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2023年山西省朔州市朔城区中考数学一模试卷(含答案解析)
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这是一份2023年山西省朔州市朔城区中考数学一模试卷(含答案解析)，共21页。试卷主要包含了 下列各数中，是负数的是， 下列事件中，是必然事件的是，56×106B，4，众数是10B， 已知线段a=0等内容，欢迎下载使用。
2023年山西省朔州市朔城区中考数学一模试卷
1. 下列各数中，是负数的是( )
A. |−5| B. 0 C. −1 D. −(−35)
2. 小颖在研究无盖的正方体盒子的展开图时，画出下面4个展开图，其中符合要求的共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 下列事件中，是必然事件的是( )
A. 疫情期间，对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性
B. 任意画一个三角形，其内角和为180∘
C. 某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言
D. 打开电视机，正在播放“天宫课堂”
4. 大型电视专题片《领航》自2022年10月8日在中央广播电视总台央视开播以来，引发社会各界广泛关注，截至10月11日，专题片《领航》相关视频内容及宣传报道跨媒体总触达人次超7.56亿次．数据7.56亿用科学记数法表示为( )
A. 7.56×106 B. 7.56×107 C. 75.6×108 D. 7.56×108
5. 不等式组6+3x≥05x−12−7<0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 把1−9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛吉”(图1)，是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 6
7. 如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是( )
A. 平均数是9.4，众数是10 B. 中位数是9，平均数是10
C. 中位数是9.4，众数是9 D. 中位数是9.5，众数是10
8. 已知线段a=0.3m，b=18cm，c=0.4m，d=24cm，下列说法中正确的为( )
A. b，d，c，a成比例 B. d，b，a，c成比例
C. b，d，a，c成比例 D. b，c，d，a成比例
9. 将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A，B两点，若OA=5厘米，则AB的长度为( )
A. 2π厘米 B. 52π厘米 C. 5π厘米 D. 254π厘米
10. 如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC=60∘，点E，F分别是AB，CD边上的动点，且AE=CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是( )
A. 2 7 B. 2 3 C. 2 7−2 3 D. 2 7+2 3
11. ( 7− 2)( 7+ 2)=______ .
12. 我市举办的“喜迎二十大⋅奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆出入口示意图，小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是______ .
13. 已知点(−3,y1)，(−1,y2)，(1,y3)在函数y=−3x的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是______ .
14. 如图，将一根细长的绳子沿中间对折，再沿对折后的绳子的中间对折1次，这样连续对折n次，最后用剪刀沿对折n次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成______ 段.
15. 如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是______.
16. (1)计算：3−27−(13)−1+| 3−2|；
(2)解方程：x2+4x+2=0.
17. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，在BD上取两点E，F，使DF=BE，连接AE，CF.
(1)若AE//CF，试说明△ABE≌△CDF；
(2)在(1)的条件下，连接AF，CE，试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由.
18. 为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分，6分及6分以上为合格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6.
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
a
7
45%
八年级
7.5
8
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中的a，b，c的值；
(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
19. 阅读下列材料，并完成相应的任务．
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线(此线常称为西姆松线).
某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．
如图(1)，已知△ABC内接于⊙O，点P在⊙O上(不与点A，B，C重合)，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点D，E，F.求证：点D，E，F在同一条直线上．
如下是他们的证明过程(不完整)：
如图(1)，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE.QF，
则EQ=FQ=12PC=PQ=CQ，(依据1)
∵点E，F，P，C四点共圆，
∴∠FCP+∠FEP=180∘.(依据2)
又∵∠ACP+∠ABP=180∘，
∴∠FEP=∠ABP.
同上可得点B，D，P，E四点共圆，
……
任务：
(1)填空：
①依据1指的是中点的定义及______；
②依据2指的是______.
(2)请将证明过程补充完整．
(3)善于思考的小虎发现当点P是BC的中点时，BD=CF，请你利用图(2)证明该结论的正确性．
20. 如图，小开家所在居民楼AC，楼底C点的左侧30米处有一个山坡DE，坡角为30∘，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离DE为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为45∘，居民楼AC与山坡DE的剖面在同一平面内.
