江苏省无锡市江阴市高新实验中学2024—2025学年上学期九年级10月月考数学试卷

这是一份江苏省无锡市江阴市高新实验中学2024—2025学年上学期九年级10月月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为( )
A. 点在圆内B. 点在圆外C. 点在圆上D. 不能确定
3.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
4.如图，直线，两直线AC和DF与，，分别相交于点A，B，C和点D，E，下列各式中，不一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，：：25，则DF：BF为( )
A. 2：5B. 2：3C. 3：5D. 3：2
6.下列说法正确的是( )
A. 有一个角是两个等腰三角形一定相似B. 两个矩形一定相似
C. 等弧所对的圆心角相等D. 相等的圆心角所对的弧相等
7.如图，AB是的直径，弦于点E，，，则半径为( )
A. 2
B. 3
C. 5
D. 8
8.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A. B.
C. D.
9.我国古代数学家赵爽公元世纪在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程正根的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是( )
A. B. C. D.
10.如图，，，点D在边BC上与B、C不重合，四边形ADEF为正方形，过点F作，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①； ②：：2；
③； ④，
其中正确的结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若，则的值为______.
12.在比例尺为1：80000的上海市城区地图上，量得中山北路的长度约为25cm，那么它的实际长度约为______
13.若是关于x的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是______.
14.已知点C为线段AB的黄金分割点，若，则AB的长为______
15.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知，，测得米，米，米，那么该古城墙的高度CD是______米．
16.如图，点A，B，C在上，，，则__________度．
17.如图，在中，，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE，若，则DE的长为______.
18.如图，中，，CD是的高，，，则______；若以点 C为圆心，半径为2作，点E是上一动点，连接AE，点F是AE的中点，则线段DF的最小值是______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
解方程：
；
配方法；
公式法；
20.本小题8分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，
以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为2：1；
画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标.
21.本小题8分
如图，D是的边AC上的一点，连接BD，已知，，，
证明∽；
求线段CD的长．
22.本小题8分
已知关于x的方程，问：
求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
若该方程的两个根为，，且满足，求a的值.
23.本小题8分
如图，在中，，于点D，于点
求证：；
若，，求四边形DOEC的面积．
24.本小题8分
如图，已知AB为的直径，CD是的弦，AB、CD的延长线交于点E，
且
若，求的度数；
若的度数是的度数的m倍，则______.
25.本小题8分
如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
26.本小题8分
一商店销售某种商品，规定：不超过60件，每件售价120元.如果购买商品件数超过60件，每增加一件，所售出的商品每件售价均降低元，但每件商品价格不得少于100元.
若购买商品63件，则每件商品的价格为______元；
若小明在此商店购买该商品共支付8800元，请问小明共买了多少件商品？
27.本小题8分
如图，在矩形ABCD中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD方向运动.点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒
用含t的代数式表示线段CP的长；
当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值；
若点M为DQ的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与相似时t的值；
直接写出点B关于直线AP的对称点落在边上时t的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：中含有两个未知数，是二元二次方程，故本选项不符合题意；
B.中含有两个未知数，是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C.符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D.是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】B
【解析】解：、，
，
则点P在外，
故选：
根据题意得的半径为4，则点P到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在外．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内
3.【答案】B
【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
，
故选：
利用根的判别式进行求解即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，根据根的判别式即可求出k的取值范围，掌握根的判别式与一元二次方程解的情况是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：直线，
，，，
、B、D选项中的等式成立，C选项中的等式不一定成立．
故选
根据平行线分线段成比例的性质，逐项分析推出正确的比例式，运用排除法即可找到正确的选项．
本题主要考查平行线分线段成比例的性质．
5.【答案】A
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
；
，
∽，
，
，
故选：
由平行四边形的性质得，从而易得∽，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，求得相似比，进而求得结果．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是利用相似三角形的判定与性质．
6.【答案】C
【解析】解：A：的角可以是顶角，也可以是底角，故有一个角是两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意；
B：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形，由于两个矩形的长和宽不一定成比例，因此两个矩形不一定相似，故B不符合题意；
C：等弧所对的圆心角相等，故C符合题意；
D：在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．但是，如果这两个圆心角位于不同的圆，且圆的半径不同，那么它们所对的弧长一定不相等，故D不符合题意；
故选：
根据相似多边形的概念，圆中弧、弦、角等的关系，逐一判断即可解答．
本题考查了相似多边形的概念，圆中弧、弦、角等的关系，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设半径为R，则，，
，，AB过圆心O，
，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即的半径为5，
故选：
设半径为R，则，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，代入求出答案即可．
本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
主要考查由实际问题抽象出一元二次方程增长率问题，一般增长后的量=增长前的量增长率，如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】
解：依题意得五、六月份的产量为、，
故选：
