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猜想03 位置坐标与一次函数（易错必刷40题12种题型）-八年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版）
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这是一份猜想03 位置坐标与一次函数（易错必刷40题12种题型）-八年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版），文件包含猜想03位置坐标与一次函数易错必刷40题12种题型原卷版docx、猜想03位置坐标与一次函数易错必刷40题12种题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
题型一：直角坐标系
题型二：点坐标规律探索
题型三：坐标表示的简单应用
题型四：函数的基础知识
题型五：正比例函数的定义 图像和性质
题型六：一次函数的图像问题
题型七：一次函数的性质问题
题型八：一次函数与一元一次方程
题型九：一次函数和一元一次不等式
题型十：一次函数和二元一次方程组
题型十一：一次函数的实际应用
题型十二：一次函数和几何的交汇问题
【题型通关】
题型一：直角坐标系
1．（2023下·河北保定·八年级统考期末）将点向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，则平移后的点所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化—平移以及各象限内点的特征，根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．关键是掌握点的坐标的变化规律．
【详解】解：点向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，是，
即，在第二象限，
故选：B．
2．（2023上·安徽芜湖·八年级统考期末）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机所在直线为轴、队形的对称轴为轴，建立平面直角坐标系．若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．
【详解】解：飞机与飞机关于轴对称，
飞机的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
3．（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，将各顶点横坐标不变，纵坐标都乘以后，得到，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据点的位置得到点A的坐标，再将A点横坐标不变，纵坐标乘以即可得到点的坐标．
【详解】解：由图可知，，
∴点的坐标为．
故选：B．
题型二：点坐标规律探索
4．（2023下·湖南常德·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别计算出，，，，的坐标，找出规律，即可求得答案．
【详解】解：∵点的坐标为，点的伴随点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的坐标周期变化，周期为4，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查点坐标和规律探索，解题的关键是找出坐标变化的规律．
5．（2023上·河南郑州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，（图中的三角形都是等边三角形），一个点从原点O出发，沿折线移动，每次移动1个单位长度，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过作轴，垂足为B，求出，，求出前若干个点的坐标，找到规律点的每运动6次循环一次，每循环一次向右移动4个单位，每个周期内点的横坐标变化为：，纵坐标依次为，计算出2023与6的商和余数，据此得到结果．
【详解】解：∵图中的三角形都是等边三角形，边长为1，
如图，过作轴，垂足为B，
则，
∴，
∴点的坐标为：；
点的坐标为：；
点的坐标为：；
点的坐标为：；
点的坐标为：；
点的坐标为：；
…
分析图象可以发现，点的每运动6次循环一次，每循环一次向右移动4个单位，
每个周期内点的横坐标变化为：，
纵坐标依次为，
，
∴点的坐标为，即，
故选B．
6．（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在x轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，点的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，得到点的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再依次类推得到点的坐标．
【详解】解：，
点的坐标为，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
同理可得：，，…，
，
即点的横坐标是，
故选B．
题型三：坐标表示的简单应用
7．（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）如图是象棋棋盘的一部分，若“相”位于点上，“帅”位于点上，则“兵”的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据“帅”的坐标，向下1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出“兵”的坐标即可．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图，
“兵”所在的点的坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，准确确定出坐标原点的位置是解题的关键．
8．（2023下·河北承德·八年级统考期末）如图，以学校为参照点，对小明家位置的描述最准确的是（ ）
A．距离学校1200米处B．西南方向上的1200米处
C．南偏西65°方向上的1200米处D．南偏西25°方向上的1200米处
【答案】C
【分析】利用方位角求出的度数，由此得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵米，
∴小明家在学校南偏西方向上的1200米处，
故选：C．
【点睛】此题考查了方位角的计算，用方位角和距离确定物体的位置，正确理解角度的计算是解题的关键．
9．（2022上·河南郑州·八年级校考期末）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼的位置，表示旗杆的位置，则实验楼的位置可表示成（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【详解】解：如图所示，
实验楼的位置可表示成．
故选A．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
题型四：函数的基础知识
10．（2016上·山东泰安·七年级统考期末）下列四个图像中，不表示是的某一函数图像的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可．
【详解】解：如图，D选项中的图象，对每一个确定的的值，有两个值与之对应，所以不是函数图象；
ABC选项中的图象，对每一个确定的的值，都有唯一确定的值与之对应，所以是函数图象，
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的概念，注意掌握函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．
11．（2023下·河北保定·八年级统考期末）小明去帮妈妈买菜，从家中出发走分钟到一个离家米的菜市场，买菜花了分钟，之后用分钟返回家里，下面图形表示小明离家距离（米）与外出时间（分钟）之间关系图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数的图象，按时间可将图象分为三段：分钟，小明离家距离从增加到米；分钟，小明离家距离没有变化；分钟，小明离家距离从米减少为；据此即可选择，正确理解题意和函数图象横纵坐标的意义是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得： 从家中走分钟到一个离家米的菜市场，即分钟，小明离家距离从增加到米；买菜花了分钟，即分钟，小明离家距离没有变化；之后用分钟返回家里，即分钟，小明离家距离从米减少为，
故选：．
12．（2023下·河南商丘·八年级校联考期末）如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图象，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点D作于E， 根据菱形的性质可得，，由此根据图2可知，，由此求出，由图2可知，利用勾股定理得到，则，再由勾股定理建立方程，解之即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵四边形是菱形，
∴，
∴当点P在上运动时，的面积不随时间的变化而变化，
∴由图2的函数图象可知，，
∴，即，
∴，
由图2的函数图象可知，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
故选D．
【点睛】本题综合考查了菱形的性质和动点问题的函数图象，勾股定理，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
题型五：正比例函数的定义 图像和性质
13．（2023下·青海西宁·八年级统考期末）关于正比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．B．图象必经过点
