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苏科版八年级数学上册必考重难点突破【单元测试】第4章实数(夯实基础培优卷)(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册必考重难点突破【单元测试】第4章实数(夯实基础培优卷)(原卷版+解析)，共24页。
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中：，-3，0，，，-1.732，，，，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．若a=﹣+6，则ab的算术平方根是（ ）
A．2B．C．±D．4
3．－27的立方根与9的平方根之和为（ ）
A．0B．6C．0或－6D．0或6
4．已知三角形三边为、、，其中、两边满足，那么这个三角形的最大边的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根B．的立方根是
C．D．立方根等于本身的数只有
6．数轴上有A，B，C，D四点，最接近的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
7．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）
A．精确到十分位B．精确到个位C．精确到百位D．精确到千位
8．如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得…依此法继续作下去，得等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．把下列各数填在相应的横线上，﹣8，π，﹣|﹣2|， ， ，﹣0.9，5.4， ，0，﹣3.6，1.2020020002…（每两个2之间多一个0）；整数________； 负分数________；无理数________．
10．的平方根是_____；的算术平方根是_____；125的立方根是________.
11．化简：_________，_________，_________
12．已知a，b为两个连续的整数，且a<13．已知，则的平方根为______．
14．计算：=_____．
15．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是18cm2和10cm2，那么两个长方形的面积和为___cm2．
16．人的眼睛可看见的红光的波长为0.000077厘米（精确到0.00001厘米）．将近似数用科学记数法表示为__________．
17．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_________________
18．如图，B为原点，点A在数轴上对应实数为-1，线段BC垂直于数轴，且BC为一个单位长度，以A为圆心，AC长为半径画圆弧，与数轴相交于点D，则D点表示的数为____．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．计算：
（1）；
（2）．
20．计算题：
（1）
（2）.
21．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
22．(1) 观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律:
填空:x= _______， y=______.
(2)根据你发现的规律填空:
①已知≈1.414，则 =________，=_______；
②= 0.274，记的整数部分为x,则=___________.
23．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即，则称为完美根式，为的完美平方根．
例如：因为，所以是的完美平方根．
(1)已知是的完美平方根，求的值；
(2)若是的完美平方根，用含，，的式子分别表示，；
(3)已知是完美根式，请写出它的一个完美平方根．
24．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3，4，5；
（2）在图2中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（3）在图3中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、．
25．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是___________；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
26．如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）点A的坐标为________；点C的坐标为________．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．
27．在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是直线AB上一点（点D与点A、点B不重合），以CD为直角边作等腰直角三角形DCE，使∠DCE=90°，连接 AE．
(1)如图①，点D在线段 AB 上，点E与点A在CD同侧．求证：BD=AE．
(2)如图②，点D在BA的延长线上，点E与点A在CD的两侧，直接写出线段AB、AD、AE三者之间的数量关系．
(3)如图③，点D在AB的延长线上，点E与点A在CD同侧．若AE=1，AB=4， 则CD的长是多少？
28．阅读感悟：
学习过平方根的概念之后，我们知道，等；七年级下学期我们学习过“积的乘方”，我们知道（是正整数），所以我们可以计算出；学完实数后，有理数运算的法则、公式和运算律仍然适用，例如：
聪明的小明发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
我们来进行以下的探索：
设（其中，，，都是正整数），则有，
，，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）______－______；
（2）当，，，都为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得_______，_______；
（3）且，，都为正整数，求的值．
a
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
x
1
y
100
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【单元测试】第4章 实数（夯实基础培优卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中：，-3，0，，，-1.732，，，，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：-3、0、、-1.732、=5都为有理数；
，，，是无理数．
故选D．
【点睛】此题主要考查了实数的分类，解决本题的关键是掌握两类数的定义：
无理数：无限不循环小数为无理数，注意带根号的要开不尽方才是无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式；
有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数的统称．
2．若a=﹣+6，则ab的算术平方根是（ ）
A．2B．C．±D．4
【答案】B
【详解】试题解析：∵
∴
∴1−3b=0，
∴
∴a=6，
∴
2的算术平方根是
故选B.
