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2023-2024学年江苏省无锡市江阴市华西实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省无锡市江阴市华西实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，是一元二次方程是( )
A. x2+y2=4B. x2=0C. x2−2x+1>0D. 1x−1=x
2.用配方法解一元二次方程x2−4x−6=0时，配方后的方程是( )
A. (x+2)2=2B. (x−2)2=2C. (x+2)2=10D. (x−2)2=10
3.已知⊙O的直径为4，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 无法判断
4.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( )
A. 56°B. 34°C. 29°D. 28°
5.如图，线段AB是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于12AO的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE=3，则BC的长是( )
A. 6 3B. 4C. 6D. 3 2
6.电影《长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史：71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神一路追击，奋勇杀敌，扭转了战场态势，打出了军威国威．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为( )
A. 3(1+x)=10B. 3(1+x)2=10
C. 3+3(1+x)2=10D. 3+3(1+x)+3(1+x)2=10
7.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边AB的长为方程x2−8x+15=0的一个根，则菱形ABCD的周长为( )
A. 24B. 12C. 20D. 12或20
8.如图，AB是⊙O的直径，若AC=2，∠D=60°，则BC长等于( )
A. 4
B. 5
C. 3
D. 2 3
9.如图所示，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，CD⊥AB，垂足为点G，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，角度为30°的角的个数为( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
10.如图，正方形ABCD中，AB=12，点P为边DA上一个动点，连接CP，点E为CD上一点，且DE=4，在AB上截取点Q使EQ=CP，交CP于点M，连接BM，则BM的最小值为( )
A. 8B. 12C. 4 10−4D. 83−5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知关于x的一元二次方程x2+3x+1=0有两根为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值是______．
12.如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是在弧BC上的一点(P点与C点不重合)，则∠CPD的度数是______．
13.若正六边形的内切圆半径为1，则其外接圆半径为______．
14.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为16米，拱高CD为4米，则拱的半径为______米．
15.已知圆的一条弦把圆周分成1：3两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______．
16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P=40°，则∠ADC=______°.
17.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=8，CD=15，则四边形ABCD的周长为______．
18.如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F，连接BE和BF，若AE=CF，AC−AB=9，AC−BC=2，则BE+BF的最小值是______．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题20分)
用适当的方法解下列方程：
(1)4x2=9；
(2)x2+4x−4=0；
(3)(3x−1)2=(x+1)2；
(4)2x2+x−12=0．
20.(本小题6分)
已知6x2−4x−3=0，求(x−1)2+2x2−9的值．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，有A(0,4)，B(4,4)，C(6,2)三点．
(1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
(2)圆心M的坐标为______；
(3)点D坐标为(8,−2)，连接CD，判断直线CD与⊙M的位置关系，并说明理由．
22.(本小题8分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，DB平分∠ADC．
(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；
(2)若AB= 3，AD=1，求CD的长度；
(3)求点D到AC的距离．
23.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2+2mx−n2+5=0．
(1)当m=1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值；
(2)若该一元二次方程有两个相等的实数根．
①求m、n满足的关系式；
②在x轴上取点H，使得OH=|m|，过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH=|n|，则点P到点(3,4)的距离最小值是______．
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过BD上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．
(1)若∠DAB=50°，求∠ATC的度数；
(2)若⊙O半径为5，CT=3，求AD的长．
25.(本小题8分)
已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
26.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点
也随即停止运动.如果P、Q两点同时出发．
①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2；
②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由．
27.(本小题10分)
嘉海学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题．
28.(本小题10分)
综合探究
如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′.连接AA′交BD于点E，连接CA′．
(1)求证：AA′⊥CA′；
(2)以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′= 3CA′；
②如图3，⊙O与CA′相切，AD=1，求⊙O的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该方程是二元二次方程，故本选项不合题意；