C．图象不经过原点D．y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据正比例函数的性质直接解答即可．
【详解】解：A．正比例函数的，故选项错误，不符合题意；
B．将代入解析式得，，故本选项错误，不合题意；
C．正比例函数的图象过原点，故本选项错误，不合题意；
D．由于函数图象过二、四象限，则函数值y随x的增大而减小，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟悉函数的图象及系数与图象的关系是解题的关键．
14．（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）点和都在正比例函数 (,且k为常数)的图象上,若,则k的值可能是( )
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】由, ,利用正比例函数的性质可得出,即可得出结论．
【详解】解：∵,,
即y随x的增大而减小,
∴,
∴k值可以为．
故选：B．
【点睛】本题考查正比例函数图象的增减性，掌握正比例函数图象的性质是解题的关键．
15．（2021上·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期中）一次函数与（m、n为常数，且）在同一平面直角坐标内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：当，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，正比例函数的图象经过第一、三象限，无符合条件选项；
当，时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，正比例函数的图象经过第二、四象限，无符合条件选项；
当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，正比例函数的图象经过第一、三象限，无符合条件选项；
当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，正比例函数的图象经过第二、四象限，A选项符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
题型六：一次函数的图像问题
16．（2023下·河北保定·八年级统考期末）在一次函数中，的值随值的增大而增大，且，则直线与轴交于（ ）
A．正半轴B．负半轴C．原点D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据的值随值的增大而增大，得到，又由得到，从而得到，即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵的值随值的增大而增大，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线与轴交于正半轴，
故选：．
17．（2020上·广东深圳·八年级统考期末）两条直线与在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的中的的符号，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：根据一次函数的图象与性质分析如下：
A．由图象可知，；由图象可知，，A错误；
B．由图象可知，；由图象可知，，B正确；
C．由图象可知，；由图象可知，，C错误；
D．由图象可知，；由图象可知，，D错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
18．（2023下·云南红河·八年级统考期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中）的图像分别为直线和直线，则一次函数的图像经过（ ）．
A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限
【答案】A
【分析】根据图像所过象限，结合一次函数性质判断，，，与0的关系，然后得出，与0的关系，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
∵一次函数与的图像都过一三象限，
∴，，
∵直线过第二象限，直线过第四象限，
∴，，且，
∴，，
∴的图象经过一、二、三象限，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，一次函数，当直线经过一、三象限，当直线经过二、四象限，当直线与y轴正半轴有交点，直线与y轴负半轴有交点．
19．（2023下·辽宁铁岭·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴交于A，B两点，以为底边在y轴的右侧作等腰，将沿y轴折叠，使点C恰好落在直线上，则C点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求点的坐标，根据“以为底边在y轴的右侧作等腰”可求C点的纵坐标，进而可求C点的对应点坐标为，即可求解．
【详解】解：由题意得：点的坐标为：
∵以为底边在y轴的右侧作等腰
∴C点的纵坐标为
将沿y轴折叠后，C点的对应点纵坐标也为
∵点C恰好落在直线上
∴，
即C点的对应点坐标为
则C点的坐标为
故选：A
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点、等腰三角形的性质等．掌握相关结论即可．
题型七：一次函数的性质问题
20．（2022下·陕西汉中·八年级统考期末）已知直线：与x轴交于点，直线与直线关于y轴对称，则关于直线，下列说法正确的是（ ）
A．y的值随着x的增大而减小B．函数图象经过第二、三、四象限
C．函数图象与x轴的交点坐标为D．函数图象与y轴的交点坐标为
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质求得直线经过点，直线：与x轴交于点，求得，即直线：，从而求得直线为，利用一次函数的性质和图象上点的坐标特征判断即可．
【详解】解：∵直线：与x轴交于点，
，
解得：，即直线：，
直线与直线关于y轴对称，
∴直线经过点，故C错误；
∴直线为，
，
∴y的值随着x的增大而增大，故A错误；
∵y的值随着x的增大而增大，
∴函数图象不经过第四象限，故B错误；
令，则，
∴函数图象与y轴的交点坐标为，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
21．（2023下·山东聊城·八年级统考期末）已知， 为直线上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将两个点代入直线方程整理判断即可．
【详解】解：将A、B两点坐标分别代入直线方程，得，，则．
．
∵A、B两点不相同，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，比较简单，分别代入计算整理即可．
22．（2023上·四川成都·八年级统考期末）关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过第二象限
B．图象与轴的交点是
C．将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为
D．点和在一次函数的图象上，若，则
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象与性质，逐项判断即可作答．
【详解】A．，，一次函数图象经过第一、二、四象限，故本项原说法错误；
B．图象与轴的交点是，故本项原说法错误；
C．将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为，故本项说法正确；
D.点和在一次函数的图象上，若，则，故本项原说法错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键．
题型八：一次函数与一元一次方程
23．（2023下·河南商丘·八年级统考期末）如图，直线和直线相交于点，根据图像可知，关于的方程的解是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】∵直线和直线相交于点，
∴的解是：，
故选：．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解就是已知两条直线交点的横坐标的值．
24．（2023下·河北衡水·八年级统考期末）一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．一次函数的图象经过第一、二、四象限
C．是方程的解
D．一次函数的图象与x轴交于点
【答案】D
【分析】根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由表格可得，
A、y随x的增大而减小，故选项A正确，不符合题意；
B、当时，，可知，y随x的增大而减小，可知，则该函数图象经过第一、二、四象限，故选项B正确，不符合题意；
C、时，，故方程的解是，故选项C正确，不符合题意；
D、∵点，在该函数图象上，
∴，解得，
∴，
当时，，得，
∴一次函数的图象与x轴交于点，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，解答本题的关键是利用一次函数的性质解答．
25．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．方程 的解是
C．当时，D．不等式 的解集是
【答案】C
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．
【详解】解：由函数的图象可知，
当时，，A选项错误，不符合题意；
方程 的解是，B选项错误，不符合题意；
当时，，故C正确，符合题意；
不等式 的解集是，故D错误，不符合题意．
故选：C．
题型九：一次函数和一元一次不等式
