人教版九年级上册数学第21章一元一次方程基础A卷含答案解析

第21章一元一次方程A卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知是关于的一元二次方程的解，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个解，则m的值是（　　）

A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3

3．将方程化为一元二次方程3x2﹣8x=10的一般形式，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别是（　　）

A．3，﹣8，﹣10 B．3，﹣8，10 C．3，8，﹣10 D．﹣3，﹣8，﹣10

4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛，比赛组织者应邀请参赛队的个数是(　　)．

A．7 B．8 C．14 D．28

5．下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是

A． B．

C． D．

6．若a为方程的解，则的值为（     ）

A．12 B．6 C．9 D．16

7．关于x的一元二次方程（k–1）x2–2x＋3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）

A．k< B．k< 且k≠1 C．0<k< D．k≠1

8．用配方法解方程，下列变形正确的是（    ）

A． B． C． D．

9．抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

10．已知a、b、c满足∣2a-4∣+∣b+2∣++a2+c2=2+2ac，则a-b+c的值为( 　　)．

A．4　 B．6 C．8 D．4或8

二、填空题

11．如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，那么m的取值范围是    ．

12．如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数k的值是        ．

13．若方程+kx－6=0的一个根是3，则k的值是          .

14．若关于x的一元二次方程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝      

15．若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是        ．

16．小明用下面的方法求出方程2﹣3=0的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．

17．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b＝a2﹣b，根据这个规则，方程（x+2）※9＝0的解为     ．

18．若关于x的方程有一个根是3，则的值是        ．

三、解答题

19．当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？

20．（1）解分式方程：；

（2）解方程：．

21．是否存在a的值，使方程x2+（a-2）x+a2+4=0的两根互为相反数？若有，求出a的值；若没有，说明原因．

22．用公式法解方程：．

23．解方程：．

24．（1）解方程

（2）计算

25．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．

（1）当x为何值时，△APD是等腰三角形?

（2）若设BE=y，求y关于x的函数关系式；

（3）若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C?若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．

参考答案：

1．C

【分析】将代入方程求解．

【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解

∴，即

故选：C．

【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解概念，正确代入计算是解题关键．

2．B

【分析】直接把x＝2代入已知方程即可得到关于m的方程，再解此方程即可．

【详解】解：把x＝2代入方程，得，

解得：m＝3，

故选：B．

【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解是解答本题的关键．

3．A

【详解】解：一元二次方程3x2﹣8x=10的一般形式3x2﹣8x﹣10=0，

其中二次项系数3，一次项系数﹣8，常数项是﹣10，

故选A．

【点睛】本题考查了一元二次方程的基本概念，熟练掌握系数概念和常数项概念是基础．

4．B

【分析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，共有场比赛，可列出一个一元二次方程，再进行求解即可得出答案．

【详解】解：设比赛组织者应邀请x队参赛，

根据题意得：，

解得： ，（舍去），

∴比赛组织者应邀请8个队参赛．

故选：B．

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解；注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．

5．C

【分析】分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．

【详解】A、，该方程有两个不相等实数根，故错误，不符合题意；

B、，该方程有两个不相等实数根，故错误，不符合题意；

C、，该方程有两个相等的实数根，正确，符合题意；

D、，该方程没有实数根，故错误，不符合题意；

故选C．

【点睛】解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

6．B

【分析】根据一元二次方程解的定义将a代入一元二次方程，再用整体法求解．

【详解】解：∵a为方程的解，

∴，

∴=6．

故选B．

【点睛】此题考查的是根据一元二次方程的解，求代数式的值，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键．注意整体法的解题思想．

