棵，种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用．

22．在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．

（1）如图1，若，求的度数；

（2）如图2，当，且时，求的长；

（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．

23．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；

（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

答案

1．C

解：A. ，不是负数，不符合题意；

B. 0既不是正数，也不是负数，不符合题意；

C. 是负数，符合题意；

D. ，不是负数，不符合题意．

故选：C．

2．C

解：由正方体四个侧面和上下两个底面的特征可知，第1个、第2个和第3个图形可以拼成一个无盖正方体；而第4个图形不能折成正方体，故不是正方体的展开图．

故选：C．

3．B

解：A．疫情期间，对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性是随机事件，故选项不符合题意；

B．任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，故选项符合题意；

C．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言是随机事件，故选项不符合题意；

D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”是随机事件，故选项不符合题意．

故选：B．

4．D

解：7.56亿用科学记数法表示为，故D正确．

故选：D．

5．C

解：

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集为，

∴数轴表示如下：

故选C．

6．A

如图，依题意可得2+5+8=2+7+y

解得y=6

∴8+x+6=2+5+8

解得x=1

故选A．

7．A

解：平均数为，

众数是10，

中位数为，

故选：A．

8．C

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴线段b，d，a，c成比例．

故选：C．

9．B

，

，

故选：B．

10．C

解：如图，连接与相交于O，

∵四边形是菱形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴点O是菱形的中心，

连接，取中点M，连接，，则，为定长，

∵菱形的边长为8，，

∴，

由勾股定理可得：，

∵M是的中点，

∴，

在Rt中，，

在Rt中，，

∵，

当A，M，G三点共线时，最小为，

故选：C．

11．5

解：原式

．

故答案为：5．

12．

解：画树状图如下：

∵共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种，

∴她们恰好从同一出口走出的概率为．

故答案为：．

13．

解：∵点，，在反比例函数的图象上，

∴，，，

∴．

故答案为：．

14．

∵将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段，有；

将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段，有；

∴将一根绳子对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成段．

故答案为：．

15．

解：如图，⊙N、⊙G、⊙M与x轴相切于F、O、E，连接NF、NG、GM、ME、PM，直线y过P、N两点，

∵右边6个小圆关于点P中心对称，直线y经过点P，

∴直线y平分右边6个小圆的面积，

∵直线y经过左边小圆的圆心，

∴直线y平分⊙N的面积，

∴直线y平分7个小圆的面积，

NF⊥x轴，GO⊥x轴，则NF∥GO，

NF=GO=1，则NFOG是平行四边形，

∠GOF=90°，则NFOG是矩形，

∵⊙N、⊙G相切，

∴NG=2，即N（-2，1），

同理可得M（2，1），

∵P在⊙M的正上方，E点在⊙M的正下方，

∴PE为⊙M的直径，即P、M、E共线，

∴P（2，2），

设直线y=kx+b，则

，解得：，

∴，

故答案为：；

16．解：（1）原式

；

（2），

，

即，

∴，

解得：，．

17．（1）∵，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴．；

（2）

，理由如下：

∵，

∴，

又∵，

∴四边形是平行四边形，

∴．

18．解：（1）七年级20名学生的测试成绩的众数是：7，

∴，

由条形统计图可得，八年级抽取的学生的测试成绩的中位数是：，

∴，

八年级8分及以上人数有10人，所占百分比为：50%

∴，

（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、中位数、8分及以上人数所占百分比比七年级的高；

（3）七年级合格人数：18人，

八年级合格人数：18人，

人，

答：估计参加此次测试活动成绩合格的人数有1080人．

19．（1）①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

②依据2指的是圆内接四边形对角互补，

故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；

（2）如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE、QF，

则EQ=FQ=PC=PQ=CQ，

∴点E，F，P，C四点共圆，

∴∠FCP+∠FEP=180°，

又∵∠ACP+∠ABP=180°，

∴∠FEP=∠ABP，

同上可得点B，D，P，E四点共圆，

∴∠DBP=∠DEP，

∵∠ABP+∠DBP=180°，

∴∠FEP+∠DEP=180°，

∴点D，E，F在同一直线上；

（3）如图，连接．

∵点P是的中点，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

∴．

20．（1）如图，作于F，作，交延长线于点G，

得矩形，

∴，

根据题意可知：米，，米，，

∴米，

∴（米），

∴米，

∴米，

∴（米），

答：BC的高度约为85米；

（2）根据题意得：（秒），

∵，

∴小开能在闭馆前赶到图书馆．

21．解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元，

根据题意，得，

解之，得．

经检验知，是原分式方程的根，并符合题意．

答：这一批树苗平均每棵的价格是20元．

（2）由（1）可知种树苗每棵价格为元，种树苗每棵价格为元，

设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，则

．   

∵是的一次函数，，随着的增大而减小，，

∴当棵时，最小．此时，种树苗有棵，．

答：购进种树苗3500棵，种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．

22．（1）∵矩形，

∴，

由折叠的性质可知BF=BC=2AB，，

∴，

∴，

∴

（2）由题意可得，

，

∴

∴

∴，

∴

∴，

由勾股定理得，

∴，

∴；

（3）过点作于点．

∴

又∵

∴．

∴．

∵，即

∴，

又∵BM平分，，

∴NG=AN，

∴，

∴

整理得：．

23．解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），

则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1，

故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），

则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，

解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；

（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），

由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，

设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），

则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，

∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；

（3）存在，理由：

点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，

以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，

则或，即＝2或，即＝2或，

解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），

故m＝1或．