2022-2023学年山西省太原市小店区九年级（上）期中数学试卷及答案

这是一份2022-2023学年山西省太原市小店区九年级（上）期中数学试卷及答案，共26页。试卷主要包含了解答题解答应写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山西省太原市小店区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其字母序号填入下表相应位置．
1．一元二次方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
2．如图，在中，，是的中线，，，则的长等于　　

A．5 B．4 C．8 D．6
3．一元二次方程的根的情况为　　
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在，和．由此，推测口袋中黄色球的个数有　　
A．15个 B．20个 C．21个 D．24个
5．小亮仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程的解，列表如表：

0
0.5
1
1.5
2




6.875
25
据此可知，方程的一个解的取值范围是　　
A． B． C． D．
6．在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是　　


A．①，对角相等 B．③，有一组邻边相等
C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角
7．今年全球多地持续高温天气，我国的煤炭进口量也大幅增加．据海关总署发布的数据显示，2022年8月份我国进口煤炭约2952万吨，而2020年8月份我国进口煤炭约2056万吨．设这三年每年8月份我国进口煤炭的平均增长率为，则根据题意列出的方程是　　
A．
B．
C．
D．
8．如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，则四边形的面积等于　　

A．45 B．40 C．20 D．18
9．我市举办的“喜迎二十大，奋进新征程一乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆出入口示意图．小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是　　

A． B． C． D．
10．如图，在菱形中摆放了一副三角板．等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．的度数等于　　

A． B． C． D．
11．如图，在菱形中摆放了一副三角板．等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长等于　　

A．8 B． C．12 D．
二、填空题（本大题共5个小题）把答案直接写在题中的横线上．
12．已知关于的方程的一个根是1，则实数等于 　　．
13．现在进行配紫色游戏：同时转动如图所示的和两个转盘，若一个指针指向红色．另一个指针指向蓝色时就配成紫色；若指针指在分界线上时．就需要重新转动转盘，转动一次配成紫色的概率为 　　．

14．如图，点．分别是正方形内部、外部一点，四边形与四边形均为菱形，则的度数等于 　　．

15．一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度与弹出的时间满足的关系式为．当小球第一次距离地面时，小球弹出的时间为 　　秒．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，点E为AD的中点，连接CE．点F是CE上的动点，点G为BF的中点，连接DG．
从A，B两题中任选一题作答．
A．当AB＝3时，DG的最小值是 　 　．
B．当AB＝4时，DG的最小值是 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．如图，把两个正方形和拼成如图所示的图案，点，，在同一直线上，连接，．求的度数．

19．直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由．
20．如图，菱形的对角线和相交于点，过点作的平行线并在其上截取，连接．
求证：四边形是矩形．

21．如图，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子朝下的数字是几，就将骰子前进几格．开始骰子在数字“1”的那一格，小明先掷骰子．请解答下列问题：
（1）小明掷出骰子，数字3朝下的概率是 　　．
（2）求小红第一次掷完骰子后，骰子前进到数字“7”那一格的概率（用列表或画树状图的方法进行解答）．

22．在矩形中，的角平分线交边于点．
（1）如图1．的角平分线交边于点，求证：；
（2）如图2，当点与点重合时．
①作的角平分线交于点；
②当时，求①中的长．

23．某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为30元盏．试销一段时间后，发现按40元盏的价格销售，每周可售出600盏；当每盏台灯售价在40元至60元之间时，每盏售价每上涨2元，每周的销售量将减少20盏．
（1）若每盏台灯销售价为46元，求这周的销售利润；
（2）如果要实现每周的销售利润10000元的目标，求每盏台灯的销售价格．
24．操作与探究
操作：在数学实践课上，老师要求同学们对如图1的纸片进行以下操作，并探究其中的问题：
第一步：如图2，沿过点的直线折叠，使得点落在上，展开铺平该纸片，折痕为；
第二步：如图3，继续折叠该纸片，使得点与点重合，展开铺平该纸片，折痕为；
第三步：如图4，连接，．
探究一：判断四边形的形状，并说明理由；
探究二：在纸片中，，，．
从，两题中任选一题作答．