B.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.该式是一元二次不等式，不是方程，故本选项不合题意；
D.该方程是分式方程，故本选项不合题意．
故选：B．
一元二次方程的定义，含有一个未知数，未知数的指数最高次是2的整式方程．
本题考查一元二次方程的判定，掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：x2−4x−6=0，
x2−4x=6，
x2−4x+4=6+4，
(x−2)2=10，
故选：D．
利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径为2，
又∵PO=4，
∴点P到圆心的距离大于圆的半径，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
比较⊙O的半径和点P到点O的距离的大小，即可根据点与圆的位置关系判断点P与⊙O位置关系．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d>r； ②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d4.【答案】D
【解析】解：连接OA，OB．
由题意，∠AOB=86°−30°=56°，
∴∠ACB=12∠AOB=28°，
故选：D．
连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．
本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
连接CO，根据作图知CE垂直平分AC，即可得AC=OC，AE=OE=3，根据圆的半径得AC=6，AB=12，根据圆周角定理的推论得∠ACB=90°，根据勾股定理即可求解．
本题考查了线段垂直平分线性质、直径所对的圆周角为直角、勾股定理知识，掌握相关的性质进行正确求解是解题的关键．
【解答】
解：连接CO，根据作图知CE垂直平分OA，
∴AC=OC，AE=OE=3，
∴AC=OC=OB=AO=AE+EO=6，
即AB=AO+BO=12，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理得，
BC= AB2−AC2= 122−62=6 3，
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3(1+x)+3(1+x)2=10．
故选：D．
第一天为3，根据增长率为x得出第二天为3(1+x)，第三天为3(1+x)2，根据三天累计为10，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵x2−8x+15=0，
因式分解得：(x−3)(x−5)=0，
解得：x=3或x=5，
分两种情况：
①当AB=AD=3时，3+3<8，不能构成三角形；
②当AB=AD=5时，5+5>8，
∴菱形ABCD的周长=4AB=20．
故选：C．
解方程得出x=3或x=5，分两种情况：①当AB=AD=3时，3+3<8，不能构成三角形；②当AB=AD=5时，5+5>8，即可得出菱形ABCD的周长．
本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=60°，
∴BC= 3AC=2 3，
故选：D．
根据圆周角定理得出∠ACB=90°，∠CAB=∠D=60°，解直角三角形求出BC即可．
本题考查了圆周角定理和解直角三角形等知识，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵OA=OC，∠A=∠CDB=30°，
∴∠A=∠OCA=30°，
∴∠BOC=∠A+∠OCA=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CGO=90°，
∴∠OCG=90°−∠BOC=30°，
∵CE是⊙O的切线，
∴CE⊥OC，
∴∠OCE=90°，
∴∠E=90°−∠BOC=30°，
∴∠A=∠CDB=∠OCA=∠OCG=∠E=30°，
即在不添加辅助线的情况下，角度为30°的角的个数为5个．
故选：D．
根据圆周角定理和等腰三角形的性质得∠A=∠OCA=∠CDB=30°，从而得∠BOC=60°再根据CD⊥AB，即可得∠OCG=30°，最后根据CE是⊙O的切线，得∠OCE=90°，从而得∠E=30°，即可得出答案．
本题考查圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和切线的性质上解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，
则∠EFA=∠EFQ=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠D=∠A=90°，
∴四边形DAFE是矩形，
∴AD=EF=CD，
在Rt△EFQ和Rt△CDP中，
EQ=CPEF=CD，
∴Rt△EFQ≌Rt△CDP(HL)，
∴∠FEQ=∠DCP，
∵∠FEQ+∠CEM=∠CEF=90°，
∴∠DCP+∠CEM=90°，
∴∠EMC=90°，
∴点M在以CE为直径的半圆上，
∵AB=CD=12，DE=4，
∴EC=12−4=8，
∴OE=OC=4，
∴OB= OC2+BC2=4 10，
∴当点M运动到OB与半圆的交点处时BM最小，此时BM=OB−OM=4 10−4．
故选：C．
过点E作EF⊥AB于点F，根据正方形的性质利用HL证明Rt△EFQ≌Rt△CDP，根据全等三角形的性质得出∠FEQ=∠DCP，进而推出∠EMC=90°，则点M在以CE为直径的半圆上，根据勾股定理求出OB=4 10，根据当点M运动到OB与半圆的交点处时BM最小，求解即可．
此题考查了正方形的性质，全等三角形 的判定和性质，勾股定理．熟记正方形的四个角都是90°、四条边都相等是解题的关键．
11.【答案】−2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+1=0有两根为x1和x2，
∴x1+x2=−31=−3,x1⋅x2=1，
∴x1x2+x1+x2=1+(−3)=−2，
故答案为：−2．
先根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后直接代入所求代数式进行计算即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握根与系数的关系，求出两根之和与两根之积．
12.【答案】45°
【解析】解：连接BD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC=45°，
由圆周角定理得：∠CPD=∠DBC=45°，
故答案为：45°．
连接BD，根据正方形的性质求出∠DBC=45°，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是正方形的性质、圆周角定理，根据正方形的性质求出∠DBC=45°是解题的关键．
13.【答案】2 33
【解析】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于G；
则OG=1，
∵六边形ABCDEF正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴OA=OGsin60∘=1 32=2 33，
∴正六边形的内切圆半径为1，则其外接圆半径为2 33．
故答案为：2 33．
根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质和三角函数求解即可．
本题考查了正六边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．
14.【答案】10
【解析】解：因为跨度AB=16m，拱高CD为4m，AD=12AB=8，
所以找出圆心O并连接OA，延长CD到O，构成直角三角形，
利用勾股定理可得：
82=AO2−(AO−4)2，
解得AO=10．
即圆弧半径为10米．
故答案为：10．
先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算．
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用．可通过作辅助线建立模形，利用垂径定理解答．