(1)求BC的高度；(结果精确到个位，参考数据： 3≈1.73)
(2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1.25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？
21. 今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和B种树苗的价格分别是这一树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍.
(1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
(2)如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗最多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用.
22. 综合与探究
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处.
(1)如图①，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
(2)如图②，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求EF的长；
(3)如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，请直接写出ABBC的值.
23. 如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA=2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：|−5|=5，−(−35)=35，
故选：C.
先化简，再判断求解．
本题考查了正数和负数，绝对值的化简和符号的化简是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，第1个、第2个和第3个图形可以拼成一个无盖正方体；而第4个图形不能折成正方体，故不是正方体的展开图．
∴符合要求的共有3个，
故选：C.
由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．
考查了正方体的展开图，解题的关键是明确四棱柱的特征及无盖正方体展开图的各种情形．
3.【答案】B
【解析】解：A、疫情期间，对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性，是随机事件，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和为180∘，是必然事件，符合题意；
C、某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言，是随机事件，不符合题意；
D、打开电视机，正在播放“天宫课堂”，是随机事件，不符合题意；
故选：B.
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是三角形内角和定理，必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】D
【解析】解：7.56亿=756000000=7.56×108.
故选：D.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】C
【解析】解：由6+3x≥0，得：x≥−2，
由5x−12−7<0，得：x<3，
则不等式组的解集为−2≤x<3，
故选：C.
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由题意，可得：8+x=2+7，
解得：x=1.
故选：A.
根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，可得第三行与第三列上的两个数之和相等，依此列出方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：平均数为：7+8×3+9×6+10×7+11×320=9.4(∘C)，
众数是10∘C，
中位数是9+102=9.5(∘C)，
故选：D.
根据样众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可．
本题主要考查众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．
8.【答案】C
【解析】解∵18：24=0.3：0.4，
∴b：d=a：c，
∴线段b，d，a，c成比例．
故选：C.
通过计算b：d=a：c，判断线段b，d，a，c成比例．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
9.【答案】B
【解析】解：AB的长=90π×5180=5π2(cm).
故选：B.
利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长的计算，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，记住弧长公式l=nπr180.
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接AC与EF相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠OAE=∠OCF，
∵∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OA=OC，
∴点O是菱形的中心，
连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，
∵菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60∘，
∴AC⊥BD，∠ABO=30∘，OA=OC=2，
由勾股定理可得：OB= AB2−OA2= 82−42=4 3，
∵M是OB的中点，
∴OM=12OB=12×4 3=2 3，
在Rt△AOM中，AM= OA2+OM2=2 7，
在Rt△BOG中，GM=12OB=2 3，
∵AG≥AM−MG=2 7−2 3，
当A，M，G三点共线时，AG的最小值为2 7−2 3；
故选：C.
连接AC与EF相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．
11.【答案】5
【解析】解：( 7− 2)( 7+ 2)
=7−2
=5，
故答案为：5.
根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
12.【答案】13
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小颖和母亲恰好从同一出口走出的结果有3种，
∴小颖和母亲恰好从同一出口走出的概率为39=13.
故答案为：13.
画树状图，共有9种等可能的结果，其中小颖和母亲恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】y3
∴y1=−3−3=1，y2=−3−1=3，y3=−31=−3，
所以y3
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式是解题的关键．
14.【答案】(2n+1)
【解析】解：根据题意分析可得：连续对折n次后，共有2n段，剪刀沿对折n次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成(2n+1)段．
故答案为：(2n+1).
对折后的段数问题，即对折几次，段数就是2的几次方，剪的次数与段数问题，即剪的次数的平方+1=段数．
本题考查了列代数式，掌握题意找出其中规律列出代数式是关键．
15.【答案】y=14x+32
【解析】解：下一行最左边圆的圆心为点A，下一行从左边到右边的第三个圆的圆心为点D，作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C，如图，
∵相邻两圆相切，下面一行的4个小圆都与x轴相切，
∴P、D、C共线，
∴OB=2，OC=2，PC=2，AB=1，
∴A(−2,1)，P(2,2)，
∵过P点的任意一直线平分除⊙A外的六个圆的面积，
而过点A的直线平分⊙A的面积，
∴直线AP平分这7个小圆的面积，
设直线PA的解析式为y=kx+b，
把A(−2,1)，P(2,2)分别代入得−2k+b=12k+b=2，
解得k=14b=32，
∴直线PA的解析式为y=14x+32.