．求四边形的面积．
．设点在上运动，连接，，求的最小值．


2022-2023学年山西省太原市小店区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其字母序号填入下表相应位置．
1．一元二次方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据因式分解法计算即可．
【解答】解：
由此可得：或，
即，．
故选：．
2．如图，在中，，是的中线，，，则的长等于　　

A．5 B．4 C．8 D．6
【答案】
【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可得出答案．
【解答】解：，是的中线，
，
，
．
故选：．
3．一元二次方程的根的情况为　　
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】
【分析】先计算判别式得到△，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据题意△，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：．
4．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在，和．由此，推测口袋中黄色球的个数有　　
A．15个 B．20个 C．21个 D．24个
【答案】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，用频率估计概率可知黄色球的数量为总数乘以其所占百分比．
【解答】解：推测口袋中黄色球的个数是（个，
故选：．
5．小亮仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程的解，列表如表：

0
0.5
1
1.5
2




6.875
25
据此可知，方程的一个解的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】通过观察表格发现，的一个解在之间，由此确定解即可．
【解答】解：时，，
时，，
的一个解在之间，
故选：．
6．在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是　　


A．①，对角相等 B．③，有一组邻边相等
C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角
【答案】
【分析】由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．
【解答】解：、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故符合题意；
、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故不符合题意；
、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故不符合题意；
、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故不符合题意．
故选：．
7．今年全球多地持续高温天气，我国的煤炭进口量也大幅增加．据海关总署发布的数据显示，2022年8月份我国进口煤炭约2952万吨，而2020年8月份我国进口煤炭约2056万吨．设这三年每年8月份我国进口煤炭的平均增长率为，则根据题意列出的方程是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】利用2022年8月份我国进口煤炭的重量年8月份我国进口煤炭的重量这三年每年8月份我国进口煤炭的平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得，
故选：．
8．如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，则四边形的面积等于　　

A．45 B．40 C．20 D．18
【答案】
【分析】根据三角形中位线的性质，结合平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理，得出平行四边形是矩形，再根据矩形的面积公式，即可得出答案．
【解答】解：点，分别为边，的中点，
是的中位线，
，，
，
，
同理，可得：，，
，，
点，分别为边，的中点，
是的中位线，
，，
同理，可得：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，
矩形的面积为：，
即四边形的面积为20．
故选：．
9．我市举办的“喜迎二十大，奋进新征程一乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆出入口示意图．小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小颖和母亲恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小颖和母亲恰好从同一出口走出的结果有3种，
小颖和母亲恰好从同一出口走出的概率为，
故选：．
10．如图，在菱形中摆放了一副三角板．等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．的度数等于　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据四边形是菱形，可得，然后根据题意可得，，进而可以解决问题．
【解答】解：四边形是菱形，
，
根据题意可知：，，
，
．
故选：．
11．如图，在菱形中摆放了一副三角板．等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长等于　　

A．8 B． C．12 D．
【答案】
【分析】连接，交于点，根据四边形是菱形，可得，，，根据题意得，，所以是等边三角形，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，连接，交于点，

四边形是菱形，
，，，
根据题意可知：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
二、填空题（本大题共5个小题）把答案直接写在题中的横线上．
12．已知关于的方程的一个根是1，则实数等于 　　．
【答案】．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入原方程得到关于的一元一次方程，然后解此方程即可．
【解答】解：把代入关于的方程中得：
，
解得．
故答案为：．
13．现在进行配紫色游戏：同时转动如图所示的和两个转盘，若一个指针指向红色．另一个指针指向蓝色时就配成紫色；若指针指在分界线上时．就需要重新转动转盘，转动一次配成紫色的概率为 　　．

【答案】．
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中转动一次配成紫色的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，其中转动一次配成紫色的结果有2种，
转动一次配成紫色的概率为，
故答案为：．
14．如图，点．分别是正方形内部、外部一点，四边形与四边形均为菱形，则的度数等于 　　．