15.【答案】45°或135°
【解析】解：∵弦AB把⊙O分成1：3两部分，
∴∠AOB=14×360°=90°，
∴∠ACB=12∠AOB=45°，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠ADB=180°−∠ACB=135°．
∴这条弦所对的圆周角的度数是：45°或135°．
故答案为：45°或135°．
首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦把圆周分成1：3两部分，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，求得∠ACB的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得∠ADB的度数，继而可求得答案．
此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
16.【答案】115
【解析】解：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠ABC=12(180°−50°)=65°，
∴∠ADC=180°−∠ABC=115°，
故答案为：115．
连接OC，根据切线的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
17.【答案】46
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，如图，
∴AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG，
∴AD+BC=AB+CD=23，
∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=23+23=46，
故答案为：46．
根据切线长定理得到AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG，得到AD+BC=AB+CD=23，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
18.【答案】17
【解析】解：连接DE，DF，BD，设BD与EF交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE=BF，
∴BE+BF=BE+DE≥BD，
∴BE+BF的最小值为BD的长；
∵AC−AB=9，AC−BC=2，
∴AB=AC−9，BC=AC−2，
在Rt△ABC中，
∵AB2+BC2=AC2，
∴(AC−9)2+(AC−2)2=AC2，
解得AC=5，或AC=17，
∵当AC=5时，AB=5−9<0，
∴AC=5舍去，
取AC=17，
∴BD=17，
即BE+BF的最小值是17，
故答案为：17．
连接DE，DF，BD，证明出DE=BF，从而确定BE+BF的最小值为BD的长，再利用已知条件求出AC的长即可使问题解决．
本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，本题也可通过证明△ADE≌△CBF得到DE=BF．
19.【答案】解：(1)4x2=9，
x2=94，
∴x=±32，
即x1=32，x2=−32；
(2)x2+4x−4=0，
x2+4x=4，
x2+4x+4=4+4，
(x+2)2=8，x+2=±2 2，
∴x1=−2+2 2，x2=−2−2 2；
(3)(3x−1)2=(x+1)2，
(3x−1)2−(x+1)2=0，
(3x−1+x+1)(3x−1−x−1)=0，
∴4x=0或2x−2=0，
∴x1=0，x2=1；
(4)方程化为4x2+2x−1=0，
则a=4，b=2，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=22−4×4×(−1)=20>0，
∴该方程有两个不相等的根，且x=−2± 202×4=−1± 54，
∴x1=−1+ 54，x2=−1− 54．
【解析】(1)利用直接开方法解该一元二次方程即可；
(2)利用配方法解该一元二次方程即可；
(3)利用因式分解法解该一元二次方程即可；
(4)利用公式法解该一元二次方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．
20.【答案】解：因为6x2−4x−3=0，
所以6x2−4x=3，
所以3x2−2x=32，
所以(x−1)2+2x2−9
=x2−2x+1+2x2−9
=3x2−2x−8
=32−8
=−132．
【解析】根据完全平方公式解答即可．
本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
21.【答案】(1)如图，点M即为所求．
；
(2)(2,0)；
故答案为：(2,0)．
(3)直线CD与⊙M相切．
理由：连接MC，MD，
由勾股定理得，MC2=42+22=20，CD2=22+42=20，MD2=22+62=40，
∴MC2+CD2=MD2，
∴∠MCD=90°，
∵MC为⊙M的半径，
∴直线CD是⊙M的切线．
【解析】解：(1)见答案；
(2)由图可知，点M的坐标为(2,0)．
故答案为：(2,0)．
(3)见答案．
(1)利用网格画出线段AB和线段BC的垂直平分线，交点即为点M．
(2)根据图形即可得出点M的坐标．
(3)连接MC，MD，利用勾股定理判定∠MCD=90°，则直线CD为⊙M的切线．
本题考查作图−复杂作图、直线与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
22.【答案】(1)△ABC为等腰直角三角形，
证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴AB=CB，
∴△ABC为等腰直角三角形；
(2)解：由(1)得△ABC为等腰直角三角形，AB= 3，
∴CB= 3，
由勾股定理得AC= AB2+CB2= ( 3)2+( 3)2= 6，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ADC=90°，
由勾股定理得，CD= AC2−AD2= ( 6)2−12= 5；
(3)解：过点D作DE⊥AC于点E，
∴S△ADC=12AD⋅CD=12AC⋅DE，
∴1× 5= 6⋅DE，
解得DE= 306，
即点D到AC的距离为 306．
【解析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC=90°，再根据同弧所对的圆周角相等得出∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，结合DB平分∠ADC，即可判断△ABC的形状；
(2)在等腰直角△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再根据圆内接四边形对角互补得出∠ADC=90°，再次利用勾股定理即可求出CD的长度；
(3)根据直角三角形的面积公式即可求出点D到AC的距离．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，直角三角形的面积，涉及的知识点较多，需熟练掌握．
23.【答案】5− 5
【解析】解：(1)把m=1，x=1代入方程得1+2−n2+5=0，
解得n=±2 2，
即n的值为±2 2；
(2)①根据题意得△=4m2−4(−n2+5)=0，
整理得m2+n2=5；
②∵OH=|m|，PH=|n|，
∴OP= m2+n2= 5，
即点P在以O点为圆心， 5为半径的圆上，
∴原点与点(3,4)的连线与⊙O的交点P使点P到点(3,4)的距离最小，
∵原点到点(3,4)的距离为 32+42=5，
∴点P到点(3,4)的距离最小值是5− 5．
故答案为5− 5．
(1)把m=1，x=1代入方程得1+2−n2+5=0，然后解关于n的方程即可；
(2)①利用判别式的意义得到△=4m2−4(−n2+5)=0，从而得到m与n的关系；
②利用勾股定理得到OP= m2+n2= 5，则点P在以O点为圆心， 5为半径的圆上，然后根据点与圆的位置关系判断点P到点(3,4)的距离最小值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了点与圆的位置关系．