故答案为：y=14x+32.
下一行最左边圆的圆心为点A，下一行从左边到右边的第三个圆的圆心为点D，作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C，如图，根据切线的性质和两圆相切的性质得到OB=2，OC=2，PC=2，AB=1，所以A(−2,1)，P(2,2)，利用中心对称图形的性质，过P点的任意一直线平分除⊙A外的六个圆的面积，过点A的直线平分⊙A的面积，所以直线AP平分这7个小圆的面积，然后利用待定系数法求出直线PA的解析式即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了坐标与图形性质、圆与圆的位置关系和待定系数法求一次函数解析式．
16.【答案】解：(1)原式=−3−3+2− 3=−4− 3；
(2)x2+4x+2=0，
x2+4x+4=−2+4，
即(x+2)2=2，
∴x+2=± 2，
∴x1=−2+ 2，x2=−2− 2.
【解析】(1)先计算立方根、负整数指数幂、零指数幂，再计算加法可得；
(2)配方法求解可得．
本题考查了一元二次方程的解法和实数的混合运算，掌握解一元二次方程的方法和实数的混合运算法则是关键．
17.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠ABD=∠CDF，
∵AE//CF，
∴∠AEB=∠CFD，
∵BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
∠ABD=∠CDFBE=DF∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF(ASA)；
(2)解：AF=CE，理由如下：
如图：
∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，AE=CF，
在△ABF和△CDE中，
AB=CD∠ABD=∠CDBBF=DE，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AF=CE.
【解析】(1)由“ASA”可证△ABE≌△CDF；
(2)由全等三角形的性质可得AB=CD，由“SAS”可证△ABE≌△CDF，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18.【答案】(1)a=7，b=7.5，c=50%；
(2)八年级学生掌握垃极分类知识较好，理由：
七、八年级的平均数相同，但八年级的众数、中位数以及8分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃极分类知识较好；
(3)∵从调查的数据看，七年级2人的成绩不合格，八年级2人的成绩不合格，
∴参加此次测试活动成绩合格的学生有1200×(20−2)+(20−2)20+20=1080(人)，
答：参加此次测试活动成绩合格的学生有1080人．
【解析】(1)∵七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，
∴众数a=7，
由条形统计图可得，中位数b=(7+8)÷2=7.5，
c=(5+2+3)÷20×100%=50%，
即a=7，b=7.5，c=50%；
(2)根据题意，即可得解；
(3)根据题目中的数据和条形统计图中的数据，进行求解即可．
本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体.
19.【答案】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 圆内接四边形对角互补
【解析】(1)解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
②依据2指的是圆内接四边形对角互补，
故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；
(2)解：如图(1)，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE.QF，
则EQ=FQ=12PC=PQ=CQ，
∴点E，F，P，C四点共圆，
∴∠FCP+∠FEP=180∘，
又∵∠ACP+∠ABP=180∘，
∴∠FEP=∠ABP，
同上可得点B，D，P，E四点共圆，
∴∠DBP=∠DEP，
∵∠ABP+∠DBP=180∘，
∴∠FEP+∠DEP=180∘，
∴点D，E，F在同一直线上；
(3)证明：如图，连接PA，PB，PC，
∵点P是BC的中点，
∴BP=PC，
∴BP=PC，∠PAD=∠PAC，
又∵PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD=PF，
∴Rt△PBD≌Rt△PCF(HL)，
∴BD=CF.
