江苏省江阴市文林中学2023-2024学年九年级上学期10月阶段性测试数学试卷（月考）

初三数学阶段性测评卷

                   班级        姓名        学号          

一、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

1．下列方程是一元二次方程的是　　

A． B． C． D．

2．下列方程中，没有实数根的是　　

A． B． C． D．

3．若，相似比为，则与的周长比为　　

A． B． C． D．

4．如图，对角线与交于点，且，，在延长线上取一点，使，连接交于，则的长为　　

A． B． C． D．1

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

5．若，则　    　．

6．若、是方程的两实根，则的值等于　    　．

7．已知、是方程的两个实数根，则的值为　    　．

8．如图，在中，为上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件是　　     （只填序号）．

       第4题图                   第8题图              第9题图

9．如图，中，点、分别是边、的中点，、分别交对角线于点、，则　     　．

三、解答题（本大题共6小题，共60分）

10．（12分）用指定方法解下列一元二次方程

（1）（直接开平方法）     （2）（配方法）

（3）（公式法）          （4）（因式分解法）

11．（8分）已知线段a、b、c，且．

（1）求的值；

（2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值．

12．（8分）某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为、、、、五个组，表示测试成绩，组：；组：；组：；组：；组：，通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：

（1）抽取的学生共有 　   　人，请将两幅统计图补充完整；

（2）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？

13．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，BE⊥EF．​求证：

（1）△ABE∽△DEF；

（2）若AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．

14．（10分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．

（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；

（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？

15．（12分）【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：

【问题原型】如图①，中，点为边上的点，过点作交为边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，，，则　　    ．

【结论应用】（1）如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．

求证：；

（2）如图③，中，，，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连结、分别交于点、，则周长的最小值是 　        　．

参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）

1．下列方程是一元二次方程的是　　

A． B． C． D．

【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析各选项中的方程，即可得出结论．

【解答】解：．方程是一元二次方程，选项符合题意；

．方程是一元三次方程，选项不符合题意；

．方程是二元二次方程，选项不符合题意；

．方程是分式方程，选项不符合题意．

故选：．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．

2．下列方程中，没有实数根的是　　

A． B． C． D．

【分析】分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．

【解答】解：、△，方程有两个不相等的实数根，所以选项错误；

、△，方程有两个不相等的实数根，所以选项错误；

、△，方程有两个相等的实数根，所以选项错误；

、△，方程没有实数根，所以选项正确．

故选：．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．

3．若，相似比为，则与的周长比为　　

A． B． C． D．

【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比得出．

【解答】解：，与的相似比为，

与的周长比为．

故选：．

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比．

4．如图，对角线与交于点，且，，在延长线上取一点，使，连接交于，则的长为　　

A． B． C． D．1

【分析】首先作辅助线：取的中点，连接，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：与的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得的值．