24.【答案】解：(1)如图，连接OT，
∵CT为⊙O的切线，
∴OT⊥CT，
∵TC⊥AC，
∴OT//AC，
∴∠DAT=∠OTA，
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
∴∠DAT=∠OAT=12∠DAB=25°，
∵TC⊥AC，
∴∠ACT=90°，
∴∠ATC=90°−25°=65°；
(2)过点O作OE⊥AD于点E，则E为AD的中点，
∵TC⊥AC，OT⊥CT，
∴四边形OECT是矩形，
∴OE=CT=3，
∵OA=5，
∴在Rt△AOE中，AE= OA2−OE2=4，
∴AD=2AE=8．
【解析】(1)连接OT，根据切线的性质可得OT⊥CT，结合已知条件即可求出∠ATC的度数；
(2)过点O作OE⊥AD于点E，则E为AD的中点，由TC⊥AC，OT⊥CT，可得四边形OECT是矩形，得OE=CT=3，再根据勾股定理即可求出AD的长．
本题考查了切线的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
25.【答案】解：(1)∵∠AEC=30°，
∴∠ABC=30°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABC=30°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，
连接OA，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC=30°，
∴∠OAD=∠BAD−∠OAB=90°，
∴OA⊥AD，
∵点A在⊙O上，
∴直线AD是⊙O的切线；
(2)连接OA，如图，
∵∠AEC=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAE=30°，
∴2OM=OA，即OM=2，
∵BC⊥AE于M，
∴AE=2AM，∠OMA=90°，
在Rt△AOM中，
AM= OA2−OM2=2 3，
∴AE=2AM=4 3．
【解析】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，三角形内角和定理，圆周角定理等知识．
(1)先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，得出∠OAD=90°，结论得证；
(2)先求出∠AOC=60°，用勾股定理求出AM，再用垂径定理即可得出结论．
26.【答案】解：如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB=90°．
∵∠ABC=30°，
∴2QE=QB．
∴S△PQB=12⋅PB⋅QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB=(6−t)cm，QB=2t(cm)，QE=t(cm)．
根据题意，12⋅(6−t)⋅t=4．
t2−6t+8=0．
t1=2，t2=4．
当t=4时，2t=8，8>7，不合题意舍去，取t=2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【解析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面积为12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题．
27.【答案】解：问题1：设售价为x元/千克，
125−5×x−，
125−5x−，
5x−，
5x−12.5=2，
5x=17.5，
x=3.5，
则获利：(3.5−2)×105=157.5(元)，
答：某天超市正好销售105千克的青菜，则获利157.5元；
问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利100元，
(x−2)(125−5×x−2.50.1)=100，
(x−2)(250−50x)=100，
50x2−350x+600=100，
x2−7x+12=0，
(x−3)(x−4)=0，
x1=3，x2=4，
答：若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克．
【解析】问题1：设售价为x元/千克，125−5×y−，计算得x=3.5即可得；
问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利100元，(x−2)(125−5×x−2.50.1)=100，计算得x1=3，x2=4，即可得．
本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
28.【答案】(1)证明：∵点A关于BD的对称点为A′，
∴AE=A′E，AA′⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
∴OE//A′C，
∴AA′⊥CA′；
(2)①证明：如图2，
设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，
∴OF⊥CD，OF=OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=12BD，AB//CD，AC=BD，OA=12AC，
∴OG⊥AB，∠FDO=∠BOG，OA=OB，
∴∠GAO=∠GBO，
∵∠DOF=∠BOG，
∴△DOF≌△BOG(ASA)，
∴OG=OF，
∴OG=OE，
由(1)知：AA′⊥BD，
∴∠EAO=∠GAO，
∵∠EAB+∠GBO=90°，
∴∠EAO+∠GAO+∠GBO=90°，
∴3∠EAO=90°，
∴∠EAO=30°，
由(1)知：AA′⊥CA′，
∴tan∠EAO=CA′AA′，
∴tan30°=CA′AA′，
∴AA′= 3CA′；
②解：如图3，
设⊙O切CA′于点H，连接OH，
∴OH⊥CA′，
由(1)知：AA′⊥CA′，AA′⊥CA′，OA=OC，
∴OH//AA′，OE//CA′，
∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，
∴OHAA′=OCAC=12,OECA′=OAAC=12，
∴AA′=2OH，CA′=2OE，
∴AA′=CA′，
∴∠A′AC=∠A′CA=45°，
∴∠AOE=∠ACA′=45°，
∴AE=OE，OD=OA= 2AE，
设AE=OE=x，则OD=OA= 2x，
∴DE=OD−OE=( 2−1)x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
x2+[( 2−1)x]2=1，
∴x2=2+ 24，
∴S⊙O=π⋅OE2=2+ 24⋅π．
【解析】(1)根据轴对称的性质可得AE=A′E，AA′⊥BD，根据四边形ABCD是矩形，得出OA=OC，从而OE//A′C，从而得出AA′⊥CA′；
(2)①设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，可证得OG=OF=OE，从而得出∠EAO=∠GAO=∠GBO，进而得出∠EAO=30°，从而AA′= 3CA′；
②设⊙O切CA′于点H，连接OH，可推出AA′=2OH，CA′=2OE，从而AA′=CA′，进而得出∠A′AC=∠A′CA=45°，∠AOE=∠ACA′=45°，从而得出AE=OE，OD=OA= 2AE，设OA=OE=x，则OD=OA= 2x，在Rt△ADE中，由勾股定理得出x2+[( 2−1)x]2=1，从而求得x2=2+ 24，进而得出⊙O的面积．
本题考查了圆的切线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．嘉海学校社会实践记录表
团队名称
遇数临风
活动时间
班级人员
802王嘉、马俊、张宁
地点
城南蔬菜超市
实践内容
调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠．
调研信息
青菜的进价为2元/千克．
青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克．
每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克．
解决问题
问题1
某天超市正好销售105千克的青菜，则获利多少元？