7．B

【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得出△=；根据一元二次方程得出；解不等式即可．

【详解】解：根据关于x的一元二次方程（k–1）x2–2x＋3=0有两个不相等的实数根，可得：，

解得：且k1，

故选：B

【点睛】．

本题主要考查的是一元二次方程根的判别式，解题关键是熟记根的判别式，准确进行计算求解．

8．C

【分析】根据配方法可直接进行排除选项．

【详解】解：用配方法解方程可得：；

故选C．

【点睛】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

9．A

【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解；

【详解】∵的对称轴为直线，

∴，

∴，

∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，

∵方程在的范围内有实数根，

当时，，

当时，，

函数在时有最小值2，

∴，

故选A．

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．

10．D

【详解】解：依题意知∣2a-4∣+∣b+2∣++a2+c2=2+2ac，

则∣2a-4∣+∣b+2∣++a2+c2-2-2ac=0．

所以整理得∣2a-4∣+∣b+2∣++（a-c）2-2=0

易知根号下为非负数，（1）设b≠0故a-3≥0.则a≥3.所以原式中绝对值内2a-4≥0．

则原式：2a-6+∣b+2∣++（a-c）2=0．

因为前面已证a≥3.故2a-6≥0，为非负数．此时整个式子均为非负数相加等于0.故可以判定：

2a-6=0，b+2=0，a-c=0.解得a=3，b=-2，c=3．

所以a-b+c=3+2+3=8；

（2）设b=0时，则b+2=2．

原式整理得∣2a-4∣+2+（a-c）2-2=0故∣2a-4∣+（a-c）2=0

则2a-4=0，且a-c=0.解得a=2，c=2．

则a-b+c=4．

选D．

【点睛】本题难度中等．考查了配方法的运用，绝对值，二次根式和偶次幂的性质，非负数和为0定理的运用．

11．m＞0

【分析】直接利用直接开平方法的定义得出m的取值范围即可．

【详解】解：∵关于x的方程mx2=3有两个实数根，

∴m＞0．

所以答案为：m＞0．

【点睛】此题主要考查了直接开平方法解方程的意义，正确把握开平方法解方程的定义是解题关键．

12．

【分析】根据方程有两个相等的实数根得到△=b2-4ac=0，求出k的值即可．

【详解】解：∵一元二次方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，

∴△=b2-4ac=32-4×1×k=0，

∴9-4k=0，

∴k=，

故答案为：．

【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

13．－1

【分析】把x的值代入方程，列出关于k的一元一次方程，然后进行求解．

【详解】解：将x=3代入得：9+3k－6=0，

解得：k=－1．

故答案是：k=－1

14．4

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别是2、b，

∴由根与系数的关系得，

解得，．

∴ab=1×4=4．

故答案是：4．

15．m≤1

【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．

【详解】解：∵一元二次方程x2-2x+m=0有实数解，

∴b2-4ac=22-4m≥0，

解得：m≤1，

则m的取值范围是m≤1．

故答案为：m≤1．

【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解与b2-4ac有关，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程无解．

16．     令 =t，则﹣2t+1=0     ==1     ==1＞0     =1，所以x=1     令 =t，则+t=0     =0，=﹣1     =0≥0，=1＜0     =0，所以x=﹣2

【分析】（1）令，则原方程可化为，解此方程再求原方程的解即可；

（2）令，则原方程可化为，解此方程再求原方程的解即可．

【详解】

故答案为：（1）令，则；；；，所以x=1；（2）令，则；，；，；，所以．

【点睛】本题主要考查了换元法，即把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换，换元法是数学中常用的方法之一．这里的换元法实现了把无理方程转化为有理方程的作用．也考查了一元二次方程的解法．

17．x1＝1，x2＝﹣5．

【分析】先阅读题目，根据新运算得出（x+2）2﹣9＝0，移项后开方，即可求出方程的解．

【详解】解：（x+2）※9＝0，

（x+2）2﹣9＝0，

（x+2）2＝9，

x+2＝±3，

x1＝1，x2＝﹣5，

故答案为x1＝1，x2＝﹣5．

【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意列方程.

18．-9

【分析】把3代入方程求解即可；

【详解】∵3是方程的一个根，

∴，

∴；

故答案是-9．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，准确计算是解题的关键．

19．t=4或t=-4

【分析】根据一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac=0列出关于t的一元二次方程，然后解方程即可．

【详解】∵一元二次方程2x2+tx+2=0的二次项系数a=2，一次项系数b=t，常数项c=2，

∴Δ=t2-4×2×2=t2-16=0，

解得，t=±4，∴当t=4或t=-4时，原方程有两个相等的实数根．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；△=b2-4ac＜0时，方程无实数根．

20．（1）原方程无解（2）

【分析】（1）找到最简公分母，把方程化为整式方程求解，检验得到答案．

（2）利用公式法直接解方程即可．

【详解】解：（1）因为即

去分母得：

整理得： ，所以

经检验：是方程增根，原方程无解．

（2）因为，所以

所以

所以

【点睛】本题考查解分式方程与解一元二次方程，解分式方程要检验，选择合适的方法解一元二次方程是解题关键．

21．不存在，理由见详解

【分析】利用方程的根与系数的关系，可得出，若两根互为相反数，则，即可得出a的值，再利用根的判别式判断即可．

【详解】解： 由题意得：，

若方程x2+（a-2）x+a2+4=0的两根互为相反数，则，

解得，，

∵当时，方程变为 ，，方程无实数解，

∴不存在实数，使方程的两个根互为相反数．

【点睛】本题考查的知识点是根的判别式以及根与系数的关系，熟记根的判别式公式以及韦达定理内容是解此题的关键．

22．，

【分析】先找出a，b，c，求出△=b2-4ac的值，再代入求根公式求得答案即可．

【详解】∵a=4，b=8，c=-5，

∴△=b2-4ac=64+80=144，

∴x=．

即，．

【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，找出a，b，c，求出△=b2-4ac的值，是解此题的关键．

23．，

【分析】应用因式分解法，将原方程化为两个一次因式的积即可求解．

【详解】

解得：，．

【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，把方程右边等于0，方程左边化为两个一次因式的积是解此类试题的关键．

24．（1）；（2）1.

【分析】（1）根据因式分解法解方程，即可得到答案；

（2）分别计算绝对值，特殊角的三角函数，二次根式，负整数指数幂，然后再进行合并，即可得到答案.

【详解】解：（1），

∴，

∴，

∴；

（2），

.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，以及实数混合运算的运算法则.

25．（1）当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形．（2）y=－x2+x－4；（3）

【详解】（1）解：过D点作DH⊥AB于H ，则四边形DHBC为矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6 ，

∴AH=2，AD=2，

∵AP=x， ∴PH=x－2，

情况①：当AP=AD时，即x=2 ，

情况②：当AD=PD时，则AH=PH，

∴2=x－2，解得x= 4 ，

情况③：当AP=PD时，

则Rt△DPH中，x2=42+(x－2)2，解得x=5 ，

∵2<x<8，

∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形；

（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，

∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°，

∴∠HDP=∠EPB，

又∵∠DHP=∠B=90°，

∴△DPH∽△PEB

∴，

∴

整理得：y=(x－2)(8－x)=－x2+x－4

（3）若存在，则此时BE=BC=4，

即y=－x2+x－4=4，整理得： x2－10x+32=0

∵△=(－10)2－4×32<0，

∴原方程没有实数根，

∴不存在点P，使得PQ经过点C；

把y=－x2+x－4化成顶点式为：，

所以，BE的最大值为；

所以，当BC满足时，存在点P，使得PQ经过点C．