【答案】．
【分析】先由四边形是正方形，，，再由四边形与四边形均为菱形，得，，则，所以，则．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形与四边形均为菱形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
15．一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度与弹出的时间满足的关系式为．当小球第一次距离地面时，小球弹出的时间为 　1　秒．
【答案】1．
【分析】把10代入关系式解方程可求出．
【解答】解：当时，，
解得，，
小球第一次距离地面，
，
故答案为：1．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，点E为AD的中点，连接CE．点F是CE上的动点，点G为BF的中点，连接DG．
从A，B两题中任选一题作答．
A．当AB＝3时，DG的最小值是 　　．
B．当AB＝4时，DG的最小值是 　　．

【答案】A.；
B.．
【分析】A．取BC的中点H，连接AH，作DG′⊥AH于点G′，根据矩形的性质，得出AD＝BC＝6，AD∥BC，再根据中点的性质，得出，，进而得出AE＝CH，再根据平行四边形的判定定理，得出四边形AHCE为平行四边形，再根据平行四边形的性质，得出AH∥CE，再根据三角形中位线的性质，得出点G为BF的中点，进而得出AH过点G，点G在线段AH上，随点F运动而运动，再根据垂线段最短，得出当DG⊥AH时，DG有最小值，即DG′的长，当AB＝3时，再根据勾股定理，得出AH的长，再根据相似三角形的判定定理，得出△ABH∽△DG′A，再根据相似三角形的性质，即可得出DG的最小值；
B．同理即可得出当AB＝4时，DG的最小值．
【解答】解：选择A题，
如图，取BC的中点H，连接AH，作DG′⊥AH于点G′，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝6，
∴AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵点E为AD的中点，点H为BC的中点，
∴，，
∴AE＝CH，
又∵AE∥CH，
∴四边形AHCE为平行四边形，
∴AH∥CE，
∵BH＝CH，
∴AH与BF的交点为BF的中点，
又∵点G为BF的中点，
∴AH过点G，
∴点G在线段AH上，随点F运动而运动，
∴当DG⊥AH时，DG有最小值，即DG′的长，
∵∠ABH＝90°，AB＝3，BH＝3，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠AHB＝∠DAG′，
∵∠ABH＝∠DG′A＝90°，
∴△ABH∽△DG′A，
∴，
即，
解得：，
∴当AB＝3时，DG的最小值是；
故答案为：；
选择B题，
同理可得：当DG⊥AH时，DG有最小值，即DG′的长，
∵∠ABH＝90°，AB＝4，BH＝3，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠AHB＝∠DAG′，
∵∠ABH＝∠DG′A＝90°，
∴△ABH∽△DG′A，
∴，
即，
解得：，
∴当AB＝4时，DG的最小值是．
故答案为：．

三、解答题（本大题共8个小题）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
17．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1），
，
，即，
，
，；
（2），
，，，
△，
，
，．
18．如图，把两个正方形和拼成如图所示的图案，点，，在同一直线上，连接，．求的度数．

【答案】．
【分析】根据正方形的性质，可以得到，，平分，平分，从而可以得到的度数．
【解答】解：四边形是正方形，四边形是正方形，
，，
，，
，
即的度数为．
19．直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，这五个连续正整数为10，11，12，13，14，理由见解析．
【分析】设这五个连续整数分别为，，，，，由题意：前三个数的平方和等于后两个数的平方和，列出一元二次方程，解方程取其正值，即可得出结论．
【解答】解：存在，这五个连续正整数为10，11，12，13，14，理由如下：
设这五个连续整数分别为，，，，，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意舍去），
这五个连续正整数为10，11，12，13，14．
20．如图，菱形的对角线和相交于点，过点作的平行线并在其上截取，连接．
求证：四边形是矩形．

