2023届上海市行知中学高三上学期10月月考数学试题含解析

2023届上海市行知中学高三上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．如果，那么下列不等式中错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】逐一分析每一个选项判断得解．

【详解】对于选项A，根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确；

对于选项B，因为，所以，所以该选项正确；

对于选项C，当c=0时，显然不成立，所以该选项错误；

对于选项D，所以，所以该选项正确．

故选：C

2．“”是“函数在上是严格增函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据导数研究函数的单调递增区间，进而结合题意得在上是严格增函数时，，再结合充分不必要条件判断即可.

【详解】解：，

令得，

所以，①当时，和时，，为单调递增函数，此时要使函数在上是严格增函数，则，即；

②当时， 恒成立，在上单调递增，故满足函数在上是严格增函数；

③当时，和时，，为单调递增函数，此时要使函数在上是严格增函数，则满足，即；，

综上，要使“函数在上是严格增函数”，则.

因为是的真子集，

所以，“”是“函数在上是严格增函数”的充分不必要条件.

故选：A

3．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为（    ）

A．[1，＋∞) B．[0，]

C．[0，1] D．[1，]

【答案】D

【分析】分别利用二次函数和对勾函数的单调性求出相应的单调区间，结合选项得出答案．

【详解】因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数.又当x≥1时，＝x＋－1，令g(x)＝x＋－1(x≥1)，则g′(x)＝－＝，由g′(x)≤0，得1≤x≤，即函数＝x－1＋在区间[1，]上单调递减，故“缓增区间”I为[1，].

故选：D.

【点睛】本题利用新定义的形式考查函数的单调区间，考查利用导数解决对勾函数的单调性，考查学生计算能力，属于中档题．

4．已知函数，，，实数是函数的一个零点，下列选项中，不可能成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题知在定义域上是单调减函数，进而分都为负值和讨论可判断出结果.

【详解】解：由在上单调递减，y＝log2x在上单调递增，

所以，在定义域上是单调减函数，

当时，，

又因为，，

所以，当都为负值，则都大于，

当，则都小于，大于.

综合可得，不可能成立．

故选：C

二、填空题

5．设全集，，，则__________

【答案】

【分析】根据题意先求出，再根据交集的定义即可求得的答案.

【详解】解：因为，，

所以，

又因为，

所以.

故答案为：

6．不等式的解为                        ．

【答案】或

【详解】由，可得

即

所以不等式的解为或

7．已知，，用a、b表示__________．．

【答案】

【分析】先把指数式变为对数式，然后利用换底公式进行求解，而通过来表达是本题的关键；

【详解】因为，所以，

所以有换底公式得：

因为，而，所以，

∴

故答案为：

8．若，则实数x的取值范围是__________

【答案】.

【分析】对绝对值分析，得到答案.

【详解】当 得取交集得所以方程得解得和矛盾，舍去.

当得取交集得,所以方程得解得和取交集得.

当得取交集得不符合题意.

当得取交集得,所以方程得解得和取交集得不符合题意.

当或，显然符合题意.

综上所述： .

故答案为：.

9．已知实数a、b满足，则的取值范围是__________

【答案】

【分析】先根据将变为，然后分和两种情况，分别利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，所以且，所以，

所以，

当时，，当且仅当时等号成立；

当时，，

当且仅当时等号成立，

综上所述，的取值范围是.

故答案为：.

10．已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据题意，将问题转化为kx2﹣kx+1＞0恒成立求参数，再结合二次函数性质，即可求解.

【详解】由题意可知，kx2﹣kx+1＞0恒成立，当k＝0时，1＞0恒成立，

当k≠0时，，解可得，0＜k＜4，

综上可得，k的范围[0，4）.

故答案为：.

11．关于x的不等式的解集为__________

【答案】

【分析】由对数的运算性质与换元法求解

【详解】

令，则，解得，

则，解得，

故答案为：

12．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．

【详解】解：∵，∴，又，

∴曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：.

13．若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是__________

【答案】

【分析】根据题意，将问题转化为有实数解，进而结合二次函数求解即可.

【详解】解：因为关于的方程有实数解，

所以方程有实数解，

因为当且仅当时等号成立，

所以，方程有实数解，则

所以，实数的取值范围是.

故答案为：

14．若函数（）是增函数，则实数a的取值范围是__________

【答案】

【分析】由题知，进而解不等式即可得答案.

【详解】解：因为函数的定义域为，函数是增函数，

所以，二次函数的对称轴，解得.

所以，实数a的取值范围是

故答案为：

15．设为实常数，是定义在上的奇函数，且当时，．若对一切成立，则的取值范围是_____.

【答案】

【详解】试题分析：∵是定义在上的奇函数，∴当时，，

而，当些仅当时，“=”成立，∴当时，要使恒成立，只需或，又∵时，，∴，

综上，故实数的取值范围是.

【解析】1.奇函数的性质；2.恒成立问题的处理方法.