(1)利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；
(2)利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E，F，P，C和点B，D，P，E四点分别共圆，再说明∠FEP+∠DEP=180∘，可证明结论；
(3)连接PA，PB，PC，利用HL证明Rt△PBD≌Rt△PCF，从而得出结论．
本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt△PBD≌Rt△PCF是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，交CD延长线于点G，
得矩形EFCG，
∴EF=CG，EG=FC，
根据题意可知：CD=30米，∠BEF=45∘，DE=40米，∠EDG=30∘，
∴EG=12DE=20米，
∴DG= 3EG=20 3(米)，
∴EF=GC=GD+CD=(20 3+30)米，
∴BF=EF=(20 3+30)米，
∴BC=BF+FC=BF+EG=20 3+30+20=20 3+50≈85(米)，
答：BC的高度约为85米；
(2)根据题意得：30÷6+40÷4+85÷1.25+3×60=263(秒)，
∵263<300，
∴小开能在闭馆前赶到图书馆．
【解析】(1)作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，交CD延长线于点G，根据题意可得CD=30米，∠BEF=45∘，DE=40米，∠EDG=30∘，然后利用特殊角三角函数即可解决问题；
(2)根据题意求出小开到图书馆所用时间，再与图书馆闭馆所剩5分钟进行比较，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
21.【答案】解：(1)设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程，得：
6300.9x−6001.2x=10，
解这个方程，得x=20，
经检验，x=20是原分式方程的解，并符合题意，
答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；
(2)由(1)可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9=18(元)，B种树苗每棵的价格为：20×1.2=24(元)，
设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：
w=18t+24(5500−t)=−6t+132000，
∵w是t的一次函数，k=−6<0，
∴w随t的增大而减小，
又∵t≤3500，
∴当t=3500棵时，w最小，
此时，B种树苗有：5500−3500=2000(棵)，w=−6×3500+132000=111000，
答：购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．
【解析】(1)设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可；
(2)分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，根据题意求出w与t的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90∘，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∠C=∠BFE=90∘，
∵BC=2AB，
∴BF=2AB，
∴∠AFB=30∘，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF=30∘，
∴∠CBE=12∠FBC=15∘；
(2)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE=∠C=90∘，CE=EF，
又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90∘，
∴∠AFB+∠DFE=90∘，∠DEF+∠DFE=90∘，
∴∠AFB=∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴AFDE=ABDF，
∴AF⋅DF=AB⋅DE，
∵AF⋅DF=10，AB=5，
∴DE=2，
∴CE=DC−DE=5−2=3，
∴EF=3；
(3)过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF=AN+FD，
∴NF=12AD=12BC，
∵BC=BF，
∴NF=12BF，
∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90∘，
∴△NFG∽△BFA，
∴NGAB=FGFA=NFBF=12，
设AN=x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN=NG=x，AB=BG=2x，
设FG=y，则AF=2y，
∵AB2+AF2=BF2，
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，
解得y=43x.
∴BF=BG+GF=2x+43x=103x.
∴ABBC=ABBF=2x103x=35.
【解析】(1)由折叠的性质得出BC=BF，∠FBE=∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB=30∘，可求出答案；
(2)证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出AFDE=ABDF，可求出DE=2，求出EF=3，由勾股定理求出DF= 5，则可求出AF，即可求出BC的长；
(3)过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，NGAB=FGFA=NFBF=12，设AN=x，设FG=y，则AF=2y，由勾股定理得出(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解出y=43x，则可求出答案．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设OB=t，则OA=2t，则点A、B的坐标分别为(2t,0)、(−t,0)，
则x=12=12(2t−t)，解得：t=1，
故点A、B的坐标分别为(2,0)、(−1,0)，
则抛物线的表达式为：y=a(x−2)(x+1)=ax2+bx+2，
解得：a=−1，b=1，
故抛物线的表达式为：y=−x2+x+2；
(2)对于y=−x2+x+2，令x=0，则y=2，故点C(0,2)，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=−x+2，
设点D的横坐标为m，则点D(m,−m2+m+2)，则点F(m,−m+2)，
则DF=−m2+m+2−(−m+2)=−m2+2m，
∵−1<0，故DF有最大值，此时m=1，点D(1,2)；
(3)存在，理由：
点D(m,−m2+m+2)(m>0)，则OE=m，DE=−m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则DEOE=OBOC或OCOB，即DEOE=12或2，即−m2+m+2m=12或2，
解得：m=1或−2(舍去)或1+ 334或1− 334(舍去)，
经检验，m=1或1+ 334是方程的解，
故m=1或1+ 334.