26．（2022下·陕西西安·八年级校考期末）如图，一次函数和的图象交于点A，不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对不等式进行变形可得，结合函数图象，求解即可．
【详解】解：由题意可得：点A横坐标为
不等式可化为：
在点A的左侧，满足
即不等式的解集为：
则不等式的解集为
故选：A
【点睛】此题考查了根据一次函数的交点求不等式的解集，解题的关键是掌握一次函数的有关性质．
27．（2023下·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期末）如图，已知直线与相交于点P，点P的坐标为，则关于x不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图象交点左侧直线图象在直线图象的下面，即可得出不等式的解集．
【详解】解：∵直线与相交于点P，点P的坐标为，
∴不等式的解集，即不等式的解集，为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与不等式，利用数形结合得出不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小．
28．（2023下·四川成都·八年级校考期末）如图，已知正比例函数与一次函数的图像交于点P.且点P的横坐标为，下面有四个结论：①；②；③当时，；④当时，.其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①④
【答案】D
【分析】根据图形的分布，与坐标轴的交点，运用数形结合思想解答即可．
【详解】∵正比例函数图像分布在第二、四象限，
∴，
故①正确；
∵一次函数的图像与y轴的正半轴相交，
∴，
故②错误；
当时，正比例函数图像分布在第四象限，
∴；
故③错误；
当时，，
故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了图像的分布与比例系数k的关系，图像与坐标轴的交点，一次函数与不等式的关系，熟练掌握图像分规律，一次函数与不等式的关系是解题的关键．
题型十：一次函数和二元一次方程组
29．（2023下·四川乐山·八年级统考期末）如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）
A．关于x的不等式的解集是
B．关于x的方程的解是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于x，y的方程组的解是
【答案】A
【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【详解】解：一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，
关于的不等式的解集是，选项A判断错误，符合题意；
关于的方程的解是，选项B判断正确，不符合题意；
当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．
30．（2023下·河南郑州·八年级期末）直线与直线相交于点，直线与x轴相交于，则①方程组的解是；②不等式的解集为；③不等式的解集为；④．以上说法正确的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】先求出的值，利用图象法解二元一次方程组和不等式，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵直线与直线相交于点，
∴，
∴，
∴；
∴方程组的解是；故①正确，
不等式的解集为；故②错误；
∵直线与x轴相交于，且随的增大而减小，
∴不等式的解集为，故③错误；
∵过，，
∴，解得：，
∴；故④错误；
故选A．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式．熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
31．（2023下·山东聊城·八年级统考期末）已知直线：与直线都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接，有以下说法：
①方程组的解为；
②直线：的；
③；
④当的值最小时，点P的坐标为．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】B
【分析】①根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；②利用待定系数法求得k的值；③求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；④根据轴对称的性质以及两点之间线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为．
【详解】解：①∵直线与直线都经过，
∴方程组的解为，故①正确，符合题意；
②把，代入直线，可得，解得，
∴故②正确，符合题意；
③把代入直线，可得，
中，令，则，
∴，
∴，
在直线中，令，则，
∴，
∴，
∴，故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为，连接，
由点C、的坐标得，直线的表达式为：，
由对称知，,,
当点共线，即点P位于点D处时，,最小，
∴当的值最小时，点P的坐标为，故④正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，运用轴对称知识作线段的等量转换是解题的关键．
题型十一：一次函数的实际应用
32．（2023下·河北保定·八年级统考期末）电动平衡车运动灵活，转向稳定，纯电力驱动，零排放，环保无污染，是新型的短途出行工具．某网络销售平台销售A，B两种纯电动平衡车共60台，两种平衡车的进价和售价如下表．
设该网络平台购进A型平衡车x台，这60台平衡车可获总利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若A型平衡车的购进数量不超过B型平衡车购进数量的3倍，应如何安排进货，才能使售完这批平衡车后获利最大，并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)购进A型平衡车45个，购进B型平衡车15个时，销售完获利最大，最大利润为31500元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用．
（1）设该工艺品店购进A型平衡车个，则购进B型平衡车个，根据总利润A型平衡车获得的利润B型平衡车获得的利润，即可求出与之间的函数关系式；
（2）根据A型平衡车的进货数量不超过B型平衡车进货数量的3倍，列出不等式，求出的范围，再利用一次函数的性质，即可求得最大利润．
【详解】（1）解：设该工艺品店购进A型平衡车个，则购进B型平衡车个，
由题意得：
，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：设该工艺品店购进A型平衡车个，则购进B型平衡车个，
由题意得，，
解得，，
由（1）知，，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，，
此时，
∴购进A型平衡车45个，购进B型平衡车15个时，销售完获利最大，最大利润为31500元．
33．（2022下·贵州六盘水·八年级统考期末）中国科技发展日新月异，有些电子产品会随着科技发展而降价，某电脑经销店2022年开始销售A款电脑，第一季度售价为万元/台，利润为4万元；第二季度售价为万元/台，利润为3万元．
(1)如果两个季度销售A款电脑的数最相同，则A款电脑的进价为多少万元？
(2)为增加收入，电脑经销店决定再经销B款电脑，若B款电脑的进价为万元/台，经销店预计用不多于万元且不少于万元的资金购进两种电脑共台，有几种进货方案？
(3)如果两种电脑的进价不变，A款电脑的售价为万元/台，B款电脑的售价为万元/台，为了打开B款电脑的销路，经销店决定每一台B款电脑降价a万元销售，要使（2）中的所有方案获利相同，a值应是多少？
【答案】(1)
(2)7种
(3)万元
【分析】（1）设A款电脑的进价为x万元，利用销售数量销售总利润每台A款电脑的销售利润，结合两个季度销售A款电脑的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设购进A款电脑y台，则购进B款电脑台，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不多于10万元且不少于9万元，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出电脑经销店共有7种进货方案；
（3）设购进的25台电脑全部售出后获得的总利润为W万元，利用总利润每台电脑的销售利润销售数量（购进数量），可得出W关于y的函数关系式，结合（2）中的所有方案获利相同，可得出W与y值无关，即，解之即可得出a的值．
【详解】（1）解析：设A款电脑的进货价为x元，根据題意得
解之得：
经检验是原方程的根，
答：A款电脑的进货价为万元；
（2）解：设购进A款电脑y台，则购进B款电脑台，根据题意得
，
解得，
y可以取10，11，12，13，14，15，16；
购进A款电脑有7种方案，
方案共有7种；
（3）解：设总利润为W万元，根据题意得
当万元时，上述（2）中所有方案的获利相同．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确找出函数关系式．
34．（2022下·黑龙江绥化·八年级校考期末）王大爷带上自己种的萝卜进城出售，为了找钱方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些，见天色已晚，就降价售完．售出的萝卜千克数x与他手中持有的钱数（含备用零钱）y的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
(1)降价前王大爷卖了多少钱?
(2)试求降价前y与x之间的关系式；
(3)降价后他按每千克元将剩余萝卜售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是元，试问他一共带了多少千克萝卜?