16．对于给定的正整数()，定义在区间上的函数满足：当时，，且对任意的，都成立．若与有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于的方程的实数解的个数为____________．

【答案】

【分析】数形结合，画出在区间上图象，根据与的图象交点分析即可

【详解】由题意，画出在之间的图象，又对任意的，都成立，可理解为区间的图象由区间的图象往右平移一个单位，再往上平移一个单位所得，即可画出在上的图象.

故若与有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则与在区间上的图象相切，且易得的图象在与区间区间，…，上的公切线之间.故与在区间，…上均有2个交点，故关于的方程的实数解的个数为个

故答案为：

三、解答题

17．如图所示三棱锥，底面为等边，O为AC边中点，且底面ABC，

(1)求三棱锥体积；

(2)若M为中点，求与面所成角大小.

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）先求出三棱锥的高，代三棱锥体积公式计算得解;

（2）取中点，连接，证明平面，根据直线与平面的所成角的公式计算可得.

【详解】(1)因为底面，，又因为O为AC边中点，，所以为正三角形，，又因为底面为等边，，所以.

(2)连接，因为底面为等边，所以，因为底面，所以，，所以平面，

如图，取中点，连接，则，所以平面，所以，所以与面所成角即为，

因为，所以，直角三角形中，

所以，所以与面所成角大小为.

18．已知O为坐标原点，直线l是抛物线的准线，抛物线上一点，直线m：与抛物线交于A、B两点.

(1)若圆C的圆心在y轴上，圆C与直线l相切，且圆C过点P，求圆C的标准方程；

(2)求面积的最小值.

【答案】(1)；

(2)2.

【分析】（1）先求出抛物线的方程和准线方程，再求出圆C的半径和的值即得解；

（2）设，，联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，再求出即得解.

【详解】(1)设圆C的圆心，因为点P在抛物线上，所以，

抛物线的准线l：，因为圆C与直线l相切，所以圆C的半径，

∵圆C过点P，∴，则，

∴圆C的方程为.

(2)设，，联立直线和抛物线的方程得，

则，，且，

所以当时，

19．小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完.

(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?

【答案】(1)

(2)当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元.

【分析】（1）根据题意，由年利润=年销售收入-固定成本-流动成本求解；

（2）由（1）的结论，求分段函数的最大值；

【详解】(1)解：因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为万元.

依题意得，当时，；

当时，.

所以；

(2)当时，，

当时，取得最大值；

当时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数.

当时，取得最大值.

由，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，

最大利润为万元.

20．已知函数.

(1)若是奇函数，求实数a的值；

(2)若在上是严格增函数，求实数k的取值范围；

(3)设，若对于任意的，总存在，使得或，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）可利用先求出实数a的值，再进行检验即可.

（2）利用增函数的定义，任取，则有，恒成立，根据题意列出含的不等式，即可求解.

（3）先将对于任意的，总存在，使得或，转化为值域与值域的并集为的问题，再对参数进行分类讨论，分别求出值域与值域，列出相应不等式即可求解.

【详解】(1)因为是奇函数，所以，得，

经检验，当时，是奇函数，所以.

(2)任取，

因为，若在上是严格增函数，

所以恒成立，

于是，

而，所以，

故实数k的取值范围为.

(3)记值域为A，值域为B，由题意得，，

当时，值域为R，

因此对于任意的，总存在，使得；

当时，值域为，值域为，所以不符合题意；

当时，值域为，值域为，

由题意得，，此时无解，综上，.

所以实数a的取值范围为.

21．已知定义域为的函数.当时，若（，）是增函数，则称是一个“函数”.

(1)判断函数（）是否为函数，并说明理由；

(2)若定义域为的函数满足，解关于的不等式；

(3)设是满足下列条件的定义域为的函数组成的集合：①对任意，都是函数；②，. 若对一切和所有成立，求实数的最大值.

【答案】(1)是，理由见解析

(2)

(3)

【分析】（1）将代入解析式，根据整理表达式，判断是否为增函数即可；

（2）由函数可知是上的增函数，有意义，需满足，显然时不等式不成立，设，转化不等式为，结合单调性即可判断；

（3）由题可知是函数，也是函数，结合已知函数值及函数单调性，可得当，或当时，，再讨论当，结合可判断，即满足当时，对一切成立.另证明任意均不满足要求：任意，定义函数满足条件②，满足条件①时符合，即可证明.

【详解】(1)是，理由：由题，

（，）为增函数，

故（）是函数.

(2)因为是函数，且，所以是上的增函数，

因为有意义，所以，显然，时不等式不成立，下设，

此时等价于，

由的单调性得，，即所求不等式的解集为.

(3)由题意，是函数，故是增函数，从而当时，，即；而是函数，故是增函数，从而当时，，即，

当时，同理可得，且，故且，故.

因此 ，当时，对一切成立.

下证，任意均不满足要求，由条件②知，.

另一方面，对任意，定义函数，容易验证条件②成立.

对条件①，任取，有，

注意到是增函数，

而对，当时，；当时，，均单调不减.

因为，

所以条件①成立.从而.此时，，

故，从而为所求最大值.

【点睛】关键点点睛：灵活利用已知函数值构造函数，借助函数的单调性来处理不等式问题.