3．－27的立方根与9的平方根之和为（ ）
A．0B．6C．0或－6D．0或6
【答案】C
【分析】依据平方根和立方根求得这两个数，然后利用加法法则计算即可．
【详解】解：-27的立方根是-3，9的平方根是±3，
-3+3=0，-3+（-3）=-6．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是立方根和平方根，熟练掌握立方根和平方根的意义是解题的关键．
4．已知三角形三边为、、，其中、两边满足，那么这个三角形的最大边的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两个非负数的和是0，可以求得a，b的值．因而根据三角形的三边关系就可以求得第三边的范围．
【详解】解：根据题意得：，，
解得，，
因为是最大边，所以，
即．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形三边关系和非负数的性质，根据三角形三边关系定理结合题目的已知条件列出不等式，然后解不等式即可．
5．下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根B．的立方根是
C．D．立方根等于本身的数只有
【答案】C
【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．
【详解】解：A负数有一个立方根，故该选项错误，不符合题意；
B选项，的立方根是，故该选项错误，不符合题意；
C选项，，故该选项正确，符合题意；
D选项，立方根等于本身的数只有和，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键．
6．数轴上有A，B，C，D四点，最接近的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】D
【分析】先根据无理数的估算可得，再根据实数与数轴的关系即可得出答案．
【详解】解：，
，
由数轴可知，点表示的数大于1且小于2，
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
7．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）
A．精确到十分位B．精确到个位C．精确到百位D．精确到千位
【答案】C
【分析】由于代表1千，所以等于8.8千，小数点后一位是百．
【详解】解：近似数精确到百位．
故选：C．
【点睛】本题考查了近似数精确度的意义，解题的关键是掌握近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
8．如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得…依此法继续作下去，得等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理，依次求出OP的长，找出规律即可．
【详解】OP1= ，
OP2=，
，
∵,
∴,
…，
，
当n=2019时
OP2019=．
故选D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解决问题的的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，探究线段长度的规律．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．把下列各数填在相应的横线上，﹣8，π，﹣|﹣2|， ， ，﹣0.9，5.4， ，0，﹣3.6，1.2020020002…（每两个2之间多一个0）；整数________； 负分数________；无理数________．
【答案】 ﹣8， ﹣|﹣2|， ，0； ﹣0.9，﹣3.6； π， -，1.2020020002…．
【分析】根据整数、负分数、无理数的概念判断即可．
【详解】解：整数-8，-|-2|，,0；
负分数-0.9，-3.6
无理数π，−，1.2020020002…；
【点睛】本题考查的是实数的概念，掌握实数的分类是解题的关键．
10．的平方根是_____；的算术平方根是_____；125的立方根是________.
【答案】 ± 3 5
【分析】分别利用平方根立方根定义计算即可．
【详解】解：的平方根是±；
的算术平方根是3；
125的立方根是5.
故答案为(1). ± (2). 3 (3). 5
【点睛】此题主要考查了立方根、平方根的定义．注意：区别平方根和算术平方根．一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
11．化简：_________，_________，_________
【答案】 2 ±7
【分析】根据算术平方根和平方根的定义化简即可.
【详解】解：2，
，
.
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的知识，解题时要注意平方根、算术平方根、负的平方根的区别，以及乘方和开方互为逆运算.
12．已知a，b为两个连续的整数，且a<【答案】15
【分析】估算出在哪两个相邻的整数之间，即可求出a与b的值，然后代入a＋b计算即可.
【详解】∵72<57<82,
∴7<<8,
∴a=7,b=8,
∴a＋b＝7+8=15.
故答案为：15.