【答案】(1)降价前王大爷卖了元；
(2)
(3)一共带了千克萝卜
【分析】（1）根据题意直接计算即可得；
（2）设降价前y与x之间的关系式为，由图知图象过，，则，进行计算即可得；
（3）先算出降价前卖的钱数，再求出降价卖的萝卜，即可得．
【详解】（1）解：（元），
答：降价前王大爷卖了元；
（2）解：设降价前y与x之间的关系式为，
由图知图象过，，
解得
所以降价前y与x之间的关系式为；
（3）解：（元），
（千克），
（千克），
答：一共带了千克萝卜．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图象与性质．
35．（2022下·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司对A、B两校进行校园绿化．已知A校有3600平方米空地需铺设草坪，B校有2400平方米空地需铺设草坪．在甲、乙两地分别有同种草皮3500平方米和2500平方米出售，且售价一样．若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下：
(1)设甲地运往A校的草皮为x平方米，总运费为y元，写出y与x的函数关系式；
(2)请你设计一种运费最少的方案，并说明最少费用是多少？
【答案】(1)
(2)当甲往A校运1100平方米，往B校运2400平方米，乙往A校运2500平方米，不往B校运草皮时运输费用最少，最少费用为14400元
【分析】（1）根据总运费A校的费用+B校的费用求解即可；
（2）根据题意列出不等式组，求得，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）
（2）根据题意可得，
∴
∵，，
∴y随x增大而增大，
∴当时，y最小，此时．
答：当甲往A校运1100平方米，往B校运2400平方米，乙往A校运2500平方米，不往B校运草皮时运输费用最少，最少费用为14400元．
题型十二：一次函数和几何的交汇问题
36．（2022下·云南红河·八年级统考期末）如图，直线的解析式为，且与x轴交于点D，直线经过定点，直线与交于点C．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使得以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，，，见解析
【分析】（1）利用待定系数法求直线解析式即可；
（2）先求出点坐标，再联立两直线解析式求出交点的坐标，进一步求出的面积；
（3）分情况讨论，根据平移的性质求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
代入，
得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：令，
解得，
，
，
联立，
解得，
，
；
（3）解：平面直角坐标系内存在一点P，使得以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形．
，
①四边形是平行四边形，
，
根据平移的性质，可得点，
②四边形是平行四边形，
，
根据平移的性质，可得点，
③四边形是平行四边形，
，
根据平移的性质，可得点，
综上所述，满足条件的点，，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形的存在性问题，一次函数交点问题，熟练掌握待定系数法求解析式和一次函数图像上点的坐标特征是解题的关键．
37．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且．
(1)分别求出直线和直线解析式；
(2)在直线上是否存在一点P，使，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)若E为平面内右侧的一点，且为等腰直角三角形，请求出点E的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为
(2)点P的坐标为或
(3)点E的坐标为：或或
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标为，点D的坐标为，求出，分两种情况：当点P在、D之间时，当点P在点上面时，分别求出点P的坐标即可；
（3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵，
∴点B的坐标为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：把代入得：，
∴点C的坐标为，
联立，
解得：，
∴点D的坐标为，
∵，，
，
设点P的坐标为，
当点P在、D之间时，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为；
当点P在点上面时，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为；
综上分析可知，点P的坐标为或．
（3）解：∵，，
∴；，
当时，，
∴，，
∴轴，
∴此时点；
当时，，
∴，，
∴轴，
∴此时点；
当时，，
∴，，
∴轴，
∴此时点；
综上分析可知，点E的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
38．（2022下·湖南张家界·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D．连接、．
(1)求直线的解析式；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)点P为直线上一点，连接、，当，求此时点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)证明详见解析；
(3)或．
【分析】本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握待定系数求函数解析式，会求函数与坐标轴的交点，会求点所围成的三角形面积．
（1）将代入即可求解；
（2）先求出A、D的坐标，然后证明，，即可得证；
（3）根据可得点P到的距离是点C到距离的2倍，设将直线向上平移个单位得到直线，则可求直线的解析式为，然后把直线向上或向下平移个单位得到直线、，求出、解析式，最后分别求出、与的交点即可．
【详解】（1）解：将代入，得
∴，
∴直线的解析式为．
（2）解：当时，，
解得，即点，
∴．
∵平行于x轴，则点D的纵坐标为4，
∴将代入y=，得，
解得．
∴点，．
∴．
∴，且．
∴四边形是平行四边形．
（3）解：∵与的底都是，
∴当时，则点P到的距离是点C到距离的2倍，
如图2，设将直线向上平移个单位得到直线，使得直线经过点C，
∴直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴．
∵点P到的距离是点C到距离的2倍，
①将直线向上平移个单位得到直线，
∴直线的解析式为．
∴直线与直线的交点即为点P，
∴，解得，
∴点P的坐标为；
②将直线向下平移个单位得到直线，
∴直线的解析式为．
∴直线与直线的交点即为点P，
∴，解得，
∴点P的坐标为．
综上所述点P的坐标：或．
39．（2022下·广东佛山·八年级校考期末）如图，把矩形纸片放入直角坐标系中，使，分别落在轴，轴的正半轴上，连接，且，．
(1)求所在直线的解析式；
(2)将纸片折叠，使点与点重合（折痕为，求折叠后纸片重叠部分的面积；
(3)若过一定点的任意一条直线总能把矩形的面积分为相等的两部分，则定的坐标为 ．
【答案】(1)
(2)折叠后重叠部分的面积为10
(3)
【分析】（1）设，则，在中，根据勾股定理得到，则，解得，得到，，然后利用待定系数法确定直线的解析式；
（2）设，根据折叠的性质得，，则，再根据勾股定理得到，解得，即，接着利用得到，则，所以，然后根据三角形面积公式计算；
（3）先确定和点的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式；
（4）根据重心的性质得到经过矩形的对角线的交点的直线总能够把矩形的面积平均分为两部分，然后根据线段中点坐标公式求解．
【详解】（1）解：设，则，
在中，，
，解得，
，，
，，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得．
所在直线解析式为；
（2）设，
纸片折叠，使点与点重合（折痕为，
，，
，
在中，，
，解得，
即，
，
，
，
，
，
即折叠后重叠部分的面积为10；
（3）经过矩形的重心的直线总能够把矩形的面积平均分为两部分，而矩形的重心为对角线的交点，即线段的中点，
，，
线段的中点坐标为．
定点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】此题属于一次函数综合题，考查了折叠的性质，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，以及矩形的性质，熟练掌握待定系数法以及折叠的性质是解本题的关键．
40．（2022上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：向下平移4个单位长度得到直线，直线与x轴交于点B，与相交于点C．
(1)直线的解析式为________________；
(2)求点C的坐标；
(3)若点M为x轴上一动点，当的值最小时，求点M的坐标；
(4)在坐标平面内是否存在一点N，使以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)存在，点N的坐标为或或
【分析】（1）根据“左右平移，x左加右减；上下平移，b上加下减”即可求解；
（2）将直线与解析式联立，解二元一次方程组，即可得到点C的坐标；
（3）作点C关于x轴的对称点，根据轴对称的性质可得，当三点共线时，取最小值，求出直线与x轴的交点坐标即可；
（4）设点N的坐标为，分为对角线，为对角线，为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解．
【详解】（1）解：直线：向下平移4个单位长度得到直线：，
故答案为：；
（2）解：将直线与解析式联立，
得：，
解得，
点C的坐标为；
（3）解：如图，作点C关于x轴的对称点，则，
当三点共线时，等号成立，取最小值，最小值为的长度，如图：
