2022-2023学年山西省临汾市九年级（上）期中数学试卷及答案

这是一份2022-2023学年山西省临汾市九年级（上）期中数学试卷及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山西省临汾市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1．（3分）计算的结果为　　
A．2 B．4 C． D．
2．（3分）下列四条线段成比例的是　　
A．4，2，1，3 B．1，2，2，4 C．3，4，5，6 D．1，2，3，5
3．（3分）我们在解一元二次方程时，先将等号左边利用平方差公式进行因式分解，得到，再把它转化为两个一元一次方程或，进而解得，，这种解方程的过程体现出来的数学思想是　　
A．抽象的思想 B．数形结合的思想
C．公理化的思想 D．转化的思想
4．（3分）若，则　　
A． B． C． D．
5．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
6．（3分）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，和相交于点，点，之间的距离为1.2米，，根据图2中的数据可得点，之间的距离为　　

A．0.8米 B．0.86米 C．0.96米 D．1米
7．（3分）用配方法解方程配方后的方程是　　
A． B． C． D．
8．（3分）如图，是的边的延长线上的一点，连接，交边于点．若，则与的周长之比为　　

A． B． C． D．
9．（3分）关于一元二次方程为常数）的根的情况，下列说法正确的是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定根的情况
10．（3分）如图，在四边形中，，，，分别是，的中点，连接，，，点为边上一点，过点作，交于点，若，则的长为　　

A． B．1 C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）化为最简二次根式是 　　．
12．（3分）蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为 　　．

13．（3分）如图，在中，是上一点，，，垂足为，是的中点，，则的长为 　　．

14．（3分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，，与相交于点，已知米，米，米，米，则汽车从处前行的距离　　米时，才能发现处的儿童．

15．（3分）如图，在中，，，平分，若，则的长为 　　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
17．（6分）如图，在中，，是边上一点，且，过点作的垂线，交的延长线于点，求证：．

18．（8分）某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元箱时，六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱．
（1）求七，八两月的月平均增长率；
（2）九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？
19．（7分）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（网格中每个小正方形的边长为，以点为位似中心，画出的位似图形△，相似比为2．
（1）请在第一象限内画出△；
（2）若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标．

20．（8分）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务：
法国数学家爱德华卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．
“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第个数可以表示为，其中．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）
任务：
（1）卢卡斯数列中的第1个数（1）　　，第2个数（2）　　；
（2）卢卡斯数列有一个重要特征：当时，满足．请根据这一规律写出卢卡斯数列中的第6个数（6）．
21．（10分）如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道闸示意图．如图1，道闸关闭时，四边形是矩形．如图2，在道闸打开的过程中，边固定，直线，连杆、分别绕点、转动，且边始终与边平行，为上的一点（不与点，重合），过点作直线，，垂足分别为，，即四边形是矩形，过点作，垂足为，延长与相交于点．

（1）与相似吗？请判断并说明理由．
（2）若道闸长米，宽米，点距地面0.2米，米，米，米．
①求点到地面的距离；
②求的长．

22．（13分）综合与实践
问题情境：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，连接并延长交于点．
猜想验证：（1）试猜想与是否相似？并证明你的猜想．
探究证明：（2）如图，连接交于点，与相交于点，是否成立？并说明理由．
拓展延伸：（3）若，直接写出的值．

23．（13分）综合与探究
如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，当点到达点时，点，同时停止运动．若，的长是的两根（其中，单位：．
（1）求，的长；
（2）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积为？
（3）如果点，分别从点，同时出发，是否能和相似？如果能，请求出运动的时间；如果不能，请说明理由．