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
13．已知，则的平方根为______．
【答案】
【分析】根据已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出4x−2y的值，代入计算即可求出所求．
【详解】解：∵
∴，
①＋②得：4x−2y＝9，
则＝3，3的平方根是±．
故答案为：±．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，非负数的性质，平方根，熟练掌握各自的性质及方程组的解法是解本题的关键．
14．计算：=_____．
【答案】6．
【详解】解：原式=3+4+1﹣2=6．
故答案为6．
【点睛】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
15．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是18cm2和10cm2，那么两个长方形的面积和为___cm2．
【答案】12
【分析】先根据两个小正方形的面积分别是18cm2和10cm2求出正方形的边长，进而可得出矩形的长和宽，进而得出结论．
【详解】∵两个小正方形的面积分别是18cm2和10cm2，
∴两个正方形的边长分别为和，
∴两个矩形的长是，宽是，
∴两个长方形的面积和=2××=12cm2．
故答案为12．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．
16．人的眼睛可看见的红光的波长为0.000077厘米（精确到0.00001厘米）．将近似数用科学记数法表示为__________．
【答案】厘米
【分析】根据近似数可得0.000077厘米≈0.00008厘米，然后根据科学记数法可进行求解．
【详解】解：由题意得：0.000077厘米≈0.00008厘米，
∴用科学记数法表示为；
故答案为厘米．
【点睛】本题主要考查近似数及科学记数法，熟练掌握近似数及科学记数法是解题的关键．
17．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_________________
【答案】
【分析】先根据数轴的定义得出，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由题意得：，
则
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键．
18．如图，B为原点，点A在数轴上对应实数为-1，线段BC垂直于数轴，且BC为一个单位长度，以A为圆心，AC长为半径画圆弧，与数轴相交于点D，则D点表示的数为____．
【答案】 ##
【详解】根据勾股定理可得：AC=，
所以AD=，BD=AD－AB=，
则D点表示的数为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）8；（2）
【分析】（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂，分母有理化，然后根据实数运算法则计算即可；
（2）首先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后根据实数运算法则计算即可．
【详解】（1）原式=
=8；
（2）原式=
=
=
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，零指数幂、负整数指数幂、分母有理化，重点是掌握相关公式和运算法则．
20．计算题：
（1）
（2）.
【答案】（1）；（2）
【分析】按算术平方根、立方根、绝对值的运算法则及实数的混合运算顺序计算即可．
【详解】解：（1）原式=
（2）原式=
【点睛】本题考查了非负数的算术平方根、立方根、绝对值、实数的混合运算等知识点，熟知上述各种运算法则和实数的混合运算顺序是解题的关键．
21．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)11．
【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根；
（3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
∵，
∴，
∴即，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为，
故答案为：，；
（2）解：∵，a是的整数部分，
∴a=9，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴
∵9的平方根等于，
∴的平方根等于；
（3）解：∵，
∴即，
∵，其中x是整数，且，
∴x=9，y=，
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
22．(1) 观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律:
填空:x= _______， y=______.
(2)根据你发现的规律填空:
①已知≈1.414，则 =________，=_______；
②= 0.274，记的整数部分为x,则=___________.
【答案】（1） 0.1；10；（2）①14.14；0.1414；②.
【分析】（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；
（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；
（3）利用（1）中的规律，求出的值，然后得到整数x，即可得到答案.