由（2）知点C的坐标为，
，
直线：中，令，得，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
令，得，
解得，
点M的坐标为；
（4）解：存在，点N的坐标为或或．
理由如下：
直线：中，令，得，
解得，
点A的坐标为，
直线：中，令，得，
解得，
点B的坐标为．
设点N的坐标为，
如图，分三种情况：
当为对角线时，，
得，
解得，
点N的坐标为；
当为对角线时，，
得，
解得，
点N的坐标为；
当为对角线时，，
得，
解得，
点N的坐标为．
综上可知，点N的坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数图象的平移，求一次函数的解析式，两条直线的交点问题，平行四边形存在性问题，轴对称的性质等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
x
…
0
1
2
…
y
…
5
2
…
进价
售价
A型
1400
2000
B型
2100
2400
A校
B校
路程（千米）
运费单价（元）
路程（千米）
运费单价（元）
甲地
20
0.15
10
0.15
乙地
15
0.20
20
0.20
题型一：直角坐标系
题型二：点坐标规律探索
题型三：坐标表示的简单应用
题型四：函数的基础知识
题型五：正比例函数的定义 图像和性质
题型六：一次函数的图像问题
题型七：一次函数的性质问题
题型八：一次函数与一元一次方程
题型九：一次函数和一元一次不等式
题型十：一次函数和二元一次方程组
题型十一：一次函数的实际应用
题型十二：一次函数和几何的交汇问题
【题型通关】
题型一：直角坐标系
1．（2023下·河北保定·八年级统考期末）将点向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，则平移后的点所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化—平移以及各象限内点的特征，根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．关键是掌握点的坐标的变化规律．
【详解】解：点向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，是，
即，在第二象限，
故选：B．
2．（2023上·安徽芜湖·八年级统考期末）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机所在直线为轴、队形的对称轴为轴，建立平面直角坐标系．若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．
【详解】解：飞机与飞机关于轴对称，
飞机的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
3．（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，将各顶点横坐标不变，纵坐标都乘以后，得到，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据点的位置得到点A的坐标，再将A点横坐标不变，纵坐标乘以即可得到点的坐标．
【详解】解：由图可知，，
∴点的坐标为．
故选：B．
题型二：点坐标规律探索
4．（2023下·湖南常德·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别计算出，，，，的坐标，找出规律，即可求得答案．
【详解】解：∵点的坐标为，点的伴随点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的坐标周期变化，周期为4，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查点坐标和规律探索，解题的关键是找出坐标变化的规律．
5．（2023上·河南郑州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，（图中的三角形都是等边三角形），一个点从原点O出发，沿折线移动，每次移动1个单位长度，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过作轴，垂足为B，求出，，求出前若干个点的坐标，找到规律点的每运动6次循环一次，每循环一次向右移动4个单位，每个周期内点的横坐标变化为：，纵坐标依次为，计算出2023与6的商和余数，据此得到结果．
【详解】解：∵图中的三角形都是等边三角形，边长为1，
如图，过作轴，垂足为B，
则，
∴，
∴点的坐标为：；
点的坐标为：；
点的坐标为：；
点的坐标为：；
点的坐标为：；
点的坐标为：；
…
分析图象可以发现，点的每运动6次循环一次，每循环一次向右移动4个单位，
每个周期内点的横坐标变化为：，
纵坐标依次为，
，
∴点的坐标为，即，
故选B．
6．（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在x轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，点的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，得到点的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再依次类推得到点的坐标．
【详解】解：，
点的坐标为，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
同理可得：，，…，
，
即点的横坐标是，
故选B．
题型三：坐标表示的简单应用
7．（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）如图是象棋棋盘的一部分，若“相”位于点上，“帅”位于点上，则“兵”的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据“帅”的坐标，向下1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出“兵”的坐标即可．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图，
“兵”所在的点的坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，准确确定出坐标原点的位置是解题的关键．
8．（2023下·河北承德·八年级统考期末）如图，以学校为参照点，对小明家位置的描述最准确的是（ ）
A．距离学校1200米处B．西南方向上的1200米处
C．南偏西65°方向上的1200米处D．南偏西25°方向上的1200米处
【答案】C
【分析】利用方位角求出的度数，由此得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵米，
∴小明家在学校南偏西方向上的1200米处，
故选：C．
【点睛】此题考查了方位角的计算，用方位角和距离确定物体的位置，正确理解角度的计算是解题的关键．
9．（2022上·河南郑州·八年级校考期末）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼的位置，表示旗杆的位置，则实验楼的位置可表示成（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【详解】解：如图所示，
实验楼的位置可表示成．
故选A．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
题型四：函数的基础知识
10．（2016上·山东泰安·七年级统考期末）下列四个图像中，不表示是的某一函数图像的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可．
【详解】解：如图，D选项中的图象，对每一个确定的的值，有两个值与之对应，所以不是函数图象；
ABC选项中的图象，对每一个确定的的值，都有唯一确定的值与之对应，所以是函数图象，
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的概念，注意掌握函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．
11．（2023下·河北保定·八年级统考期末）小明去帮妈妈买菜，从家中出发走分钟到一个离家米的菜市场，买菜花了分钟，之后用分钟返回家里，下面图形表示小明离家距离（米）与外出时间（分钟）之间关系图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数的图象，按时间可将图象分为三段：分钟，小明离家距离从增加到米；分钟，小明离家距离没有变化；分钟，小明离家距离从米减少为；据此即可选择，正确理解题意和函数图象横纵坐标的意义是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得： 从家中走分钟到一个离家米的菜市场，即分钟，小明离家距离从增加到米；买菜花了分钟，即分钟，小明离家距离没有变化；之后用分钟返回家里，即分钟，小明离家距离从米减少为，
故选：．
12．（2023下·河南商丘·八年级校联考期末）如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图象，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点D作于E， 根据菱形的性质可得，，由此根据图2可知，，由此求出，由图2可知，利用勾股定理得到，则，再由勾股定理建立方程，解之即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵四边形是菱形，
∴，
∴当点P在上运动时，的面积不随时间的变化而变化，
∴由图2的函数图象可知，，
∴，即，
∴，
由图2的函数图象可知，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
故选D．
【点睛】本题综合考查了菱形的性质和动点问题的函数图象，勾股定理，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