问题2
若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？
1.下列方程中，是一元二次方程是( )
A. x2+y2=4B. x2=0C. x2−2x+1>0D. 1x−1=x
2.用配方法解一元二次方程x2−4x−6=0时，配方后的方程是( )
A. (x+2)2=2B. (x−2)2=2C. (x+2)2=10D. (x−2)2=10
3.已知⊙O的直径为4，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 无法判断
4.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( )
A. 56°B. 34°C. 29°D. 28°
5.如图，线段AB是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于12AO的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE=3，则BC的长是( )
A. 6 3B. 4C. 6D. 3 2
6.电影《长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史：71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神一路追击，奋勇杀敌，扭转了战场态势，打出了军威国威．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为( )
A. 3(1+x)=10B. 3(1+x)2=10
C. 3+3(1+x)2=10D. 3+3(1+x)+3(1+x)2=10
7.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边AB的长为方程x2−8x+15=0的一个根，则菱形ABCD的周长为( )
A. 24B. 12C. 20D. 12或20
8.如图，AB是⊙O的直径，若AC=2，∠D=60°，则BC长等于( )
A. 4
B. 5
C. 3
D. 2 3
9.如图所示，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，CD⊥AB，垂足为点G，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，角度为30°的角的个数为( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
10.如图，正方形ABCD中，AB=12，点P为边DA上一个动点，连接CP，点E为CD上一点，且DE=4，在AB上截取点Q使EQ=CP，交CP于点M，连接BM，则BM的最小值为( )
A. 8B. 12C. 4 10−4D. 83−5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知关于x的一元二次方程x2+3x+1=0有两根为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值是______．
12.如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是在弧BC上的一点(P点与C点不重合)，则∠CPD的度数是______．
13.若正六边形的内切圆半径为1，则其外接圆半径为______．
14.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为16米，拱高CD为4米，则拱的半径为______米．
15.已知圆的一条弦把圆周分成1：3两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______．
16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P=40°，则∠ADC=______°.
17.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=8，CD=15，则四边形ABCD的周长为______．
18.如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F，连接BE和BF，若AE=CF，AC−AB=9，AC−BC=2，则BE+BF的最小值是______．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题20分)
用适当的方法解下列方程：
(1)4x2=9；
(2)x2+4x−4=0；
(3)(3x−1)2=(x+1)2；
(4)2x2+x−12=0．
20.(本小题6分)
已知6x2−4x−3=0，求(x−1)2+2x2−9的值．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，有A(0,4)，B(4,4)，C(6,2)三点．
(1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
(2)圆心M的坐标为______；
(3)点D坐标为(8,−2)，连接CD，判断直线CD与⊙M的位置关系，并说明理由．
22.(本小题8分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，DB平分∠ADC．
(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；
(2)若AB= 3，AD=1，求CD的长度；
(3)求点D到AC的距离．
23.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2+2mx−n2+5=0．
(1)当m=1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值；
(2)若该一元二次方程有两个相等的实数根．
①求m、n满足的关系式；
②在x轴上取点H，使得OH=|m|，过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH=|n|，则点P到点(3,4)的距离最小值是______．
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过BD上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．
(1)若∠DAB=50°，求∠ATC的度数；
(2)若⊙O半径为5，CT=3，求AD的长．
25.(本小题8分)
已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
26.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点
也随即停止运动.如果P、Q两点同时出发．
①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2；
②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由．
27.(本小题10分)
嘉海学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题．
28.(本小题10分)
综合探究
如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′.连接AA′交BD于点E，连接CA′．
(1)求证：AA′⊥CA′；
(2)以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′= 3CA′；
②如图3，⊙O与CA′相切，AD=1，求⊙O的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该方程是二元二次方程，故本选项不合题意；
B.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.该式是一元二次不等式，不是方程，故本选项不合题意；
D.该方程是分式方程，故本选项不合题意．
故选：B．
一元二次方程的定义，含有一个未知数，未知数的指数最高次是2的整式方程．
