上海市行知中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

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(满分150分, 考试时间120分钟)
一、填空题(本大题共12小题, 1-6每小题4分, 7-12每小题5分, 满分54分)
1. 设集合 A={1,a²}, 若2∈A,则= .
2. 函数的定义域为 .
3.若,设 P=x²+3,Q=2x, 则的大小关系为
4. 用反证法证明命题:“若, 则”时, 应假设 .
5.已知, 则的最小值为 .
6. 指数函数在R上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
7. 已知, 则用表示= .
8. 已知关于的方程 x²−2ax+a=0有两个实数根分别为,且 x12+x22=6x1⋅x2−3,则实数的值为 .
9. 已知实数满足，则 13a⋅132b的取值范围是 .
10.若函数 y=ax+1x+1在[1，+∞)上是严格减函数，且在[1，+∞)上函数值不恒为负，则实数的取值范围是 .
11.已知为实数，用|S|表示有限集合S的元素个数， A={x|x+ax²+bx+c= 0}, B={x|ax+1cx²+bx+1=0}, 则|A|-|B|所有可能的值是 .
12. 若对任意的，总存在，使得2y+mlg2x2+4]=lg2x成立，则数的取值范围是 .
二、选择题(本大题共4小题, 13、14 每题 4 分, 15、16 每题 5 分, 满分18分)
13. 已知, 则下列不等式正确的是 ( )
A. B.a²>b² C.lga>lgb D.
14.如图，图像①②③④所对应的函数不属于,y=lg2x,y=lg12x中的一个是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
15.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 v(单位：m/s)可以表示为 v=12lg3O100, 其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为U，游速为3m/s时耗氧量的单位数为W，则 WU=
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
16. 已知满足a=lg₅2ᵇ+3ᵇ,c=lg₃ 5ᵇ−2ᵇ , 则( )
A. |a-c|≥|b-c|, |a-b|≥|b-c| B. |a-c|≥|b-c|, |a-b|≤|b-c|
c. |a-c|≤|b-c|, |a-b|≥|b-c| D. |a-c|≤|b-c|, |a-b|≤|b-c|
三、解答题(本大题共有5小题，满分78分，必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤)
17.(本题满分14分，第一小题满分6分，第2小题满分8分)
已知全集为R，集合A=x|2x2−5x−6≤1, 集合 B={}.
(1) 求集合A,B及A∩B:
(2) 若C={}, 且满足A∪C=A, 求实数的取值范围.
18.(本题满分14分，第一小题满分6分，第2小题满分8分)
已知幂函数 y=m²−2m−2xᵐ⁻¹m∈R, 且该函数在 0 +∞ 上是严格增函数.
(1) 求此幂函数的表达式：
(2) 求关于的不等式 y>ax的解, 其中.
19.(本题满分14分，第一小题满分6分，第2小题满分8分)
某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资与利润(单位：万元) 分别满足函数关系y=k1xa1与
(1) 求 k₁,a₁与 k₂,a₂的值：
(2)该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大?并求出总利润的最大值.
20.(本题满分18分, 第1小题6分, 第2小题6分,第3小题6分)
已知, 函数 y=lg212x+a
(1) 当时，求该函数的定义域
(2) 设 Px₁y₁,Qx₁y₂是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方.
(3)设，若对任意的， y=lg212x+a在区间[]上的最大值与最小值的和不大于. 求的取值范围.
21.(本题满分18分, 第1小题4分, 第2小题6分, 第3小题8分)
对于元素为正整数集合A=a1a2⋯an|n∈Z,n≥3), 如果去掉集合A中任意一个元素 i=12⋯n之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“求真集合”：
(1) 判断集合{1，2，3}是否为“求真集合”，并说明理由；
(2) 求证：四个元素为正整数的集合 A={a₁,a₂,a₃,a₄}定不是“求真集合”：
(3)求证：“元素为正整数集合 A=a1a2⋯ann∈Zn≥3为求真集合”是“为奇数”的充分非必要条件.