题型五：正比例函数的定义 图像和性质
13．（2023下·青海西宁·八年级统考期末）关于正比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．B．图象必经过点
C．图象不经过原点D．y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据正比例函数的性质直接解答即可．
【详解】解：A．正比例函数的，故选项错误，不符合题意；
B．将代入解析式得，，故本选项错误，不合题意；
C．正比例函数的图象过原点，故本选项错误，不合题意；
D．由于函数图象过二、四象限，则函数值y随x的增大而减小，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟悉函数的图象及系数与图象的关系是解题的关键．
14．（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）点和都在正比例函数 (,且k为常数)的图象上,若,则k的值可能是( )
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】由, ,利用正比例函数的性质可得出,即可得出结论．
【详解】解：∵,,
即y随x的增大而减小,
∴,
∴k值可以为．
故选：B．
【点睛】本题考查正比例函数图象的增减性，掌握正比例函数图象的性质是解题的关键．
15．（2021上·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期中）一次函数与（m、n为常数，且）在同一平面直角坐标内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：当，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，正比例函数的图象经过第一、三象限，无符合条件选项；
当，时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，正比例函数的图象经过第二、四象限，无符合条件选项；
当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，正比例函数的图象经过第一、三象限，无符合条件选项；
当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，正比例函数的图象经过第二、四象限，A选项符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
题型六：一次函数的图像问题
16．（2023下·河北保定·八年级统考期末）在一次函数中，的值随值的增大而增大，且，则直线与轴交于（ ）
A．正半轴B．负半轴C．原点D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据的值随值的增大而增大，得到，又由得到，从而得到，即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵的值随值的增大而增大，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线与轴交于正半轴，
故选：．
17．（2020上·广东深圳·八年级统考期末）两条直线与在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的中的的符号，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：根据一次函数的图象与性质分析如下：
A．由图象可知，；由图象可知，，A错误；
B．由图象可知，；由图象可知，，B正确；
C．由图象可知，；由图象可知，，C错误；
D．由图象可知，；由图象可知，，D错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
18．（2023下·云南红河·八年级统考期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中）的图像分别为直线和直线，则一次函数的图像经过（ ）．
A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限
【答案】A
【分析】根据图像所过象限，结合一次函数性质判断，，，与0的关系，然后得出，与0的关系，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
∵一次函数与的图像都过一三象限，
∴，，
∵直线过第二象限，直线过第四象限，
∴，，且，
∴，，
∴的图象经过一、二、三象限，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，一次函数，当直线经过一、三象限，当直线经过二、四象限，当直线与y轴正半轴有交点，直线与y轴负半轴有交点．
19．（2023下·辽宁铁岭·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴交于A，B两点，以为底边在y轴的右侧作等腰，将沿y轴折叠，使点C恰好落在直线上，则C点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求点的坐标，根据“以为底边在y轴的右侧作等腰”可求C点的纵坐标，进而可求C点的对应点坐标为，即可求解．
【详解】解：由题意得：点的坐标为：
∵以为底边在y轴的右侧作等腰
∴C点的纵坐标为
将沿y轴折叠后，C点的对应点纵坐标也为
∵点C恰好落在直线上
∴，
即C点的对应点坐标为
则C点的坐标为
故选：A
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点、等腰三角形的性质等．掌握相关结论即可．
题型七：一次函数的性质问题
20．（2022下·陕西汉中·八年级统考期末）已知直线：与x轴交于点，直线与直线关于y轴对称，则关于直线，下列说法正确的是（ ）
A．y的值随着x的增大而减小B．函数图象经过第二、三、四象限
C．函数图象与x轴的交点坐标为D．函数图象与y轴的交点坐标为
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质求得直线经过点，直线：与x轴交于点，求得，即直线：，从而求得直线为，利用一次函数的性质和图象上点的坐标特征判断即可．
【详解】解：∵直线：与x轴交于点，
，
解得：，即直线：，
直线与直线关于y轴对称，
∴直线经过点，故C错误；
∴直线为，
，
∴y的值随着x的增大而增大，故A错误；
∵y的值随着x的增大而增大，
∴函数图象不经过第四象限，故B错误；
令，则，
∴函数图象与y轴的交点坐标为，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
21．（2023下·山东聊城·八年级统考期末）已知， 为直线上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将两个点代入直线方程整理判断即可．
【详解】解：将A、B两点坐标分别代入直线方程，得，，则．
．
∵A、B两点不相同，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，比较简单，分别代入计算整理即可．
22．（2023上·四川成都·八年级统考期末）关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过第二象限
B．图象与轴的交点是
C．将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为
D．点和在一次函数的图象上，若，则
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象与性质，逐项判断即可作答．
【详解】A．，，一次函数图象经过第一、二、四象限，故本项原说法错误；
B．图象与轴的交点是，故本项原说法错误；
C．将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为，故本项说法正确；
D.点和在一次函数的图象上，若，则，故本项原说法错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键．
题型八：一次函数与一元一次方程
23．（2023下·河南商丘·八年级统考期末）如图，直线和直线相交于点，根据图像可知，关于的方程的解是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】∵直线和直线相交于点，
∴的解是：，
故选：．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解就是已知两条直线交点的横坐标的值．
24．（2023下·河北衡水·八年级统考期末）一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．一次函数的图象经过第一、二、四象限
C．是方程的解
D．一次函数的图象与x轴交于点
【答案】D
【分析】根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由表格可得，
A、y随x的增大而减小，故选项A正确，不符合题意；
B、当时，，可知，y随x的增大而减小，可知，则该函数图象经过第一、二、四象限，故选项B正确，不符合题意；
C、时，，故方程的解是，故选项C正确，不符合题意；
D、∵点，在该函数图象上，
∴，解得，
∴，
当时，，得，
∴一次函数的图象与x轴交于点，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，解答本题的关键是利用一次函数的性质解答．
25．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．方程 的解是
C．当时，D．不等式 的解集是
【答案】C
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．
【详解】解：由函数的图象可知，
当时，，A选项错误，不符合题意；
方程 的解是，B选项错误，不符合题意；
当时，，故C正确，符合题意；
不等式 的解集是，故D错误，不符合题意．
故选：C．
题型九：一次函数和一元一次不等式