【详解】解：（1）根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴，；
故答案为：0.1，10；
（2）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵，
∴，；
故答案为：，；
（3）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，解题需注意被开方数的小数点和相应的算术平方根的小数点之间的互换关系．
23．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即，则称为完美根式，为的完美平方根．
例如：因为，所以是的完美平方根．
(1)已知是的完美平方根，求的值；
(2)若是的完美平方根，用含，，的式子分别表示，；
(3)已知是完美根式，请写出它的一个完美平方根．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）根据定义，得到，展开后，合并同类项，根据对应项系数相等求a的值；
（2）根据定义，得到，展开后，合并同类项，根据对应项系数相等原理计算即可．
（3）构造完全平方公式，用对应项系数相等建立等式计算．
【详解】（1）∵是的完美平方根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是的完美平方根，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：∵是完美根式，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵m，n都是整数，
∴，，
∴的完美平方根是或．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，理解新定义，活用完全平方公式，恒等式的对应项相等是解题的关键．
24．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3，4，5；
（2）在图2中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（3）在图3中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析．
【分析】（1）根据勾股定理可知：以3，4，5为三边所构成的三角形为直角三角形，故以3和4为两直角边作直角三角形即可；
（2）由正方形的面积为5，可知：正方形的变长为，1×2的长方形方格的对角线长是，从而作出面积为5的正方形；
（3）根据1×2的对角线为，3×2的对角线为，可作出变长为2，、的三角形．
【详解】解：（1）边长分别为3，4，5的三角形如下图1；
（2）面积为5的正方形如下图2；
（3）分别为2、、的三角形如下图3．
【点睛】本题考查勾股定理在网格中的应用．掌握常见无理数在网格中表示的方法是解题关键．
25．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是___________；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；
（2）由（1）可知、，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案；
（3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根．
【详解】解：（1）∵蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示
∴点表示
∴．
（2）∵
∴，
∴
．
（3）∵与互为相反数
∴
∴
∴
∴
∴，即的平方根是．
【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
26．如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）点A的坐标为________；点C的坐标为________．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．
【答案】（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由见解析．
【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；
（2）根据运动速度得到OQ=t，OP=8-2t，根据△ODP与△ODQ的面积相等列方程求解即可；
（3）由∠AOC=90°，y轴平分∠GOD证得OG∥AC，过点H作HF∥OG交x轴于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC．
【详解】解：（1）∵，
∴a-b+2=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
∴A（0，6），C（8，0）；
故答案为：（0，6），（8，0）；
（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），
∴OA=6，OB=8，
由运动知，OQ=t，PC=2t，
∴OP=8-2t，
∵D（4，3），
∴，
，
∵△ODP与△ODQ的面积相等，
∴2t=12-3t，
∴t=2.4，
∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；
（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，
∴∠OAC+∠ACO=90°.
又∵∠DOC=∠DCO，
∴∠OAC=∠AOD.
∵x轴平分∠GOD，
∴∠GOA=∠AOD.
∴∠GOA=∠OAC.
∴OG∥AC，
如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥AC，
∴∠FHC=∠ACE.
∵OG∥FH，
∴∠GOD=∠FHO，
∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，
即∠GOD+∠ACE=∠OHC，
∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．
【点睛】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.
27．在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是直线AB上一点（点D与点A、点B不重合），以CD为直角边作等腰直角三角形DCE，使∠DCE=90°，连接 AE．
(1)如图①，点D在线段 AB 上，点E与点A在CD同侧．求证：BD=AE．
(2)如图②，点D在BA的延长线上，点E与点A在CD的两侧，直接写出线段AB、AD、AE三者之间的数量关系．
(3)如图③，点D在AB的延长线上，点E与点A在CD同侧．若AE=1，AB=4， 则CD的长是多少？
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据三角形全等的判定证出，最后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）参照（1）的方法证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段和差、等量代换即可得出结论；
（3）参照（1）的方法证出，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
等腰直角三角形，
，
在和中，，
，
∴．
（2）
解：，证明如下：
∵，
∴，即，
等腰直角三角形，
，
在和中，，
，
∴，
，
．
（3）
解：∵，
∴，即，
等腰直角三角形，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
故的长为．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确找出全等三角形是解题关键．
28．阅读感悟：
学习过平方根的概念之后，我们知道，等；七年级下学期我们学习过“积的乘方”，我们知道（是正整数），所以我们可以计算出；学完实数后，有理数运算的法则、公式和运算律仍然适用，例如：
聪明的小明发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
我们来进行以下的探索：
设（其中，，，都是正整数），则有，
，，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）______－______；
（2）当，，，都为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得_______，_______；
（3）且，，都为正整数，求的值．
【答案】（1）14，6；（2），；（3）9或21
【分析】（1）利用完全平方公式展开，计算即可；
（2）利用完全平方公式展开，根据等式的性质即可得出答案；
（3）根据（2）的结论得到，由，，都为正整数，即可求解．
【详解】（1）
故答案为：14，6；
（2）∵，
∴，，
故答案为：，；
（3）∵，
∴，
而，都为正整数，
∴，或，，
当，时，；
当，时，．
即的值为9或21．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，完全平方公式的应用，理解有理数运算的法则、公式和运算律在实数运算中仍然适用是正确计算的前提．a
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
x
1
y
100
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中：，-3，0，，，-1.732，，，，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．若a=﹣+6，则ab的算术平方根是（ ）
A．2B．C．±D．4
3．－27的立方根与9的平方根之和为（ ）
A．0B．6C．0或－6D．0或6
4．已知三角形三边为、、，其中、两边满足，那么这个三角形的最大边的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根B．的立方根是
C．D．立方根等于本身的数只有
6．数轴上有A，B，C，D四点，最接近的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
7．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）
A．精确到十分位B．精确到个位C．精确到百位D．精确到千位
8．如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得…依此法继续作下去，得等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．把下列各数填在相应的横线上，﹣8，π，﹣|﹣2|， ， ，﹣0.9，5.4， ，0，﹣3.6，1.2020020002…（每两个2之间多一个0）；整数________； 负分数________；无理数________．
10．的平方根是_____；的算术平方根是_____；125的立方根是________.
