黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期入学测试数学试卷（Word版附解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期入学测试数学试卷（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了 估计的值应在， 《九章算术》中有这样一道题， 已知整数，满足下列条件， 已知关于的方程等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 估计的值应在（ ）
A 3和4之间B. 4和5之间
C. 5和6之间D. 6和7之间
2. 如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ）

A. B. C. D.
3. 把黑色围棋子按如图所示的规律摆放.其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，...，按此规律排列下去，第个图案有25颗棋子，则的值为（ ）

A. 7B. 8C. 9D. 10
4. 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ ）
A 258B. 234C. 222D. 210
5. 若是三角形的三边长，则代数式的值（ ）
A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 以上三种情况均有可能
6. 《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数､羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱.求买羊的人数和这头羊的价格.设买羊的人数为人，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知整数，满足下列条件：，以此类推，则的值为（ ）
A. B. 0C. D. 2
8. 几位同学（人数至少为3）围在一起做“传数”游戏，我们把某同学传给后面的同学的数称为该同学的“传数”.游戏规则是：同学1心里先想好一个整数a，将这个数乘以2再加1后传给同学2，同学2把同学1告诉他的数除以2再减0.5后传给同学3，同学3把同学2传给他的数乘以2再加1后传给同学4，同学4把同学3告诉他的数除以2再减0.5后传给同学5，同学5把同学4传给他的数乘以2再加1后传给同学6，…，照上述规律，序号排在前面的同学继续依次传数给后面的同学，直到传数给同学1为止.现有下列说法：
①若只有3个同学做“传数”游戏，同学1心里想好的数是3，则同学3的“传数”是7；
②若只有4个同学做“传数”游戏，这四个同学的“传数”之和不可能为42；
③若有n位同学做“传数”游戏，同学1心里先想好的整数恰好也为n，这n位同学的“传数”之和为或.其中正确说法的个数是（ ）
A 0B. 1C. 2D. 3
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知关于的方程（其中为实数），则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，方程的解是
B. 无论取什么实数，方程都有实数解
C. 当时，方程只有一个解，且该解为正数
D. 若方程恰有一个正数解和一个负数解，则整数的值为0
10. 如图，在正方形中，，点在对角线上，且不与重合，过点作于点于点，连接，下列结论正确是（ ）
A. B. 若，则
C. D. 的最小值为
11. 已知关于的一元二次方程，下列结论中正确的结论是（ ）
A. 方程总有两个不等的实数根
B. 若两个根为，且，则
C. 若两个根，则
D. 若（为常数），则代数式的值为一个完全平方数
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若反比例函数的图象位于第一､三象限，则的取值范围是______.
13. 如图，是某景区的三个门，小南可以任选一个门进入景区，游玩后再任选一个门离开，则他选择不同的门进出的概率为______.
14. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 解方程：
（1）
（2）
16. 已知的展开式中不含和项.
（1）求与的值.
（2）在（1）的条件下，求的值.
17. 某活动中心准备带会员去龙潭大峡谷一日游，1张儿童票和2张成人票共需190元，2张儿童票和3张成人票共需300元.
解答下列问题：
（1）求每张儿童票和每张成人票各多少元？
（2）这个活动中心想带50人去游玩，费用不超过3000元，并且出于安全考虑，儿童人数不能超过22人，请你帮助活动中心确立出游方案.
18. 阅读下面的材料：解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则原方程可化为：，解得，当时，，当时原方程有四个根是：，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题.
（1）解方程：；
（2）已知实数满足，试求的值.
19. 已知函数，其中为常数，该函数的图象记为.
（1）当时，若点在图象上，求的值；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）当时，求函数最大值与最小值的差；
（4）已知点，当图象与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围.哈师大附中2024级高一入学考试
数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 估计的值应在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间
C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根的概念估算的范围即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
即估计值应在5和6之间.
故选：C
2. 如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的概念判断A，再根据、和的估计值结合数轴判断BCD.