26．（2022下·陕西西安·八年级校考期末）如图，一次函数和的图象交于点A，不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对不等式进行变形可得，结合函数图象，求解即可．
【详解】解：由题意可得：点A横坐标为
不等式可化为：
在点A的左侧，满足
即不等式的解集为：
则不等式的解集为
故选：A
【点睛】此题考查了根据一次函数的交点求不等式的解集，解题的关键是掌握一次函数的有关性质．
27．（2023下·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期末）如图，已知直线与相交于点P，点P的坐标为，则关于x不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图象交点左侧直线图象在直线图象的下面，即可得出不等式的解集．
【详解】解：∵直线与相交于点P，点P的坐标为，
∴不等式的解集，即不等式的解集，为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与不等式，利用数形结合得出不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小．
28．（2023下·四川成都·八年级校考期末）如图，已知正比例函数与一次函数的图像交于点P.且点P的横坐标为，下面有四个结论：①；②；③当时，；④当时，.其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①④
【答案】D
【分析】根据图形的分布，与坐标轴的交点，运用数形结合思想解答即可．
【详解】∵正比例函数图像分布在第二、四象限，
∴，
故①正确；
∵一次函数的图像与y轴的正半轴相交，
∴，
故②错误；
当时，正比例函数图像分布在第四象限，
∴；
故③错误；
当时，，
故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了图像的分布与比例系数k的关系，图像与坐标轴的交点，一次函数与不等式的关系，熟练掌握图像分规律，一次函数与不等式的关系是解题的关键．
题型十：一次函数和二元一次方程组
29．（2023下·四川乐山·八年级统考期末）如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）
A．关于x的不等式的解集是
B．关于x的方程的解是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于x，y的方程组的解是
【答案】A
【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【详解】解：一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，
关于的不等式的解集是，选项A判断错误，符合题意；
关于的方程的解是，选项B判断正确，不符合题意；
当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．
30．（2023下·河南郑州·八年级期末）直线与直线相交于点，直线与x轴相交于，则①方程组的解是；②不等式的解集为；③不等式的解集为；④．以上说法正确的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】先求出的值，利用图象法解二元一次方程组和不等式，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵直线与直线相交于点，
∴，
∴，
∴；
∴方程组的解是；故①正确，
不等式的解集为；故②错误；
∵直线与x轴相交于，且随的增大而减小，
∴不等式的解集为，故③错误；
∵过，，
∴，解得：，
∴；故④错误；
故选A．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式．熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
31．（2023下·山东聊城·八年级统考期末）已知直线：与直线都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接，有以下说法：
①方程组的解为；
②直线：的；
③；
④当的值最小时，点P的坐标为．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】B
【分析】①根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；②利用待定系数法求得k的值；③求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；④根据轴对称的性质以及两点之间线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为．
【详解】解：①∵直线与直线都经过，
∴方程组的解为，故①正确，符合题意；
②把，代入直线，可得，解得，
∴故②正确，符合题意；
③把代入直线，可得，
中，令，则，
∴，
∴，
在直线中，令，则，
∴，
∴，
∴，故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为，连接，
由点C、的坐标得，直线的表达式为：，
由对称知，,,
当点共线，即点P位于点D处时，,最小，
∴当的值最小时，点P的坐标为，故④正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，运用轴对称知识作线段的等量转换是解题的关键．
题型十一：一次函数的实际应用
32．（2023下·河北保定·八年级统考期末）电动平衡车运动灵活，转向稳定，纯电力驱动，零排放，环保无污染，是新型的短途出行工具．某网络销售平台销售A，B两种纯电动平衡车共60台，两种平衡车的进价和售价如下表．
设该网络平台购进A型平衡车x台，这60台平衡车可获总利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若A型平衡车的购进数量不超过B型平衡车购进数量的3倍，应如何安排进货，才能使售完这批平衡车后获利最大，并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)购进A型平衡车45个，购进B型平衡车15个时，销售完获利最大，最大利润为31500元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用．
（1）设该工艺品店购进A型平衡车个，则购进B型平衡车个，根据总利润A型平衡车获得的利润B型平衡车获得的利润，即可求出与之间的函数关系式；
（2）根据A型平衡车的进货数量不超过B型平衡车进货数量的3倍，列出不等式，求出的范围，再利用一次函数的性质，即可求得最大利润．
【详解】（1）解：设该工艺品店购进A型平衡车个，则购进B型平衡车个，
由题意得：
，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：设该工艺品店购进A型平衡车个，则购进B型平衡车个，
由题意得，，
解得，，
由（1）知，，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，，
此时，
∴购进A型平衡车45个，购进B型平衡车15个时，销售完获利最大，最大利润为31500元．
33．（2022下·贵州六盘水·八年级统考期末）中国科技发展日新月异，有些电子产品会随着科技发展而降价，某电脑经销店2022年开始销售A款电脑，第一季度售价为万元/台，利润为4万元；第二季度售价为万元/台，利润为3万元．
(1)如果两个季度销售A款电脑的数最相同，则A款电脑的进价为多少万元？
(2)为增加收入，电脑经销店决定再经销B款电脑，若B款电脑的进价为万元/台，经销店预计用不多于万元且不少于万元的资金购进两种电脑共台，有几种进货方案？
(3)如果两种电脑的进价不变，A款电脑的售价为万元/台，B款电脑的售价为万元/台，为了打开B款电脑的销路，经销店决定每一台B款电脑降价a万元销售，要使（2）中的所有方案获利相同，a值应是多少？
【答案】(1)
(2)7种
(3)万元
【分析】（1）设A款电脑的进价为x万元，利用销售数量销售总利润每台A款电脑的销售利润，结合两个季度销售A款电脑的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设购进A款电脑y台，则购进B款电脑台，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不多于10万元且不少于9万元，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出电脑经销店共有7种进货方案；
（3）设购进的25台电脑全部售出后获得的总利润为W万元，利用总利润每台电脑的销售利润销售数量（购进数量），可得出W关于y的函数关系式，结合（2）中的所有方案获利相同，可得出W与y值无关，即，解之即可得出a的值．
【详解】（1）解析：设A款电脑的进货价为x元，根据題意得
解之得：
经检验是原方程的根，
答：A款电脑的进货价为万元；
（2）解：设购进A款电脑y台，则购进B款电脑台，根据题意得
，
解得，
y可以取10，11，12，13，14，15，16；
购进A款电脑有7种方案，
方案共有7种；
（3）解：设总利润为W万元，根据题意得
当万元时，上述（2）中所有方案的获利相同．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确找出函数关系式．
34．（2022下·黑龙江绥化·八年级校考期末）王大爷带上自己种的萝卜进城出售，为了找钱方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些，见天色已晚，就降价售完．售出的萝卜千克数x与他手中持有的钱数（含备用零钱）y的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
(1)降价前王大爷卖了多少钱?
(2)试求降价前y与x之间的关系式；
(3)降价后他按每千克元将剩余萝卜售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是元，试问他一共带了多少千克萝卜?