11．化简：_________，_________，_________
12．已知a，b为两个连续的整数，且a<
14．计算：=_____．
15．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是18cm2和10cm2，那么两个长方形的面积和为___cm2．
16．人的眼睛可看见的红光的波长为0.000077厘米（精确到0.00001厘米）．将近似数用科学记数法表示为__________．
17．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_________________
18．如图，B为原点，点A在数轴上对应实数为-1，线段BC垂直于数轴，且BC为一个单位长度，以A为圆心，AC长为半径画圆弧，与数轴相交于点D，则D点表示的数为____．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．计算：
（1）；
（2）．
20．计算题：
（1）
（2）.
21．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
22．(1) 观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律:
填空:x= _______， y=______.
(2)根据你发现的规律填空:
①已知≈1.414，则 =________，=_______；
②= 0.274，记的整数部分为x,则=___________.
23．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即，则称为完美根式，为的完美平方根．
例如：因为，所以是的完美平方根．
(1)已知是的完美平方根，求的值；
(2)若是的完美平方根，用含，，的式子分别表示，；
(3)已知是完美根式，请写出它的一个完美平方根．
24．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3，4，5；
（2）在图2中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（3）在图3中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、．
25．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是___________；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
26．如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）点A的坐标为________；点C的坐标为________．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．
27．在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是直线AB上一点（点D与点A、点B不重合），以CD为直角边作等腰直角三角形DCE，使∠DCE=90°，连接 AE．
(1)如图①，点D在线段 AB 上，点E与点A在CD同侧．求证：BD=AE．
(2)如图②，点D在BA的延长线上，点E与点A在CD的两侧，直接写出线段AB、AD、AE三者之间的数量关系．
(3)如图③，点D在AB的延长线上，点E与点A在CD同侧．若AE=1，AB=4， 则CD的长是多少？
28．阅读感悟：
学习过平方根的概念之后，我们知道，等；七年级下学期我们学习过“积的乘方”，我们知道（是正整数），所以我们可以计算出；学完实数后，有理数运算的法则、公式和运算律仍然适用，例如：
聪明的小明发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
我们来进行以下的探索：
设（其中，，，都是正整数），则有，
，，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）______－______；
（2）当，，，都为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得_______，_______；
（3）且，，都为正整数，求的值．
a
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
x
1
y
100
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【单元测试】第4章 实数（夯实基础培优卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中：，-3，0，，，-1.732，，，，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：-3、0、、-1.732、=5都为有理数；
，，，是无理数．
故选D．
【点睛】此题主要考查了实数的分类，解决本题的关键是掌握两类数的定义：
无理数：无限不循环小数为无理数，注意带根号的要开不尽方才是无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式；
有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数的统称．
2．若a=﹣+6，则ab的算术平方根是（ ）
A．2B．C．±D．4
【答案】B
【详解】试题解析：∵
∴
∴1−3b=0，
∴
∴a=6，
∴
2的算术平方根是
故选B.