本题考查一元二次方程的判定，掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：x2−4x−6=0，
x2−4x=6，
x2−4x+4=6+4，
(x−2)2=10，
故选：D．
利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径为2，
又∵PO=4，
∴点P到圆心的距离大于圆的半径，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
比较⊙O的半径和点P到点O的距离的大小，即可根据点与圆的位置关系判断点P与⊙O位置关系．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d>r； ②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d
【解析】解：连接OA，OB．
由题意，∠AOB=86°−30°=56°，
∴∠ACB=12∠AOB=28°，
故选：D．
连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．
本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
连接CO，根据作图知CE垂直平分AC，即可得AC=OC，AE=OE=3，根据圆的半径得AC=6，AB=12，根据圆周角定理的推论得∠ACB=90°，根据勾股定理即可求解．
本题考查了线段垂直平分线性质、直径所对的圆周角为直角、勾股定理知识，掌握相关的性质进行正确求解是解题的关键．
【解答】
解：连接CO，根据作图知CE垂直平分OA，
∴AC=OC，AE=OE=3，
∴AC=OC=OB=AO=AE+EO=6，
即AB=AO+BO=12，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理得，
BC= AB2−AC2= 122−62=6 3，
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3(1+x)+3(1+x)2=10．
故选：D．
第一天为3，根据增长率为x得出第二天为3(1+x)，第三天为3(1+x)2，根据三天累计为10，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵x2−8x+15=0，
因式分解得：(x−3)(x−5)=0，
解得：x=3或x=5，
分两种情况：
①当AB=AD=3时，3+3<8，不能构成三角形；
②当AB=AD=5时，5+5>8，
∴菱形ABCD的周长=4AB=20．
故选：C．
解方程得出x=3或x=5，分两种情况：①当AB=AD=3时，3+3<8，不能构成三角形；②当AB=AD=5时，5+5>8，即可得出菱形ABCD的周长．
本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=60°，
∴BC= 3AC=2 3，
故选：D．
根据圆周角定理得出∠ACB=90°，∠CAB=∠D=60°，解直角三角形求出BC即可．
本题考查了圆周角定理和解直角三角形等知识，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵OA=OC，∠A=∠CDB=30°，
∴∠A=∠OCA=30°，
∴∠BOC=∠A+∠OCA=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CGO=90°，
∴∠OCG=90°−∠BOC=30°，
∵CE是⊙O的切线，
∴CE⊥OC，
∴∠OCE=90°，
∴∠E=90°−∠BOC=30°，
∴∠A=∠CDB=∠OCA=∠OCG=∠E=30°，
即在不添加辅助线的情况下，角度为30°的角的个数为5个．
故选：D．
根据圆周角定理和等腰三角形的性质得∠A=∠OCA=∠CDB=30°，从而得∠BOC=60°再根据CD⊥AB，即可得∠OCG=30°，最后根据CE是⊙O的切线，得∠OCE=90°，从而得∠E=30°，即可得出答案．
本题考查圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和切线的性质上解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，
则∠EFA=∠EFQ=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠D=∠A=90°，
∴四边形DAFE是矩形，
∴AD=EF=CD，
在Rt△EFQ和Rt△CDP中，
EQ=CPEF=CD，
∴Rt△EFQ≌Rt△CDP(HL)，
∴∠FEQ=∠DCP，
∵∠FEQ+∠CEM=∠CEF=90°，
∴∠DCP+∠CEM=90°，
∴∠EMC=90°，
∴点M在以CE为直径的半圆上，
∵AB=CD=12，DE=4，
∴EC=12−4=8，
∴OE=OC=4，
∴OB= OC2+BC2=4 10，
∴当点M运动到OB与半圆的交点处时BM最小，此时BM=OB−OM=4 10−4．
故选：C．
过点E作EF⊥AB于点F，根据正方形的性质利用HL证明Rt△EFQ≌Rt△CDP，根据全等三角形的性质得出∠FEQ=∠DCP，进而推出∠EMC=90°，则点M在以CE为直径的半圆上，根据勾股定理求出OB=4 10，根据当点M运动到OB与半圆的交点处时BM最小，求解即可．
此题考查了正方形的性质，全等三角形 的判定和性质，勾股定理．熟记正方形的四个角都是90°、四条边都相等是解题的关键．
11.【答案】−2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+1=0有两根为x1和x2，
∴x1+x2=−31=−3,x1⋅x2=1，
∴x1x2+x1+x2=1+(−3)=−2，
故答案为：−2．
先根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后直接代入所求代数式进行计算即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握根与系数的关系，求出两根之和与两根之积．
12.【答案】45°
【解析】解：连接BD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC=45°，
由圆周角定理得：∠CPD=∠DBC=45°，
故答案为：45°．
连接BD，根据正方形的性质求出∠DBC=45°，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是正方形的性质、圆周角定理，根据正方形的性质求出∠DBC=45°是解题的关键．
13.【答案】2 33
【解析】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于G；
则OG=1，
∵六边形ABCDEF正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴OA=OGsin60∘=1 32=2 33，
∴正六边形的内切圆半径为1，则其外接圆半径为2 33．
故答案为：2 33．
根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质和三角函数求解即可．
本题考查了正六边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．
14.【答案】10
【解析】解：因为跨度AB=16m，拱高CD为4m，AD=12AB=8，
所以找出圆心O并连接OA，延长CD到O，构成直角三角形，
利用勾股定理可得：
82=AO2−(AO−4)2，
解得AO=10．
即圆弧半径为10米．
故答案为：10．
先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算．
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用．可通过作辅助线建立模形，利用垂径定理解答．
15.【答案】45°或135°
【解析】解：∵弦AB把⊙O分成1：3两部分，
∴∠AOB=14×360°=90°，
∴∠ACB=12∠AOB=45°，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠ADB=180°−∠ACB=135°．