【答案】(1)降价前王大爷卖了元；
(2)
(3)一共带了千克萝卜
【分析】（1）根据题意直接计算即可得；
（2）设降价前y与x之间的关系式为，由图知图象过，，则，进行计算即可得；
（3）先算出降价前卖的钱数，再求出降价卖的萝卜，即可得．
【详解】（1）解：（元），
答：降价前王大爷卖了元；
（2）解：设降价前y与x之间的关系式为，
由图知图象过，，
解得
所以降价前y与x之间的关系式为；
（3）解：（元），
（千克），
（千克），
答：一共带了千克萝卜．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图象与性质．
35．（2022下·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司对A、B两校进行校园绿化．已知A校有3600平方米空地需铺设草坪，B校有2400平方米空地需铺设草坪．在甲、乙两地分别有同种草皮3500平方米和2500平方米出售，且售价一样．若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下：
(1)设甲地运往A校的草皮为x平方米，总运费为y元，写出y与x的函数关系式；
(2)请你设计一种运费最少的方案，并说明最少费用是多少？
【答案】(1)
(2)当甲往A校运1100平方米，往B校运2400平方米，乙往A校运2500平方米，不往B校运草皮时运输费用最少，最少费用为14400元
【分析】（1）根据总运费A校的费用+B校的费用求解即可；
（2）根据题意列出不等式组，求得，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）
（2）根据题意可得，
∴
∵，，
∴y随x增大而增大，
∴当时，y最小，此时．
答：当甲往A校运1100平方米，往B校运2400平方米，乙往A校运2500平方米，不往B校运草皮时运输费用最少，最少费用为14400元．
题型十二：一次函数和几何的交汇问题
36．（2022下·云南红河·八年级统考期末）如图，直线的解析式为，且与x轴交于点D，直线经过定点，直线与交于点C．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使得以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，，，见解析
【分析】（1）利用待定系数法求直线解析式即可；
（2）先求出点坐标，再联立两直线解析式求出交点的坐标，进一步求出的面积；
（3）分情况讨论，根据平移的性质求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
代入，
得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：令，
解得，
，
，
联立，
解得，
，
；
（3）解：平面直角坐标系内存在一点P，使得以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形．
，
①四边形是平行四边形，
，
根据平移的性质，可得点，
②四边形是平行四边形，
，
根据平移的性质，可得点，
③四边形是平行四边形，
，
根据平移的性质，可得点，
综上所述，满足条件的点，，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形的存在性问题，一次函数交点问题，熟练掌握待定系数法求解析式和一次函数图像上点的坐标特征是解题的关键．
37．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且．
(1)分别求出直线和直线解析式；
(2)在直线上是否存在一点P，使，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)若E为平面内右侧的一点，且为等腰直角三角形，请求出点E的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为
(2)点P的坐标为或
(3)点E的坐标为：或或
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标为，点D的坐标为，求出，分两种情况：当点P在、D之间时，当点P在点上面时，分别求出点P的坐标即可；
（3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵，
∴点B的坐标为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：把代入得：，
∴点C的坐标为，
联立，
解得：，
∴点D的坐标为，
∵，，
，
设点P的坐标为，
当点P在、D之间时，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为；
当点P在点上面时，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为；
综上分析可知，点P的坐标为或．
（3）解：∵，，
∴；，
当时，，
∴，，
∴轴，
∴此时点；
当时，，
∴，，
∴轴，
∴此时点；
当时，，
∴，，
∴轴，
∴此时点；
综上分析可知，点E的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
38．（2022下·湖南张家界·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D．连接、．
(1)求直线的解析式；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)点P为直线上一点，连接、，当，求此时点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)证明详见解析；
(3)或．
【分析】本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握待定系数求函数解析式，会求函数与坐标轴的交点，会求点所围成的三角形面积．
（1）将代入即可求解；
（2）先求出A、D的坐标，然后证明，，即可得证；
（3）根据可得点P到的距离是点C到距离的2倍，设将直线向上平移个单位得到直线，则可求直线的解析式为，然后把直线向上或向下平移个单位得到直线、，求出、解析式，最后分别求出、与的交点即可．
【详解】（1）解：将代入，得
∴，
∴直线的解析式为．
（2）解：当时，，
解得，即点，
∴．
∵平行于x轴，则点D的纵坐标为4，
∴将代入y=，得，
解得．
∴点，．
∴．
∴，且．
∴四边形是平行四边形．
（3）解：∵与的底都是，
∴当时，则点P到的距离是点C到距离的2倍，
如图2，设将直线向上平移个单位得到直线，使得直线经过点C，
∴直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴．
∵点P到的距离是点C到距离的2倍，
①将直线向上平移个单位得到直线，
∴直线的解析式为．
∴直线与直线的交点即为点P，
∴，解得，
∴点P的坐标为；
②将直线向下平移个单位得到直线，
∴直线的解析式为．
∴直线与直线的交点即为点P，
∴，解得，
∴点P的坐标为．
综上所述点P的坐标：或．
39．（2022下·广东佛山·八年级校考期末）如图，把矩形纸片放入直角坐标系中，使，分别落在轴，轴的正半轴上，连接，且，．
(1)求所在直线的解析式；
(2)将纸片折叠，使点与点重合（折痕为，求折叠后纸片重叠部分的面积；
(3)若过一定点的任意一条直线总能把矩形的面积分为相等的两部分，则定的坐标为 ．
【答案】(1)
(2)折叠后重叠部分的面积为10
(3)
【分析】（1）设，则，在中，根据勾股定理得到，则，解得，得到，，然后利用待定系数法确定直线的解析式；
（2）设，根据折叠的性质得，，则，再根据勾股定理得到，解得，即，接着利用得到，则，所以，然后根据三角形面积公式计算；
（3）先确定和点的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式；
（4）根据重心的性质得到经过矩形的对角线的交点的直线总能够把矩形的面积平均分为两部分，然后根据线段中点坐标公式求解．
【详解】（1）解：设，则，
在中，，
，解得，
，，
，，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得．
所在直线解析式为；
（2）设，
纸片折叠，使点与点重合（折痕为，
，，
，
在中，，
，解得，
即，
，
，
，
，
，
即折叠后重叠部分的面积为10；
（3）经过矩形的重心的直线总能够把矩形的面积平均分为两部分，而矩形的重心为对角线的交点，即线段的中点，
，，
线段的中点坐标为．
定点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】此题属于一次函数综合题，考查了折叠的性质，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，以及矩形的性质，熟练掌握待定系数法以及折叠的性质是解本题的关键．
40．（2022上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：向下平移4个单位长度得到直线，直线与x轴交于点B，与相交于点C．
(1)直线的解析式为________________；
(2)求点C的坐标；
(3)若点M为x轴上一动点，当的值最小时，求点M的坐标；
(4)在坐标平面内是否存在一点N，使以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)存在，点N的坐标为或或
【分析】（1）根据“左右平移，x左加右减；上下平移，b上加下减”即可求解；
（2）将直线与解析式联立，解二元一次方程组，即可得到点C的坐标；
（3）作点C关于x轴的对称点，根据轴对称的性质可得，当三点共线时，取最小值，求出直线与x轴的交点坐标即可；
（4）设点N的坐标为，分为对角线，为对角线，为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解．
【详解】（1）解：直线：向下平移4个单位长度得到直线：，
故答案为：；
（2）解：将直线与解析式联立，
得：，
解得，
点C的坐标为；
（3）解：如图，作点C关于x轴的对称点，则，
当三点共线时，等号成立，取最小值，最小值为的长度，如图：
由（2）知点C的坐标为，
，
直线：中，令，得，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
令，得，
解得，
点M的坐标为；
（4）解：存在，点N的坐标为或或．
理由如下：
直线：中，令，得，
解得，
点A的坐标为，
直线：中，令，得，
解得，
点B的坐标为．
设点N的坐标为，
如图，分三种情况：
当为对角线时，，
得，
解得，
点N的坐标为；
当为对角线时，，
得，
解得，
点N的坐标为；
当为对角线时，，
得，
解得，
点N的坐标为．
综上可知，点N的坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数图象的平移，求一次函数的解析式，两条直线的交点问题，平行四边形存在性问题，轴对称的性质等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
x
…
0
1
2
…
y
…
5
2
…
进价
售价
A型
1400
2000
B型
2100
2400
A校
B校
路程（千米）
运费单价（元）
路程（千米）
运费单价（元）
甲地
20
0.15
10
0.15
乙地
15
0.20
20
0.20
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