【详解】是有理数，，，，
由数轴可知，点表示的数为无理数，且，
所以该无理数可能是.
故选：D
3. 把黑色围棋子按如图所示的规律摆放.其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，...，按此规律排列下去，第个图案有25颗棋子，则的值为（ ）

A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】观察图形的规律，发现后图比前图多3个棋子，列式求解即可.
详解】第①个图案有颗棋子，第②个图案有颗棋子，
第③个图案有颗棋子，第④个图案有10颗棋子，
按此规律第个图案有颗棋子，
令得
故选：C
4. 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ ）
A. 258B. 234C. 222D. 210
【答案】B
【解析】
【分析】先明确题目的含义：正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处，计算即可
【详解】正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，
正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处，
表面积等于正方体的表面积减去12个表面上的小正方形面积，
加上6个棱柱的侧面积，减去6个通道的24个小正方形的面积．
则
故选：B．
5. 若是三角形的三边长，则代数式的值（ ）
A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 以上三种情况均有可能
【答案】A
【解析】
【分析】先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式，然后根据三角形三边关系解答．
【详解】，
由三角形三边关系，，则.
故选：A.
6. 《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数､羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱.求买羊的人数和这头羊的价格.设买羊的人数为人，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设未知数，根据题意列一次方程即可.
【详解】设买羊的人数为人，根据题意一头羊的价格可列方程为.
故选：D
7. 已知整数，满足下列条件：，以此类推，则的值为（ ）
A. B. 0C. D. 2
【答案】B
【解析】
分析】根据前几个数得到从第4项起，循环出现，根据进而可求解.
【详解】依题意，
，
所以从第4项起，循环出现，又，
所以.
故选：B
8. 几位同学（人数至少为3）围在一起做“传数”游戏，我们把某同学传给后面的同学的数称为该同学的“传数”.游戏规则是：同学1心里先想好一个整数a，将这个数乘以2再加1后传给同学2，同学2把同学1告诉他的数除以2再减0.5后传给同学3，同学3把同学2传给他的数乘以2再加1后传给同学4，同学4把同学3告诉他的数除以2再减0.5后传给同学5，同学5把同学4传给他的数乘以2再加1后传给同学6，…，照上述规律，序号排在前面的同学继续依次传数给后面的同学，直到传数给同学1为止.现有下列说法：
①若只有3个同学做“传数”游戏，同学1心里想好的数是3，则同学3的“传数”是7；
②若只有4个同学做“传数”游戏，这四个同学的“传数”之和不可能为42；
③若有n位同学做“传数”游戏，同学1心里先想好的整数恰好也为n，这n位同学的“传数”之和为或.其中正确说法的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算出同学1、同学2、同学3的“传数”即可判断①，设同学1先想好的数为，找出规律：当为大于1的偶数时，同学的“传数”是，当为大于1的奇数时，同学的“传数”是，然后求出个同学的“传数”之和判断②，根据②的规律，按照为奇数和偶数分别求和即可判断③.
【详解】对于①，由题意得，，，
所以同学3的“传数”是7，正确；
对于②，设同学1先想好的数为，由题意得：同学1的“传数”是，
同学2的“传数”是，同学3的“传数”是，同学4的“传数”是，，
所以当为大于1的偶数时，同学的“传数”是，
当为大于1的奇数时，同学的“传数”是，
若只有4个同学做“传数”游戏，这四个同学的“传数”之和为，
令，解得，不是整数，即四个同学的“传数”之和不可能为42，正确；
对于③，当为大于1的偶数时，则这n位同学的“传数”之和为，
当为大于1的奇数时，同学的“传数”是，
则这n位同学的“传数”之和为，正确；
综上，正确说法有3个.
故选：D
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知关于的方程（其中为实数），则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，方程的解是
B. 无论取什么实数，方程都有实数解
C. 当时，方程只有一个解，且该解为正数
D. 若方程恰有一个正数解和一个负数解，则整数的值为0
【答案】BCD
【解析】
【分析】直接解方程判断A，分类讨论解方程，根据方程根的情况判断BCD.