【解答】解：取的中点，连接，

四边形是平行四边形，

，，

，，

，

，

，，

，，

，

，

，

故选：．

【点评】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．

二．填空题（共5小题）

5．若，则　　．

【分析】设，则，，，再代入即可解答．

【解答】解：设，

则，，，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是设，求出，，．

6．若、是方程的两实根，则的值等于　　．

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，然后变形原代数式为原式，再代值计算即可．

【解答】解：、是方程的两实根，

，．

原式．

故答案为：．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两根为，，则，．

7．已知、是方程的两个实数根，则的值为　　．

【分析】根据方程的根的定义，以及根与系数之间的关系，即可得到，，根据即可求解．

【解答】解：，是方程的两个实数根，

，．

．

故答案为：．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程根的定义．

8．如图，在中，为上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件是　①，②，③　（只填序号）．

【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．

【解答】解：前三项正确，因为他们分别符合有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似．

故相似的条件是①，②，③．

【点评】考查对相似三角形的判定方法的掌握情况．

9．如图，中，点、分别是边、的中点，、分别交对角线于点、，则　　．

【分析】连接交于，根据相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理进行解答即可．

【解答】解：连接交于，如图所示：

四边形是平行四边形，

，，，，

，

，

点、分别是边、的中点，

，是的中位线，

，，，

，是的中位线，，

，，

，，，

，

；

故答案为：．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理，证明三角形相似是解题的关键．

三．解答题（共6小题）

10．用指定方法解下列一元二次方程

（1）（直接开平方法）

（2）（配方法）

（3）（公式法）

（4）（因式分解法）

【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；

（2）方程利用配方法求出解即可；

（3）方程利用公式法求出解即可；

（4）方程利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：（1），

移项，得，

两边都除以3，得，

两边开平方，得，

移项，得，

解得：，；

（2），

两边都除以2，得，

移项，得，

配方，得，即，

解得：，

即，；

（3），

这里，，，

，

，

解得：，；

（4），

方程左边因式分解，得，即，

解得：，．

【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

11．已知线段a、b、c，且．

（1）求的值；

（2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值．

【分析】设a＝3k，b＝4k，c＝5k．

（1）代入计算即可；

（2）构建方程求出k即可．

【解答】解：设＝＝＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，

（1）＝＝；

（2）∵a+b+c＝60，

∴3k+4k+5k＝60，

∴k＝5，

∴a＝15，b＝20，c＝25．

【点评】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝3k，b＝4k，c＝5k进而得出k的值是解题关键．

12．某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为、、、、五个组，表示测试成绩，组：；组：；组：；组：；组：，通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：

（1）抽取的学生共有 　400　人，请将两幅统计图补充完整；

（2）抽取的测试成绩的中位数落在 　　组内；

（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？

【分析】（1）根据组的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，再根据条形统计图中的数据可以求得组和组所占的百分比．根据本次调查的总人数和组所占的百分比可以求得组的人数；

（2）根据扇形统计图中的数据可以得到中位数落在哪一组；

（3）根据统计图中的数据可以计算出该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人．

【解答】解：（1）本次抽取的学生共有：（人，

故答案为：400；

所占的百分比为：，

所占的百分比为：，

组的人数为：，

补全的统计图如图所示；

（2）由扇形统计图可知，

抽取的测试成绩的中位数落在组内，

故答案为：；

（3）（人，

答：估计该校初三测试成绩为优秀的学生有660人．

【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

13．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，BE⊥EF．​求证：

（1）△ABE∽△DEF；

（2）若AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．

【分析】（1）先判断出∠A＝∠D＝90°，进而得出∠ABE+∠AEB＝90°，再判断出∠AEB+∠DEF＝90°，得出∠ABE＝∠DEF，即可得出结论；

（2）先根据相似三角形的性质求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴∠ABE+∠AEB＝90°，

∵BE⊥EF

∴∠BEF＝90°，

∴∠AEB+∠DEF＝90°，

∴∠ABE＝∠DEF，

∵∠A＝∠D，

∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，

∴＝，即＝，解得DF＝3，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠D＝90°，

由勾股定理得：

EF＝＝＝．

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．

14．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．

（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；

（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？

【分析】（1）设每次下降的百分率为，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率；

（2）设涨价元，根据总盈余每千克盈余数量，可列方程，可求解．

【解答】解：（1）设每次下降的百分率为

根据题意得：

解得：，（不合题意舍去）

答：每次下降

（2）设涨价元

解得：，（不合题意舍去）

答：每千克应涨价5元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到题目中的相等关系，列出方程是本题的关键．

15．【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：

【问题原型】如图①，中，点为边上的点，过点作交为边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，，，则　2.7　．

【结论应用】（1）如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．求证：；

（2）如图③，中，，，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连结、分别交于点、，则周长的最小值是 　　．

【分析】（1），，，，，即可求得；

（2），，，，同理，，即可证明；

（3）过点作以所在直线为对称轴的对称点，交于点，易得，，且、分别是边，的中点，为的中位线，，连接，此时与的交点，此时周长最小，根据勾股定理即可求出进而求出作答．

【解答】（1）解：，

，

又，

，

，

即，

，

故答案为：2.7；

（2）证明：，

，

，，

，

，

同理，

，

；

（3）解：过点作以所在直线为对称轴的对称点，交于点，易得，如图，

，且、分别是边，的中点，

为的中位线，

，

连接，此时与的交点，此时周长最小，

，，

，

，

，

在中，

，

，

故答案为：．

【点评】本题考查平行四边形的性质，中位线，平行线的性质，三角形等综合问题，解题的关键是对将军饮马问题的灵活运用．