【解析】(1)点A、B的坐标分别为(2t,0)、(−t,0)，则x=12=12(2t−t)，即可求解；
(2)点D(m,−m2+m+2)，则点F(m,−m+2)，则DF=−m2+m+2−(−m+2)=−m2+2m，即可求解；
(3)以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则DEOE=OBOC或OCOB，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2023年山西省朔州市朔城区中考数学一模试卷
1. 下列各数中，是负数的是( )
A. |−5| B. 0 C. −1 D. −(−35)
2. 小颖在研究无盖的正方体盒子的展开图时，画出下面4个展开图，其中符合要求的共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 下列事件中，是必然事件的是( )
A. 疫情期间，对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性
B. 任意画一个三角形，其内角和为180∘
C. 某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言
D. 打开电视机，正在播放“天宫课堂”
4. 大型电视专题片《领航》自2022年10月8日在中央广播电视总台央视开播以来，引发社会各界广泛关注，截至10月11日，专题片《领航》相关视频内容及宣传报道跨媒体总触达人次超7.56亿次．数据7.56亿用科学记数法表示为( )
A. 7.56×106 B. 7.56×107 C. 75.6×108 D. 7.56×108
5. 不等式组6+3x≥05x−12−7<0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 把1−9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛吉”(图1)，是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 6
7. 如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是( )
A. 平均数是9.4，众数是10 B. 中位数是9，平均数是10
C. 中位数是9.4，众数是9 D. 中位数是9.5，众数是10
8. 已知线段a=0.3m，b=18cm，c=0.4m，d=24cm，下列说法中正确的为( )
A. b，d，c，a成比例 B. d，b，a，c成比例
C. b，d，a，c成比例 D. b，c，d，a成比例
9. 将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A，B两点，若OA=5厘米，则AB的长度为( )
A. 2π厘米 B. 52π厘米 C. 5π厘米 D. 254π厘米
10. 如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC=60∘，点E，F分别是AB，CD边上的动点，且AE=CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是( )
A. 2 7 B. 2 3 C. 2 7−2 3 D. 2 7+2 3
11. ( 7− 2)( 7+ 2)=______ .
12. 我市举办的“喜迎二十大⋅奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆出入口示意图，小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是______ .
13. 已知点(−3,y1)，(−1,y2)，(1,y3)在函数y=−3x的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是______ .
14. 如图，将一根细长的绳子沿中间对折，再沿对折后的绳子的中间对折1次，这样连续对折n次，最后用剪刀沿对折n次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成______ 段.
15. 如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是______.
16. (1)计算：3−27−(13)−1+| 3−2|；
(2)解方程：x2+4x+2=0.
17. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，在BD上取两点E，F，使DF=BE，连接AE，CF.
(1)若AE//CF，试说明△ABE≌△CDF；
(2)在(1)的条件下，连接AF，CE，试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由.
18. 为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分，6分及6分以上为合格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6.
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
a
7
45%
八年级
7.5
8
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中的a，b，c的值；
(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
19. 阅读下列材料，并完成相应的任务．
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线(此线常称为西姆松线).
某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．
如图(1)，已知△ABC内接于⊙O，点P在⊙O上(不与点A，B，C重合)，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点D，E，F.求证：点D，E，F在同一条直线上．
如下是他们的证明过程(不完整)：
如图(1)，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE.QF，
则EQ=FQ=12PC=PQ=CQ，(依据1)
∵点E，F，P，C四点共圆，
∴∠FCP+∠FEP=180∘.(依据2)
又∵∠ACP+∠ABP=180∘，
∴∠FEP=∠ABP.
同上可得点B，D，P，E四点共圆，
……
任务：
(1)填空：
①依据1指的是中点的定义及______；
②依据2指的是______.
(2)请将证明过程补充完整．
(3)善于思考的小虎发现当点P是BC的中点时，BD=CF，请你利用图(2)证明该结论的正确性．
20. 如图，小开家所在居民楼AC，楼底C点的左侧30米处有一个山坡DE，坡角为30∘，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离DE为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为45∘，居民楼AC与山坡DE的剖面在同一平面内.
(1)求BC的高度；(结果精确到个位，参考数据： 3≈1.73)
(2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1.25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？
21. 今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和B种树苗的价格分别是这一树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍.
(1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
(2)如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗最多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用.
22. 综合与探究
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处.