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程的应用，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
【解答】
解：方程，即的拼图如图所示；
中间小正方形的边长为，其面积为25，
大正方形的面积：，其边长为7，
因此，D选项所表示的图形符合题意，
故选：
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的面积，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
由正方形的性质得出，，证出，由AAS证明≌，得出，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出∽，得出对应边成比例，得出，④正确．
【解答】
解：四边形ADEF为正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，①正确；
，
，
，，
，
，，
四边形CBFG是平行四边形，
又，
四边形CBFG是矩形，
，，②正确；
，，
，③正确；
易证，
，，
∽，
，
，④正确；
故选
11.【答案】53
【解析】解：，
，
，
故答案为：
先根据题意得到，然后代入约分
本题考查比例的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
12.【答案】20
【解析】解：设实际长度为x km，
根据题意得25：：80000，
解得
故答案为
实际长度为x km，利用比例尺的定义得到25：：80000，然后利用比例性质求出
本题考查了比例线段：理解比例尺的定义，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：关于x的一元二次方程的一个根是1，则符合条件的一个一元二次方程可以是：，
整理得：
故答案为：答案不唯一
直接利用一元二次方程的解得出符合题意的一个方程即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握一元二次方程解是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：为线段AB的黄金分割点，
，即，
故答案为：
利用黄金比列出方程解答即可．
本题考查了黄金分割点的应用，正确应用黄金比是解题关键．
15.【答案】8
【解析】解：由题意可得，
，，
，
在和中，
，
∽，
，
，，，
，
即，
故答案为
先证明∽，可得，再代入相应数据可得答案．
本题主要考查相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．
16.【答案】60
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．连接OA，根据等腰三角形的性质得到，结合条件得，根据等腰三角形的性质即可得到
【解析】
解：如图，连接OA，
，
，
，
，
，
故答案为
17.【答案】
【解析】解：，BD、CE分别是AC、AB边上的高，
，
，，
由勾股定理得：，；
，
，
∽，
，
，
故答案为：
由题意知，则，，，，从而可得∽，由相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，CD是的高，
，，
；
如图，连接BE，CE，
点F是AE的中点，点D是AB中点，
是的中位线，
，
当E、C、B三点共线，且E点在线段BC上时，线段BE的长最小，线段DF的长取得最小值，
又因为，
所以DF最小值为
故答案为：5；
由等腰三角形的性质得，，由勾股定理即可求得BC的长度；连接BE，CE，则，当BE最小时，DF最小，此时E点在线段BC上时，BE最小，从而DF最小，最后求得最小值即可．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，圆外一点与圆上点的最值等知识，构造辅助线，运用中位线定理是解题的关键．
19.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
、、，
，
，
，
，
，
，
或，
，
【解析】利用直接开平方法解方程即可；
利用配方法的步骤：“移除配开方”解方程即可；
找出方程中的a、b、c，计算出的值，再利用求根公式解方程即可；
先移项将方程变形成，再通过提公因式法解方程即可．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
20.【答案】解：如图，即为所作图形；
如图，即为所作图形；
和是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为
【解析】根据位似变换的性质找出对应点即可求解；
根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
根据位似中心的性质可得答案．
本题主要考查了作图-位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．
21.【答案】证明：，，
∽；
∽，
，即，
解得：
【解析】根据已知角相等，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
由相似得比例，求出所求即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
22.【答案】证明：关于x的方程，
，
，
，即，
不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
方程的两个根为，，
，，
，
，
即，
整理得：，
解得或
【解析】先计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断；
由根与系数的关系得：，，把变形为，然后整体代入得到关于a的方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握这两个知识点是关键．
23.【答案】证明：如图，连接OC，
，
，
又，，
；
解：，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
同理可得，，

【解析】连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，根据角平分线的性质定理证明结论；
根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
24.【答案】3
【解析】解：连接OD，
，
，
，
，
，
，
，
；
，，
，
弧AC是弧BD的3倍，
故答案为：
连接OD，得到，根据等腰三角形的性质得，则利用三角形外角性质可计算出，根据等边对等角得出，然后再根据三角形外角性质可计算出的度数；
因为，，所以，即可知道
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，掌握与圆有关的概念是解题的关键．
25.【答案】解：过C作于E，
，，
，
四边形CDBE为矩形，
，，
设，
，
解得：，
旗杆的高米．
【解析】过C作于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得，，设，则，求出x即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】
【解析】解：由题意得：元，
故答案为：；
设小明共买了x件商品，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：小明共买了80件商品．
根据题意列式计算即可；
设小明共买了x件商品，根据小明在此商店购买该商品共支付8800元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27.【答案】解：由题意得，，，，
四边形ABCD是矩形，
，
当点P与点C重合时，则，
解得，
当点Q与点D重合时，则，
当点Q到达点D时，两点同时停止运动，
当时，，
当时，
当时，如图1，，则∽，
，
，
解得；
当时，如图2，，则，
，
，
∽，
，
，
解得，
综上所述，t的值为或
点M为DQ的中点，，
，
，
当，∽，且时，如图3，
则，
，
解得；
当，∽，且时，如图4，
则，
，
解得；
当，∽，且时，如图5，
则，
，
解得；
当，∽，且时，如图6，
则，
，
解得，不符合题意，舍去，
综上所述，t的值为或或
当点落在CD上时，如图7，
，，，
，
，
，
，
解得，
当点落在AC上时，如图8，
，，，
，
，，，
≌，
，
，
，
∽，
，
，
解得；
综上，点B关于直线AP的对称点落在边上时t的值为或
【解析】由题意得，，则当时，；当时，；
分两种情况讨论，一是当时，，则∽，所以，求得；二是当时，，则，可证明∽，则，求得；
由点M为DQ的中点，求得，再分四种情况讨论，一是当，∽，且时，则；二是当，∽，且时，则；三是当，∽，且时，则；四是当，∽，且时，则，解方程求出相应的符合题意的t值即可；
当点落在CD上时，由勾股定理求得，则，于是得，求得
此题重点考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握数形结合与分类讨论思想．