∴这条弦所对的圆周角的度数是：45°或135°．
故答案为：45°或135°．
首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦把圆周分成1：3两部分，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，求得∠ACB的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得∠ADB的度数，继而可求得答案．
此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
16.【答案】115
【解析】解：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠ABC=12(180°−50°)=65°，
∴∠ADC=180°−∠ABC=115°，
故答案为：115．
连接OC，根据切线的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
17.【答案】46
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，如图，
∴AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG，
∴AD+BC=AB+CD=23，
∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=23+23=46，
故答案为：46．
根据切线长定理得到AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG，得到AD+BC=AB+CD=23，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
18.【答案】17
【解析】解：连接DE，DF，BD，设BD与EF交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE=BF，
∴BE+BF=BE+DE≥BD，
∴BE+BF的最小值为BD的长；
∵AC−AB=9，AC−BC=2，
∴AB=AC−9，BC=AC−2，
在Rt△ABC中，
∵AB2+BC2=AC2，
∴(AC−9)2+(AC−2)2=AC2，
解得AC=5，或AC=17，
∵当AC=5时，AB=5−9<0，
∴AC=5舍去，
取AC=17，
∴BD=17，
即BE+BF的最小值是17，
故答案为：17．
连接DE，DF，BD，证明出DE=BF，从而确定BE+BF的最小值为BD的长，再利用已知条件求出AC的长即可使问题解决．
本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，本题也可通过证明△ADE≌△CBF得到DE=BF．
19.【答案】解：(1)4x2=9，
x2=94，
∴x=±32，
即x1=32，x2=−32；
(2)x2+4x−4=0，
x2+4x=4，
x2+4x+4=4+4，
(x+2)2=8，x+2=±2 2，
∴x1=−2+2 2，x2=−2−2 2；
(3)(3x−1)2=(x+1)2，
(3x−1)2−(x+1)2=0，
(3x−1+x+1)(3x−1−x−1)=0，
∴4x=0或2x−2=0，
∴x1=0，x2=1；
(4)方程化为4x2+2x−1=0，
则a=4，b=2，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=22−4×4×(−1)=20>0，
∴该方程有两个不相等的根，且x=−2± 202×4=−1± 54，
∴x1=−1+ 54，x2=−1− 54．
【解析】(1)利用直接开方法解该一元二次方程即可；
(2)利用配方法解该一元二次方程即可；
(3)利用因式分解法解该一元二次方程即可；
(4)利用公式法解该一元二次方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．
20.【答案】解：因为6x2−4x−3=0，
所以6x2−4x=3，
所以3x2−2x=32，
所以(x−1)2+2x2−9
=x2−2x+1+2x2−9
=3x2−2x−8
=32−8
=−132．
【解析】根据完全平方公式解答即可．
本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
21.【答案】(1)如图，点M即为所求．
；
(2)(2,0)；
故答案为：(2,0)．
(3)直线CD与⊙M相切．
理由：连接MC，MD，
由勾股定理得，MC2=42+22=20，CD2=22+42=20，MD2=22+62=40，
∴MC2+CD2=MD2，
∴∠MCD=90°，
∵MC为⊙M的半径，
∴直线CD是⊙M的切线．
【解析】解：(1)见答案；
(2)由图可知，点M的坐标为(2,0)．
故答案为：(2,0)．
(3)见答案．
(1)利用网格画出线段AB和线段BC的垂直平分线，交点即为点M．
(2)根据图形即可得出点M的坐标．
(3)连接MC，MD，利用勾股定理判定∠MCD=90°，则直线CD为⊙M的切线．
本题考查作图−复杂作图、直线与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
22.【答案】(1)△ABC为等腰直角三角形，
证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴AB=CB，
∴△ABC为等腰直角三角形；
(2)解：由(1)得△ABC为等腰直角三角形，AB= 3，
∴CB= 3，
由勾股定理得AC= AB2+CB2= ( 3)2+( 3)2= 6，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ADC=90°，
由勾股定理得，CD= AC2−AD2= ( 6)2−12= 5；
(3)解：过点D作DE⊥AC于点E，
∴S△ADC=12AD⋅CD=12AC⋅DE，
∴1× 5= 6⋅DE，
解得DE= 306，
即点D到AC的距离为 306．
【解析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC=90°，再根据同弧所对的圆周角相等得出∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，结合DB平分∠ADC，即可判断△ABC的形状；
(2)在等腰直角△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再根据圆内接四边形对角互补得出∠ADC=90°，再次利用勾股定理即可求出CD的长度；
(3)根据直角三角形的面积公式即可求出点D到AC的距离．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，直角三角形的面积，涉及的知识点较多，需熟练掌握．
23.【答案】5− 5
【解析】解：(1)把m=1，x=1代入方程得1+2−n2+5=0，
解得n=±2 2，
即n的值为±2 2；
(2)①根据题意得△=4m2−4(−n2+5)=0，
整理得m2+n2=5；
②∵OH=|m|，PH=|n|，
∴OP= m2+n2= 5，
即点P在以O点为圆心， 5为半径的圆上，
∴原点与点(3,4)的连线与⊙O的交点P使点P到点(3,4)的距离最小，
∵原点到点(3,4)的距离为 32+42=5，
∴点P到点(3,4)的距离最小值是5− 5．
故答案为5− 5．
(1)把m=1，x=1代入方程得1+2−n2+5=0，然后解关于n的方程即可；
(2)①利用判别式的意义得到△=4m2−4(−n2+5)=0，从而得到m与n的关系；
②利用勾股定理得到OP= m2+n2= 5，则点P在以O点为圆心， 5为半径的圆上，然后根据点与圆的位置关系判断点P到点(3,4)的距离最小值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了点与圆的位置关系．
24.【答案】解：(1)如图，连接OT，
∵CT为⊙O的切线，
∴OT⊥CT，
∵TC⊥AC，
∴OT//AC，
∴∠DAT=∠OTA，
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