(1)如图①，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
(2)如图②，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求EF的长；
(3)如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，请直接写出ABBC的值.
23. 如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA=2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：|−5|=5，−(−35)=35，
故选：C.
先化简，再判断求解．
本题考查了正数和负数，绝对值的化简和符号的化简是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，第1个、第2个和第3个图形可以拼成一个无盖正方体；而第4个图形不能折成正方体，故不是正方体的展开图．
∴符合要求的共有3个，
故选：C.
由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．
考查了正方体的展开图，解题的关键是明确四棱柱的特征及无盖正方体展开图的各种情形．
3.【答案】B
【解析】解：A、疫情期间，对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性，是随机事件，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和为180∘，是必然事件，符合题意；
C、某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言，是随机事件，不符合题意；
D、打开电视机，正在播放“天宫课堂”，是随机事件，不符合题意；
故选：B.
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是三角形内角和定理，必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】D
【解析】解：7.56亿=756000000=7.56×108.
故选：D.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】C
【解析】解：由6+3x≥0，得：x≥−2，
由5x−12−7<0，得：x<3，
则不等式组的解集为−2≤x<3，
故选：C.
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由题意，可得：8+x=2+7，
解得：x=1.
故选：A.
根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，可得第三行与第三列上的两个数之和相等，依此列出方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：平均数为：7+8×3+9×6+10×7+11×320=9.4(∘C)，
众数是10∘C，
中位数是9+102=9.5(∘C)，
故选：D.
根据样众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可．
本题主要考查众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．
8.【答案】C
【解析】解∵18：24=0.3：0.4，
∴b：d=a：c，
∴线段b，d，a，c成比例．
故选：C.
通过计算b：d=a：c，判断线段b，d，a，c成比例．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
9.【答案】B
【解析】解：AB的长=90π×5180=5π2(cm).
故选：B.
利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长的计算，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，记住弧长公式l=nπr180.
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接AC与EF相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠OAE=∠OCF，
∵∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OA=OC，
∴点O是菱形的中心，
连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，
∵菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60∘，
∴AC⊥BD，∠ABO=30∘，OA=OC=2，
由勾股定理可得：OB= AB2−OA2= 82−42=4 3，
∵M是OB的中点，
∴OM=12OB=12×4 3=2 3，
在Rt△AOM中，AM= OA2+OM2=2 7，
在Rt△BOG中，GM=12OB=2 3，
∵AG≥AM−MG=2 7−2 3，
当A，M，G三点共线时，AG的最小值为2 7−2 3；
故选：C.
连接AC与EF相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．
11.【答案】5
【解析】解：( 7− 2)( 7+ 2)
=7−2
=5，
故答案为：5.
根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
12.【答案】13
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小颖和母亲恰好从同一出口走出的结果有3种，
∴小颖和母亲恰好从同一出口走出的概率为39=13.
故答案为：13.
画树状图，共有9种等可能的结果，其中小颖和母亲恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】y3
∴y1=−3−3=1，y2=−3−1=3，y3=−31=−3，
所以y3
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式是解题的关键．
14.【答案】(2n+1)
【解析】解：根据题意分析可得：连续对折n次后，共有2n段，剪刀沿对折n次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成(2n+1)段．
故答案为：(2n+1).
对折后的段数问题，即对折几次，段数就是2的几次方，剪的次数与段数问题，即剪的次数的平方+1=段数．
本题考查了列代数式，掌握题意找出其中规律列出代数式是关键．
15.【答案】y=14x+32
【解析】解：下一行最左边圆的圆心为点A，下一行从左边到右边的第三个圆的圆心为点D，作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C，如图，
∵相邻两圆相切，下面一行的4个小圆都与x轴相切，
∴P、D、C共线，
∴OB=2，OC=2，PC=2，AB=1，
∴A(−2,1)，P(2,2)，
∵过P点的任意一直线平分除⊙A外的六个圆的面积，
而过点A的直线平分⊙A的面积，
∴直线AP平分这7个小圆的面积，
设直线PA的解析式为y=kx+b，
把A(−2,1)，P(2,2)分别代入得−2k+b=12k+b=2，
解得k=14b=32，
∴直线PA的解析式为y=14x+32.