【详解】当时，方程变为，方程的解为，故A错误；
当时，方程变为，方程的解为，
当时，方程变为，方程的解为，
当时，方程变为和，方程的解为和，
当时，方程变为和，方程的解为，且，
当时，方程变为和，方程的解为和，
当时，方程变为和，方程的解为，且，故选项C正确；
所以无论取什么实数，方程都有实数解，故选项B正确；
当时，方程恰有一个正数解和一个负数解，则整数的值为0，故选项D正确.
故选：BCD
10. 如图，在正方形中，，点在对角线上，且不与重合，过点作于点于点，连接，下列结论正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据勾股定理计算判断A，延长FE交CD于H，结合已知证明四边形是矩形，根据矩形性质求出，利用勾股定理即可求出DE判断B，连接BE，根据正方形的性质证明≌，利用全等三角形的性质得，再证明四边形为矩形，根据矩形性质即可判断C，根据直线外一点到直线的垂线段最短得时，最短，根据等面积法求出的最小值，根据矩形的性质得的最小值判断D.
【详解】对于A，因为在正方形中，，，正确；
对于B，如图所示，延长FE交CD于H，在正方形中，为对角线，
所以，，
因为，所以，，所以，
又，所以，
因为，所以四边形是矩形，
所以，，，
所以，所以，错误；
对于C，如图，连接BE，
因为四边形是正方形，所以，，
因为，所以≌，所以，
因为，所以，
又，所以四边形为矩形，所以，所以，正确；
对于D，由C可知，当时，最短，
因为，所以，即，
所以，即的最小值为，因为四边形为矩形，所以，所以的最小值为，正确.
故选：ACD
11. 已知关于的一元二次方程，下列结论中正确的结论是（ ）
A. 方程总有两个不等的实数根
B. 若两个根为，且，则
C. 若两个根为，则
D. 若（为常数），则代数式的值为一个完全平方数
【答案】AC
【解析】
【分析】利用二次方程的判别式判断A，举例法判断B，利用根与系数的关系代入化简判断C，先求出的值，然后根据完全平方数的定义判断D.
【详解】一元二次方程即，
对于A，一元二次方程的判别式，
所以方程总有两个不等的实数根，正确；
对于B，当时，方程为，
此时，与矛盾，错误；
对于C，若方程的两个根为，
则根据韦达定理知，
，
，
所以，正确；
对于D，若，则，
当为奇数时，不是整数，所以代数式的值不是一个完全平方数，错误.
故选：AC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若反比例函数的图象位于第一､三象限，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质即可列不等式求解.
【详解】因为反比例函数的图象位于第一､三象限，所以，
解得，则的取值范围是.
故答案为：
13. 如图，是某景区的三个门，小南可以任选一个门进入景区，游玩后再任选一个门离开，则他选择不同的门进出的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】画树状图得出所有等可能出现的结果数，以及他选择不同的门进出的结果数，再利用概率公式可得答案.
【详解】画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中他选择不同的门进出的结果有：
，共6种，
所以他选择不同的门进出的概率为.
故答案为：
.
14. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式求得a的范围；解分式方程，根据方程有非负整数解，且列出不等式，求得a的范围；综上所述，求得a的范围．根据a为整数，求出a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，∴；
分式方程两边都乘以得：，
解得：，
∵分式方程有非负整数解，
∴，为整数，
∴，a为偶数，
∵分式要有意义，
∴，∴，
综上所述，且且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a的数有：−2，0.
∴符合条件的所有整数的和为．
故答案为：．
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）分解因式可得答案；
（2）移项分解因式可得答案.
【小问1详解】
∵，∴，
即或，解得，.
【小问2详解】
，，
则，即，
或，解得，.
16. 已知的展开式中不含和项.
（1）求与的值.