3．－27的立方根与9的平方根之和为（ ）
A．0B．6C．0或－6D．0或6
【答案】C
【分析】依据平方根和立方根求得这两个数，然后利用加法法则计算即可．
【详解】解：-27的立方根是-3，9的平方根是±3，
-3+3=0，-3+（-3）=-6．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是立方根和平方根，熟练掌握立方根和平方根的意义是解题的关键．
4．已知三角形三边为、、，其中、两边满足，那么这个三角形的最大边的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两个非负数的和是0，可以求得a，b的值．因而根据三角形的三边关系就可以求得第三边的范围．
【详解】解：根据题意得：，，
解得，，
因为是最大边，所以，
即．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形三边关系和非负数的性质，根据三角形三边关系定理结合题目的已知条件列出不等式，然后解不等式即可．
5．下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根B．的立方根是
C．D．立方根等于本身的数只有
【答案】C
【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．
【详解】解：A负数有一个立方根，故该选项错误，不符合题意；
B选项，的立方根是，故该选项错误，不符合题意；
C选项，，故该选项正确，符合题意；
D选项，立方根等于本身的数只有和，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键．
6．数轴上有A，B，C，D四点，最接近的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】D
【分析】先根据无理数的估算可得，再根据实数与数轴的关系即可得出答案．
【详解】解：，
，
由数轴可知，点表示的数大于1且小于2，
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
7．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）
A．精确到十分位B．精确到个位C．精确到百位D．精确到千位
【答案】C
【分析】由于代表1千，所以等于8.8千，小数点后一位是百．
【详解】解：近似数精确到百位．
故选：C．
【点睛】本题考查了近似数精确度的意义，解题的关键是掌握近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
8．如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得…依此法继续作下去，得等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理，依次求出OP的长，找出规律即可．
【详解】OP1= ，
OP2=，
，
∵,
∴,
…，
，
当n=2019时
OP2019=．
故选D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解决问题的的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，探究线段长度的规律．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．把下列各数填在相应的横线上，﹣8，π，﹣|﹣2|， ， ，﹣0.9，5.4， ，0，﹣3.6，1.2020020002…（每两个2之间多一个0）；整数________； 负分数________；无理数________．
【答案】 ﹣8， ﹣|﹣2|， ，0； ﹣0.9，﹣3.6； π， -，1.2020020002…．
【分析】根据整数、负分数、无理数的概念判断即可．
【详解】解：整数-8，-|-2|，,0；
负分数-0.9，-3.6
无理数π，−，1.2020020002…；
【点睛】本题考查的是实数的概念，掌握实数的分类是解题的关键．
10．的平方根是_____；的算术平方根是_____；125的立方根是________.
【答案】 ± 3 5
【分析】分别利用平方根立方根定义计算即可．
【详解】解：的平方根是±；
的算术平方根是3；
125的立方根是5.
故答案为(1). ± (2). 3 (3). 5
【点睛】此题主要考查了立方根、平方根的定义．注意：区别平方根和算术平方根．一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
11．化简：_________，_________，_________
【答案】 2 ±7
【分析】根据算术平方根和平方根的定义化简即可.
【详解】解：2，
，
.
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的知识，解题时要注意平方根、算术平方根、负的平方根的区别，以及乘方和开方互为逆运算.
12．已知a，b为两个连续的整数，且a<
【分析】估算出在哪两个相邻的整数之间，即可求出a与b的值，然后代入a＋b计算即可.
【详解】∵72<57<82,
∴7<<8,
∴a=7,b=8,
∴a＋b＝7+8=15.
故答案为：15.