【答案】见解析．
【分析】根据菱形的性质得出，，求出，，再根据矩形的判定定理证明即可．
【解答】证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
21．如图，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子朝下的数字是几，就将骰子前进几格．开始骰子在数字“1”的那一格，小明先掷骰子．请解答下列问题：
（1）小明掷出骰子，数字3朝下的概率是 　　．
（2）求小红第一次掷完骰子后，骰子前进到数字“7”那一格的概率（用列表或画树状图的方法进行解答）．

【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表得出共有16种等可能的结果，其中骰子前进到数字“7”那一格的结果（数字和为有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明掷出骰子，数字3朝下的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：

1
2
3
4
1




2




3




4




共有16种等可能的结果，其中骰子前进到数字“7”那一格的结果（数字和为有3种，
骰子前进到数字“7”那一格的概率．
22．在矩形中，的角平分线交边于点．
（1）如图1．的角平分线交边于点，求证：；
（2）如图2，当点与点重合时．
①作的角平分线交于点；
②当时，求①中的长．

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②．
【分析】（1）根据矩形的性质可得，，再利用全等三角形的判定与性质可得结论；
（2）①当点与点重合时，可得矩形是正方形，连接，点与点重合；
②利用正方形的性质及勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）方法一、四边形是矩形，
，，
、分别是、的平分线，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
方法二、四边形是矩形，
，，
、分别是、的平分线，
，，
，，
，，
，
；
（2）①根据题意可知：矩形是正方形，

②矩形是正方形，
，，
，
，
．
23．某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为30元盏．试销一段时间后，发现按40元盏的价格销售，每周可售出600盏；当每盏台灯售价在40元至60元之间时，每盏售价每上涨2元，每周的销售量将减少20盏．
（1）若每盏台灯销售价为46元，求这周的销售利润；
（2）如果要实现每周的销售利润10000元的目标，求每盏台灯的销售价格．
【分析】（1）由题意列式计算即可；
（2）每盏台灯的销售价格为元，利用每周利润每盏台灯的销售利润周销售量，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）每盏台灯销售价为46元，这周的销售利润为：（元，
答：若每盏台灯销售价为46元，这周的销售利润为8640元；
（2）设每盏台灯的销售价格为元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意舍去），
，
答：如果要实现每周的销售利润10000元的目标，每盏台灯的销售价格为50元．
24．操作与探究
操作：在数学实践课上，老师要求同学们对如图1的纸片进行以下操作，并探究其中的问题：
第一步：如图2，沿过点的直线折叠，使得点落在上，展开铺平该纸片，折痕为；
第二步：如图3，继续折叠该纸片，使得点与点重合，展开铺平该纸片，折痕为；
第三步：如图4，连接，．
探究一：判断四边形的形状，并说明理由；
探究二：在纸片中，，，．
从，两题中任选一题作答．

．求四边形的面积．
．设点在上运动，连接，，求的最小值．

【答案】探究一：四边形是菱形，理由见解答部分；
探究二：；
．
【分析】探究一：根据第二步折叠的性质可得，，根据第一步折叠的性质可得，即可证明，然后根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形即可证明；
探究二：．过点作于点交于点，过点作于点，则根据题意可得，即，设，则，，根据勾股定理列方程求出的长度，设菱形的边长为，则，然后根据勾股定理求出菱形的边长，进而得出答案；
．过点作于点，连接，与交于点，连接，根据点关于的对称点为点，得出，根据勾股定理先求出的长，然后根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．
【解答】解：探究一：四边形是菱形，理由如下：
如图，设，交于点，

根据第二步折叠的性质可得，，
垂直平分，
根据第一步折叠的性质可得，
在和中，
，
，
，
四边形是菱形；
探究二：．
如图，过点作于点交于点，过点作于点，

，，
，
，
，
设，则，，
则，解得，
，，，
四边是菱形，
，，
，，，
设菱形的边长为，则，
，，，
则根据勾股定理可得，，
解得（负值舍去），
菱形的边长为4，
，
四边形的面积为；
．过点作于点，连接，与交于点，连接，

点关于的对称点为点，
，
，，
，
，
，
的最小值为．


声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/19 13:36:37；用户：初中数学；邮箱：ffbs8bs@126.com；学号：210051