（2）在（1）的条件下，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把多项式展开，然后根据题意列方程组求解即可.
（2）逆运用立方和公式化简，然后将与的值代入计算即可.
【小问1详解】
，
因为该展开式中不含和项，所以，解得，即；
【小问2详解】
因为，
所以时，原式.
17. 某活动中心准备带会员去龙潭大峡谷一日游，1张儿童票和2张成人票共需190元，2张儿童票和3张成人票共需300元.
解答下列问题：
（1）求每张儿童票和每张成人票各多少元？
（2）这个活动中心想带50人去游玩，费用不超过3000元，并且出于安全考虑，儿童人数不能超过22人，请你帮助活动中心确立出游方案.
【答案】（1）每张儿童票30元，每张成人票80元
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设每张儿童票x元，每张成人票y元，根据两家人的购票费用列方程组求解即可；（2）设带儿童m人，根据题意得不等式即可得到结论．
小问1详解】
设每张儿童票x元，每张成人票y元，根据题意，
得，解得：，
答：每张儿童票30元，每张成人票80元；
【小问2详解】
设带儿童m人，根据题意，得，
解得，又∵儿童人数不能超过22人，
∴带儿童人数的取值范围是；
则方案一：带儿童20人，成人30人；
方案二：带儿童21人，成人29人；
方案三：带儿童22人，成人28人．
18. 阅读下面的材料：解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则原方程可化为：，解得，当时，，当时原方程有四个根是：，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题.
（1）解方程：；
（2）已知实数满足，试求的值.
【答案】（1），，，
（2）5
【解析】
【分析】（1）利用“换元法”设，则原方程变为，依照题目中材料方法步骤解答即可；
（2）利用“换元法”设，则原方程变为，依照题目中材料方法步骤解答即可.
【小问1详解】
设，则原方程变为，解得：，，
当时，，即，解得：，；
当时，，即，解得：，；
综上所述，故原方程的解为：，，，；
【小问2详解】
设，则原方程变为，
整理得，解得或（舍去），所以.
19. 已知函数，其中为常数，该函数的图象记为.
（1）当时，若点在图象上，求的值；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）当时，求函数最大值与最小值的差；
（4）已知点，当图象与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入求值即可.
（2）根据一次函数的增减性求解最值即可.
（3）根据函数的增减性求出函数的最大值和最小值，即可求出最值之差.
（4）分类讨论分别求出函数与的交点，分别画出图形，并根据图形列不等式求解即可.
【小问1详解】
当时，函数，
因为点在函数图象上，所以；
【小问2详解】
当时，函数，
当时，由，则y随着x的增大而增大，所以；
当时，由，则y随着x的增大而减小，所以当时，；
综上，函数的最大值为；
【小问3详解】
函数，
当时，由，则y随着x的增大而增大，
当时，由，则y随着x的增大而减小，
又，
当时，y随着x的增大而增大，
当时，y随着x的增大而减小，
所以当时，函数有最大值，
当时，，
当时，，
所以函数有最小值，
所以当时，函数最大值与最小值的差为；
【小问4详解】
因为，，
所以该分段函数图象大致为：
因为点，所以线段AB在直线上，
若图象与线段只有一个公共点时，有如下几种情况：
①当或时，如图，
则，解得，经检验，当时，图象与线段没有公共点；
②令，解得，令，解得，
当时，如图，点的横坐标分别为，
若，不等式无解；
当时，同为，与图象无交点；
当时，如图，点的横坐标分别为，
所以，解得；
③令，解得，令，解得，
当时，如图，点的横坐标分别为，
同理，若，不等式无解；
当时，同为，与图象无交点；
当时，如图，点的横坐标分别为，
所以，解得；
综上，或.
【点睛】关键点点睛：本题考查了分段函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，尤其是第四问中，需要分类讨论图象与线段相交的情况，数形结合是解决此类问题的关键，注意分类讨论做的不重复不遗漏.