2022-2023学年山西省临汾市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1．（3分）计算的结果为　　
A．2 B．4 C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：原式，
故选：．
2．（3分）下列四条线段成比例的是　　
A．4，2，1，3 B．1，2，2，4 C．3，4，5，6 D．1，2，3，5
【答案】
【分析】对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，根据定义判断即可．
【解答】解：、，故选项不符合题意；
、，故选项符合题意；
、，故选项不符合题意；
、，故选项不符合题意．
故选：．
3．（3分）我们在解一元二次方程时，先将等号左边利用平方差公式进行因式分解，得到，再把它转化为两个一元一次方程或，进而解得，，这种解方程的过程体现出来的数学思想是　　
A．抽象的思想 B．数形结合的思想
C．公理化的思想 D．转化的思想
【答案】
【分析】上述解题过程利用了转化的数学思想．
【解答】解：我们在解一元二次方程时，先将等号左边利用平方差公式进行因式分解，得到，再把它转化为两个一元一次方程或，进而解得，，
这种解法体现的数学思想是转化思想，
故选：．
4．（3分）若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
5．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的化简及乘法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
6．（3分）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，和相交于点，点，之间的距离为1.2米，，根据图2中的数据可得点，之间的距离为　　

A．0.8米 B．0.86米 C．0.96米 D．1米
【答案】
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：，
，
，
，
，
答：点，之间的距离为0.96米，
故选：．
7．（3分）用配方法解方程配方后的方程是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程移项得：，
配方得：，即．
故选：．
8．（3分）如图，是的边的延长线上的一点，连接，交边于点．若，则与的周长之比为　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】由四边形是平行四边形，得，则，可推导出，由，得，则．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
9．（3分）关于一元二次方程为常数）的根的情况，下列说法正确的是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定根的情况
【答案】
【分析】计算出方程的根的判别式，只要得到根的判别式的符号，即可作出判断．
【解答】解：，，，
△，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：．
10．（3分）如图，在四边形中，，，，分别是，的中点，连接，，，点为边上一点，过点作，交于点，若，则的长为　　

A． B．1 C． D．
【答案】
【分析】连接、，由，，根据勾股定理求得，由三角形的中位线定理求得，再证明，则，即可求得，得到问题的答案．
【解答】解：连接，，
，，
，
，分别是，的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为1，
故选：．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）化为最简二次根式是 　　．
【答案】．
【分析】根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：，
故答案为：．
12．（3分）蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为 　　．

【答案】．
【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
【解答】解：由题意知，图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
13．（3分）如图，在中，是上一点，，，垂足为，是的中点，，则的长为 　6　．

【答案】6．
【分析】根据等腰三角形的三线合一得到，再根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：，，
，
，
是的中位线，
，
故答案为：6．
14．（3分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，，与相交于点，已知米，米，米，米，则汽车从处前行的距离　5.75　米时，才能发现处的儿童．

【答案】汽车从处前行5.75米，才能发现处的儿童．
【分析】先在△中，利用勾股定理求出的长，再证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质可得，然后在中，根据勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
【解答】解：在中，，，
，
，，
，
，
，
，
在中，米，
，
，
汽车从处前行5.75米，才能发现处的儿童，
故答案为：5.75．
15．（3分）如图，在中，，，平分，若，则的长为 　1　．

【答案】1．
【分析】依据，即可得到可得答案．
【解答】解：，，
，，
平分，
，
，，
．
故答案为：1．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）1；
（2），．
【分析】（1）利用平方差公式和二次公式的乘法法则计算乘法后，再合并同类二次根式即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2），
，
，即，
，
，．
17．（6分）如图，在中，，是边上一点，且，过点作的垂线，交的延长线于点，求证：．

【答案】证明见解析．
【分析】根据证得，根据对顶角相等，再根据可证得．
【解答】解：，
，
，
，，
，
．
18．（8分）某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元箱时，六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱．
（1）求七，八两月的月平均增长率；
（2）九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？
【答案】（1）；
（2）5元．
【分析】（1）设七，八两月的月平均增长率为，利用八月的销售量六月的销售量七，八两月的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该水果每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设七，八两月的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：七，八两月的月平均增长率为．
（2）设该水果每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：当该水果每箱降价5元时，超市九月获利4250元．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（网格中每个小正方形的边长为，以点为位似中心，画出的位似图形△，相似比为2．
（1）请在第一象限内画出△；
（2）若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标．