∴∠DAT=∠OAT=12∠DAB=25°，
∵TC⊥AC，
∴∠ACT=90°，
∴∠ATC=90°−25°=65°；
(2)过点O作OE⊥AD于点E，则E为AD的中点，
∵TC⊥AC，OT⊥CT，
∴四边形OECT是矩形，
∴OE=CT=3，
∵OA=5，
∴在Rt△AOE中，AE= OA2−OE2=4，
∴AD=2AE=8．
【解析】(1)连接OT，根据切线的性质可得OT⊥CT，结合已知条件即可求出∠ATC的度数；
(2)过点O作OE⊥AD于点E，则E为AD的中点，由TC⊥AC，OT⊥CT，可得四边形OECT是矩形，得OE=CT=3，再根据勾股定理即可求出AD的长．
本题考查了切线的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
25.【答案】解：(1)∵∠AEC=30°，
∴∠ABC=30°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABC=30°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，
连接OA，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC=30°，
∴∠OAD=∠BAD−∠OAB=90°，
∴OA⊥AD，
∵点A在⊙O上，
∴直线AD是⊙O的切线；
(2)连接OA，如图，
∵∠AEC=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAE=30°，
∴2OM=OA，即OM=2，
∵BC⊥AE于M，
∴AE=2AM，∠OMA=90°，
在Rt△AOM中，
AM= OA2−OM2=2 3，
∴AE=2AM=4 3．
【解析】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，三角形内角和定理，圆周角定理等知识．
(1)先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，得出∠OAD=90°，结论得证；
(2)先求出∠AOC=60°，用勾股定理求出AM，再用垂径定理即可得出结论．
26.【答案】解：如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB=90°．
∵∠ABC=30°，
∴2QE=QB．
∴S△PQB=12⋅PB⋅QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB=(6−t)cm，QB=2t(cm)，QE=t(cm)．
根据题意，12⋅(6−t)⋅t=4．
t2−6t+8=0．
t1=2，t2=4．
当t=4时，2t=8，8>7，不合题意舍去，取t=2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【解析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面积为12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题．
27.【答案】解：问题1：设售价为x元/千克，
125−5×x−，
125−5x−，
5x−，
5x−12.5=2，
5x=17.5，
x=3.5，
则获利：(3.5−2)×105=157.5(元)，
答：某天超市正好销售105千克的青菜，则获利157.5元；
问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利100元，
(x−2)(125−5×x−2.50.1)=100，
(x−2)(250−50x)=100，
50x2−350x+600=100，
x2−7x+12=0，
(x−3)(x−4)=0，
x1=3，x2=4，
答：若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克．
【解析】问题1：设售价为x元/千克，125−5×y−，计算得x=3.5即可得；
问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利100元，(x−2)(125−5×x−2.50.1)=100，计算得x1=3，x2=4，即可得．
本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
28.【答案】(1)证明：∵点A关于BD的对称点为A′，
∴AE=A′E，AA′⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
∴OE//A′C，
∴AA′⊥CA′；
(2)①证明：如图2，
设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，
∴OF⊥CD，OF=OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=12BD，AB//CD，AC=BD，OA=12AC，
∴OG⊥AB，∠FDO=∠BOG，OA=OB，
∴∠GAO=∠GBO，
∵∠DOF=∠BOG，
∴△DOF≌△BOG(ASA)，
∴OG=OF，
∴OG=OE，
由(1)知：AA′⊥BD，
∴∠EAO=∠GAO，
∵∠EAB+∠GBO=90°，
∴∠EAO+∠GAO+∠GBO=90°，
∴3∠EAO=90°，
∴∠EAO=30°，
由(1)知：AA′⊥CA′，
∴tan∠EAO=CA′AA′，
∴tan30°=CA′AA′，
∴AA′= 3CA′；
②解：如图3，
设⊙O切CA′于点H，连接OH，
∴OH⊥CA′，
由(1)知：AA′⊥CA′，AA′⊥CA′，OA=OC，
∴OH//AA′，OE//CA′，
∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，
∴OHAA′=OCAC=12,OECA′=OAAC=12，
∴AA′=2OH，CA′=2OE，
∴AA′=CA′，
∴∠A′AC=∠A′CA=45°，
∴∠AOE=∠ACA′=45°，
∴AE=OE，OD=OA= 2AE，
设AE=OE=x，则OD=OA= 2x，
∴DE=OD−OE=( 2−1)x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
x2+[( 2−1)x]2=1，
∴x2=2+ 24，
∴S⊙O=π⋅OE2=2+ 24⋅π．
【解析】(1)根据轴对称的性质可得AE=A′E，AA′⊥BD，根据四边形ABCD是矩形，得出OA=OC，从而OE//A′C，从而得出AA′⊥CA′；
(2)①设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，可证得OG=OF=OE，从而得出∠EAO=∠GAO=∠GBO，进而得出∠EAO=30°，从而AA′= 3CA′；
②设⊙O切CA′于点H，连接OH，可推出AA′=2OH，CA′=2OE，从而AA′=CA′，进而得出∠A′AC=∠A′CA=45°，∠AOE=∠ACA′=45°，从而得出AE=OE，OD=OA= 2AE，设OA=OE=x，则OD=OA= 2x，在Rt△ADE中，由勾股定理得出x2+[( 2−1)x]2=1，从而求得x2=2+ 24，进而得出⊙O的面积．
本题考查了圆的切线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．嘉海学校社会实践记录表
团队名称
遇数临风
活动时间
班级人员
802王嘉、马俊、张宁
地点
城南蔬菜超市
实践内容
调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠．
调研信息
青菜的进价为2元/千克．
青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克．
每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克．
解决问题
问题1
某天超市正好销售105千克的青菜，则获利多少元？
问题2
若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？
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