故答案为：y=14x+32.
下一行最左边圆的圆心为点A，下一行从左边到右边的第三个圆的圆心为点D，作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C，如图，根据切线的性质和两圆相切的性质得到OB=2，OC=2，PC=2，AB=1，所以A(−2,1)，P(2,2)，利用中心对称图形的性质，过P点的任意一直线平分除⊙A外的六个圆的面积，过点A的直线平分⊙A的面积，所以直线AP平分这7个小圆的面积，然后利用待定系数法求出直线PA的解析式即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了坐标与图形性质、圆与圆的位置关系和待定系数法求一次函数解析式．
16.【答案】解：(1)原式=−3−3+2− 3=−4− 3；
(2)x2+4x+2=0，
x2+4x+4=−2+4，
即(x+2)2=2，
∴x+2=± 2，
∴x1=−2+ 2，x2=−2− 2.
【解析】(1)先计算立方根、负整数指数幂、零指数幂，再计算加法可得；
(2)配方法求解可得．
本题考查了一元二次方程的解法和实数的混合运算，掌握解一元二次方程的方法和实数的混合运算法则是关键．
17.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠ABD=∠CDF，
∵AE//CF，
∴∠AEB=∠CFD，
∵BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
∠ABD=∠CDFBE=DF∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF(ASA)；
(2)解：AF=CE，理由如下：
如图：
∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，AE=CF，
在△ABF和△CDE中，
AB=CD∠ABD=∠CDBBF=DE，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AF=CE.
【解析】(1)由“ASA”可证△ABE≌△CDF；
(2)由全等三角形的性质可得AB=CD，由“SAS”可证△ABE≌△CDF，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18.【答案】(1)a=7，b=7.5，c=50%；
(2)八年级学生掌握垃极分类知识较好，理由：
七、八年级的平均数相同，但八年级的众数、中位数以及8分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃极分类知识较好；
(3)∵从调查的数据看，七年级2人的成绩不合格，八年级2人的成绩不合格，
∴参加此次测试活动成绩合格的学生有1200×(20−2)+(20−2)20+20=1080(人)，
答：参加此次测试活动成绩合格的学生有1080人．
【解析】(1)∵七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，
∴众数a=7，
由条形统计图可得，中位数b=(7+8)÷2=7.5，
c=(5+2+3)÷20×100%=50%，
即a=7，b=7.5，c=50%；
(2)根据题意，即可得解；
(3)根据题目中的数据和条形统计图中的数据，进行求解即可．
本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体.
19.【答案】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 圆内接四边形对角互补
【解析】(1)解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
②依据2指的是圆内接四边形对角互补，
故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；
(2)解：如图(1)，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE.QF，
则EQ=FQ=12PC=PQ=CQ，
∴点E，F，P，C四点共圆，
∴∠FCP+∠FEP=180∘，
又∵∠ACP+∠ABP=180∘，
∴∠FEP=∠ABP，
同上可得点B，D，P，E四点共圆，
∴∠DBP=∠DEP，
∵∠ABP+∠DBP=180∘，
∴∠FEP+∠DEP=180∘，
∴点D，E，F在同一直线上；
(3)证明：如图，连接PA，PB，PC，
∵点P是BC的中点，
∴BP=PC，
∴BP=PC，∠PAD=∠PAC，
又∵PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD=PF，
∴Rt△PBD≌Rt△PCF(HL)，
∴BD=CF.