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
13．已知，则的平方根为______．
【答案】
【分析】根据已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出4x−2y的值，代入计算即可求出所求．
【详解】解：∵
∴，
①＋②得：4x−2y＝9，
则＝3，3的平方根是±．
故答案为：±．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，非负数的性质，平方根，熟练掌握各自的性质及方程组的解法是解本题的关键．
14．计算：=_____．
【答案】6．
【详解】解：原式=3+4+1﹣2=6．
故答案为6．
【点睛】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
15．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是18cm2和10cm2，那么两个长方形的面积和为___cm2．
【答案】12
【分析】先根据两个小正方形的面积分别是18cm2和10cm2求出正方形的边长，进而可得出矩形的长和宽，进而得出结论．
【详解】∵两个小正方形的面积分别是18cm2和10cm2，
∴两个正方形的边长分别为和，
∴两个矩形的长是，宽是，
∴两个长方形的面积和=2××=12cm2．
故答案为12．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．
16．人的眼睛可看见的红光的波长为0.000077厘米（精确到0.00001厘米）．将近似数用科学记数法表示为__________．
【答案】厘米
【分析】根据近似数可得0.000077厘米≈0.00008厘米，然后根据科学记数法可进行求解．
【详解】解：由题意得：0.000077厘米≈0.00008厘米，
∴用科学记数法表示为；
故答案为厘米．
【点睛】本题主要考查近似数及科学记数法，熟练掌握近似数及科学记数法是解题的关键．
17．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_________________
【答案】
【分析】先根据数轴的定义得出，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由题意得：，
则
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键．
18．如图，B为原点，点A在数轴上对应实数为-1，线段BC垂直于数轴，且BC为一个单位长度，以A为圆心，AC长为半径画圆弧，与数轴相交于点D，则D点表示的数为____．
【答案】 ##
【详解】根据勾股定理可得：AC=，
所以AD=，BD=AD－AB=，
则D点表示的数为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）8；（2）
【分析】（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂，分母有理化，然后根据实数运算法则计算即可；
（2）首先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后根据实数运算法则计算即可．
【详解】（1）原式=
=8；
（2）原式=
=
=
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，零指数幂、负整数指数幂、分母有理化，重点是掌握相关公式和运算法则．
20．计算题：
（1）
（2）.
【答案】（1）；（2）
【分析】按算术平方根、立方根、绝对值的运算法则及实数的混合运算顺序计算即可．
【详解】解：（1）原式=
（2）原式=
【点睛】本题考查了非负数的算术平方根、立方根、绝对值、实数的混合运算等知识点，熟知上述各种运算法则和实数的混合运算顺序是解题的关键．
21．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)11．
【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根；
（3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
∵，
∴，
∴即，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为，
故答案为：，；
（2）解：∵，a是的整数部分，
∴a=9，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴
∵9的平方根等于，
∴的平方根等于；
（3）解：∵，
∴即，
∵，其中x是整数，且，
∴x=9，y=，
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
22．(1) 观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律:
填空:x= _______， y=______.
(2)根据你发现的规律填空:
①已知≈1.414，则 =________，=_______；
②= 0.274，记的整数部分为x,则=___________.
【答案】（1） 0.1；10；（2）①14.14；0.1414；②.
【分析】（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；
（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；
（3）利用（1）中的规律，求出的值，然后得到整数x，即可得到答案.
【详解】解：（1）根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴，；
故答案为：0.1，10；
（2）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵，
∴，；
故答案为：，；
（3）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，解题需注意被开方数的小数点和相应的算术平方根的小数点之间的互换关系．
23．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即，则称为完美根式，为的完美平方根．
例如：因为，所以是的完美平方根．
(1)已知是的完美平方根，求的值；
(2)若是的完美平方根，用含，，的式子分别表示，；
(3)已知是完美根式，请写出它的一个完美平方根．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）根据定义，得到，展开后，合并同类项，根据对应项系数相等求a的值；
（2）根据定义，得到，展开后，合并同类项，根据对应项系数相等原理计算即可．
（3）构造完全平方公式，用对应项系数相等建立等式计算．
【详解】（1）∵是的完美平方根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是的完美平方根，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：∵是完美根式，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵m，n都是整数，
∴，，
∴的完美平方根是或．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，理解新定义，活用完全平方公式，恒等式的对应项相等是解题的关键．
24．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3，4，5；