【答案】（1）见解答；
（2）或或．
【分析】（1）把、、点的横纵坐标都乘以2得到点、、的坐标，然后描点即可；
（2）把平移使点与点重合，则点的对应点为点；把平移使点与点重合，则点的对应点为点；把平移使点与点重合，则点的对应点为点．
【解答】解：（1）如图，△为所作；

（2）点的坐标为或或．
20．（8分）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务：
法国数学家爱德华卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．
“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第个数可以表示为，其中．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）
任务：
（1）卢卡斯数列中的第1个数（1）　2　，第2个数（2）　　；
（2）卢卡斯数列有一个重要特征：当时，满足．请根据这一规律写出卢卡斯数列中的第6个数（6）．
【答案】（1）2；1；
（2）11．
【分析】（1）根据，将，2分别代入计算即可求解；
（2）根据当时，满足，先求出，，再进一步求出（6）．
【解答】解：（1），第2个数．
故答案为：2；1；
（2），
；
，
，
（6）．
21．（10分）如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道闸示意图．如图1，道闸关闭时，四边形是矩形．如图2，在道闸打开的过程中，边固定，直线，连杆、分别绕点、转动，且边始终与边平行，为上的一点（不与点，重合），过点作直线，，垂足分别为，，即四边形是矩形，过点作，垂足为，延长与相交于点．

（1）与相似吗？请判断并说明理由．
（2）若道闸长米，宽米，点距地面0.2米，米，米，米．
①求点到地面的距离；
②求的长．

【答案】（1）相似，理由见解答；
（2）①3.6米；
②2.72米．
【分析】（1）根据四边形是矩形可知，，再由可知，故可得出，进而可得出结论；
（2）①设，则，再由（1）中求出的值，根据勾股定理即可得出的长，进而可得出结论；
②同（1）可得出的长，由即可得出结论．
【解答】解：（1）相似．
理由：四边形是矩形，
，．
，
，
．
，，，
，
，
；
（2）①延长交直线于点，则点到地面的距离即为线段的长．
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
米，米，米，
（米．
故点到地面的距离为3.6米；
②道闸长米，
设米，则米，
由（1）知，，
，
点距地面0.2米，米，米，
（米，
，
解得，
在中，米，米，
（米．
（米．
故的长大约为2.72米．

22．（13分）综合与实践
问题情境：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，连接并延长交于点．
猜想验证：（1）试猜想与是否相似？并证明你的猜想．
探究证明：（2）如图，连接交于点，与相交于点，是否成立？并说明理由．
拓展延伸：（3）若，直接写出的值．

【答案】（1）与相似，理由见解析；
（2）成立，理由见解析；
（3）．
【分析】（1）根据旋转的性质得到，，，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）知，求得，推出，根据相似三角形的性质得到，推出，根据相似三角形的性质得到，推出，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）与相似，
将绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
，
；
（2）成立，
理由：由（1）知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）由（2）知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
23．（13分）综合与探究
如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，当点到达点时，点，同时停止运动．若，的长是的两根（其中，单位：．
（1）求，的长；
（2）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积为？
（3）如果点，分别从点，同时出发，是否能和相似？如果能，请求出运动的时间；如果不能，请说明理由．

【答案】（1），，
（2）1秒或5秒后，的面积为；
（3）能和相似，运动的时间为或．
【分析】（1）解方程即可得到结论，
（2）设秒后，的面积为，根据题意得列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）解方程得，
，，
，的长是的两根，
，，
（2）设秒后，的面积为，
根据题意得，，
解得或，
答：1秒或5秒后，的面积为；
（3）能和相似，
设秒后，和相似，
，
当和相似时，
或，
或，
解得或，
答：能和相似，运动的时间为或．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/19 13:37:32；用户：初中数学；邮箱：ffbs8bs@126.com；学号：210051