(1)利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；
(2)利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E，F，P，C和点B，D，P，E四点分别共圆，再说明∠FEP+∠DEP=180∘，可证明结论；
(3)连接PA，PB，PC，利用HL证明Rt△PBD≌Rt△PCF，从而得出结论．
本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt△PBD≌Rt△PCF是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，交CD延长线于点G，
得矩形EFCG，
∴EF=CG，EG=FC，
根据题意可知：CD=30米，∠BEF=45∘，DE=40米，∠EDG=30∘，
∴EG=12DE=20米，
∴DG= 3EG=20 3(米)，
∴EF=GC=GD+CD=(20 3+30)米，
∴BF=EF=(20 3+30)米，
∴BC=BF+FC=BF+EG=20 3+30+20=20 3+50≈85(米)，
答：BC的高度约为85米；
(2)根据题意得：30÷6+40÷4+85÷1.25+3×60=263(秒)，
∵263<300，
∴小开能在闭馆前赶到图书馆．
【解析】(1)作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，交CD延长线于点G，根据题意可得CD=30米，∠BEF=45∘，DE=40米，∠EDG=30∘，然后利用特殊角三角函数即可解决问题；
(2)根据题意求出小开到图书馆所用时间，再与图书馆闭馆所剩5分钟进行比较，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
21.【答案】解：(1)设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程，得：
6300.9x−6001.2x=10，
解这个方程，得x=20，
经检验，x=20是原分式方程的解，并符合题意，
答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；
(2)由(1)可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9=18(元)，B种树苗每棵的价格为：20×1.2=24(元)，
设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：
w=18t+24(5500−t)=−6t+132000，
∵w是t的一次函数，k=−6<0，
∴w随t的增大而减小，
又∵t≤3500，
∴当t=3500棵时，w最小，
此时，B种树苗有：5500−3500=2000(棵)，w=−6×3500+132000=111000，
答：购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．
【解析】(1)设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可；
(2)分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，根据题意求出w与t的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90∘，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∠C=∠BFE=90∘，
∵BC=2AB，
∴BF=2AB，
∴∠AFB=30∘，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF=30∘，
∴∠CBE=12∠FBC=15∘；
(2)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE=∠C=90∘，CE=EF，
又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90∘，
∴∠AFB+∠DFE=90∘，∠DEF+∠DFE=90∘，
∴∠AFB=∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴AFDE=ABDF，
∴AF⋅DF=AB⋅DE，
∵AF⋅DF=10，AB=5，
∴DE=2，
∴CE=DC−DE=5−2=3，
∴EF=3；
(3)过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF=AN+FD，
∴NF=12AD=12BC，
∵BC=BF，
∴NF=12BF，
∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90∘，
∴△NFG∽△BFA，
∴NGAB=FGFA=NFBF=12，
设AN=x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN=NG=x，AB=BG=2x，
设FG=y，则AF=2y，
∵AB2+AF2=BF2，
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，
解得y=43x.
∴BF=BG+GF=2x+43x=103x.
∴ABBC=ABBF=2x103x=35.
【解析】(1)由折叠的性质得出BC=BF，∠FBE=∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB=30∘，可求出答案；
(2)证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出AFDE=ABDF，可求出DE=2，求出EF=3，由勾股定理求出DF= 5，则可求出AF，即可求出BC的长；
(3)过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，NGAB=FGFA=NFBF=12，设AN=x，设FG=y，则AF=2y，由勾股定理得出(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解出y=43x，则可求出答案．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设OB=t，则OA=2t，则点A、B的坐标分别为(2t,0)、(−t,0)，
则x=12=12(2t−t)，解得：t=1，
故点A、B的坐标分别为(2,0)、(−1,0)，
则抛物线的表达式为：y=a(x−2)(x+1)=ax2+bx+2，
解得：a=−1，b=1，
故抛物线的表达式为：y=−x2+x+2；
(2)对于y=−x2+x+2，令x=0，则y=2，故点C(0,2)，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=−x+2，
设点D的横坐标为m，则点D(m,−m2+m+2)，则点F(m,−m+2)，
则DF=−m2+m+2−(−m+2)=−m2+2m，
∵−1<0，故DF有最大值，此时m=1，点D(1,2)；
(3)存在，理由：
点D(m,−m2+m+2)(m>0)，则OE=m，DE=−m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则DEOE=OBOC或OCOB，即DEOE=12或2，即−m2+m+2m=12或2，
解得：m=1或−2(舍去)或1+ 334或1− 334(舍去)，
经检验，m=1或1+ 334是方程的解，
故m=1或1+ 334.
【解析】(1)点A、B的坐标分别为(2t,0)、(−t,0)，则x=12=12(2t−t)，即可求解；
(2)点D(m,−m2+m+2)，则点F(m,−m+2)，则DF=−m2+m+2−(−m+2)=−m2+2m，即可求解；
(3)以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则DEOE=OBOC或OCOB，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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