（2）在图2中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（3）在图3中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析．
【分析】（1）根据勾股定理可知：以3，4，5为三边所构成的三角形为直角三角形，故以3和4为两直角边作直角三角形即可；
（2）由正方形的面积为5，可知：正方形的变长为，1×2的长方形方格的对角线长是，从而作出面积为5的正方形；
（3）根据1×2的对角线为，3×2的对角线为，可作出变长为2，、的三角形．
【详解】解：（1）边长分别为3，4，5的三角形如下图1；
（2）面积为5的正方形如下图2；
（3）分别为2、、的三角形如下图3．
【点睛】本题考查勾股定理在网格中的应用．掌握常见无理数在网格中表示的方法是解题关键．
25．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是___________；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；
（2）由（1）可知、，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案；
（3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根．
【详解】解：（1）∵蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示
∴点表示
∴．
（2）∵
∴，
∴
．
（3）∵与互为相反数
∴
∴
∴
∴
∴，即的平方根是．
【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
26．如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）点A的坐标为________；点C的坐标为________．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．
【答案】（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由见解析．
【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；
（2）根据运动速度得到OQ=t，OP=8-2t，根据△ODP与△ODQ的面积相等列方程求解即可；
（3）由∠AOC=90°，y轴平分∠GOD证得OG∥AC，过点H作HF∥OG交x轴于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC．
【详解】解：（1）∵，
∴a-b+2=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
∴A（0，6），C（8，0）；
故答案为：（0，6），（8，0）；
（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），
∴OA=6，OB=8，
由运动知，OQ=t，PC=2t，
∴OP=8-2t，
∵D（4，3），
∴，
，
∵△ODP与△ODQ的面积相等，
∴2t=12-3t，
∴t=2.4，
∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；
（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，
∴∠OAC+∠ACO=90°.
又∵∠DOC=∠DCO，
∴∠OAC=∠AOD.
∵x轴平分∠GOD，
∴∠GOA=∠AOD.
∴∠GOA=∠OAC.
∴OG∥AC，
如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥AC，
∴∠FHC=∠ACE.
∵OG∥FH，
∴∠GOD=∠FHO，
∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，
即∠GOD+∠ACE=∠OHC，
∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．
【点睛】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.
27．在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是直线AB上一点（点D与点A、点B不重合），以CD为直角边作等腰直角三角形DCE，使∠DCE=90°，连接 AE．
(1)如图①，点D在线段 AB 上，点E与点A在CD同侧．求证：BD=AE．
(2)如图②，点D在BA的延长线上，点E与点A在CD的两侧，直接写出线段AB、AD、AE三者之间的数量关系．
(3)如图③，点D在AB的延长线上，点E与点A在CD同侧．若AE=1，AB=4， 则CD的长是多少？
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据三角形全等的判定证出，最后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）参照（1）的方法证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段和差、等量代换即可得出结论；
（3）参照（1）的方法证出，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
等腰直角三角形，
，
在和中，，
，
∴．
（2）
解：，证明如下：
∵，
∴，即，
等腰直角三角形，
，
在和中，，
，
∴，
，
．
（3）
解：∵，
∴，即，
等腰直角三角形，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
故的长为．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确找出全等三角形是解题关键．
28．阅读感悟：
学习过平方根的概念之后，我们知道，等；七年级下学期我们学习过“积的乘方”，我们知道（是正整数），所以我们可以计算出；学完实数后，有理数运算的法则、公式和运算律仍然适用，例如：
聪明的小明发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
我们来进行以下的探索：
设（其中，，，都是正整数），则有，
，，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）______－______；
（2）当，，，都为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得_______，_______；
（3）且，，都为正整数，求的值．
【答案】（1）14，6；（2），；（3）9或21
【分析】（1）利用完全平方公式展开，计算即可；
（2）利用完全平方公式展开，根据等式的性质即可得出答案；
（3）根据（2）的结论得到，由，，都为正整数，即可求解．
【详解】（1）
故答案为：14，6；
（2）∵，
∴，，
故答案为：，；
（3）∵，
∴，
而，都为正整数，
∴，或，，
当，时，；
当，时，．
即的值为9或21．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，完全平方公式的应用，理解有理数运算的法则、公式和运算律在实数运算中仍然适用是正确计算的前提．a
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
x
1
y
100
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