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苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题11易错易混集训：勾股定理(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题11易错易混集训：勾股定理(原卷版+解析)，共20页。
易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解
易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解
易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式
易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解
例题：（2022·湖北·恩施市崔坝镇民族中学八年级阶段练习）若一个直角三角形的两边长为3和4，则它第三边的长为______．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳外国语学校七年级期末）在Rt△ABC中，，．则＝（ ）
A．8B．16或64C．4D．4或16
2．（2021·甘肃·景泰县第四中学八年级期中）已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则=__________．
3．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如果一个直角三角形的两条边长分别为8和15，那么这个三角形的第三边长为______．
4．（2022·安徽·合肥市西苑中学八年级期中）已知x、y为直角三角形的两边且满足，则该直角三角形的第三边为______．
5．（2020·四川成都·八年级阶段练习）如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．
易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解
例题：（2021·北京市鲁迅中学八年级期中）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC=___________．
【变式训练】
1．（2021·黑龙江牡丹江·八年级期末）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为________________．
2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．
易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解
例题：（2022·浙江绍兴·二模）在△ABC中，AC＝4，BC＝2，AB=2，以AB为边在△ABC外作等腰直角△ABD，连接CD，则CD=_____．
【变式训练】
1．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为_____．
2．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的直角三角形时，BD的长可能是______．
3．（2022·湖北武汉·八年级阶段练习）Rt△ABC中，直角边AC＝8，斜边AB＝17，在直线AC上取一点D，使△ABD为等腰三角形，则该等腰三角形的周长为 _____．
易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式
例题：（2021·新疆伊犁·八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是12 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是___________cm．
【变式训练】
1．（2021·山东·烟台市福山区教学研究中心七年级期中）如图，A，B是一棱长为3cm的正方体的顶点，点C在棱上，且BC＝1cm．若一只蚂蚁每秒爬行2cm，在顶点A处的蚂蚁沿着正方体的前侧面和右侧面爬行到C点，至少爬行______________秒？
2．（2022·广东梅州·八年级期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________的路程．
3．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．
4．（2022·全国·八年级）如图是一块长、宽、高分别为4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 __．
5．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为_________m．
专题11 易错易混集训：勾股定理
易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解
易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解
易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解
易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式
易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解
例题：（2022·湖北·恩施市崔坝镇民族中学八年级阶段练习）若一个直角三角形的两边长为3和4，则它第三边的长为______．
【答案】或5
【分析】分边长为4的边是斜边和直角边两种情况，再分别利用勾股定理即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当边长为5的边是斜边时，
则第三边长为；
（2）当边长为5的边是直角边时，
则第三边长为；
综上，第三边长为或5，
故答案为：或5．
【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳外国语学校七年级期末）在Rt△ABC中，，．则＝（ ）
A．8B．16或64C．4D．4或16
【答案】D
【分析】根据勾股定理分情况讨论求解即可．
【详解】解：当∠C=90°时，
；
当∠A=90°时，
；
故选：D．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，理解题意进行分类讨论是解题关键．
2．（2021·甘肃·景泰县第四中学八年级期中）已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则=__________．
【答案】85或13##13或85
【分析】分6和7都为两直角边和6为直角边，7为斜边，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当6和7都为直角边时，由勾股定理得；
当6为直角边，7为斜边时，，
综上，=85或13，
故答案为：85或13．
【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理，利用分类讨论思想求解是解答的关键．
3．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如果一个直角三角形的两条边长分别为8和15，那么这个三角形的第三边长为______．
【答案】17或
【分析】分两种情况：当8和15都是直角边时；当15是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
【详解】解：当8和15都是直角边时，第三边长为：，
当15是斜边长时，第三边长为：．
故答案为：或
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
4．（2022·安徽·合肥市西苑中学八年级期中）已知x、y为直角三角形的两边且满足，则该直角三角形的第三边为______．
【答案】5或##或5
【解析】
【分析】
由非负性的性质可求得x与y的值，再分两种情况，利用勾股定理即可求得第三边的长．
【详解】
∵，，且，
∴，，
解得：x=3，y=4．
当x=3，y=4为直角三角形的两直角边时，由勾股定理得第三边为：；
当x=3为一直角边，y=4为斜边时，由勾股定理得第三边为：．
故答案为：5或．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，涉及两个非负数的和为零则它们均为零的性质，注意求得的两边无法确定都是直角边还是一条直角边和一条斜边，故要分类讨论．
5．（2020·四川成都·八年级阶段练习）如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．
【答案】5或##或
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，再利用勾股定理可得答案.
【详解】
解：当为直角边时，
当为斜边时，则为直角边，
故答案为：或
【点睛】
本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.
易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解
例题：（2021·北京市鲁迅中学八年级期中）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC=___________．
【答案】7或25
【解析】
【分析】
已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即∠ABC是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解．
【详解】
解：分两种情况：
①如图1，△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，
由勾股定理得：BD=
在Rt△ADC中AC=20，AD=12，
由勾股定理得：DC=
∴BC的长为BD+DC=9+16=25．
②如图2，同理得：BD=9，DC=16，
∴BC=CD-BD=7．
综上所述，BC的长为25或7．
故答案为：25或7．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是在直角三角形中用勾股定理求得线段的长．当已知条件中没有明确角的大小时，要注意讨论．
【变式训练】
1．（2021·黑龙江牡丹江·八年级期末）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为________________．
【答案】32或42##42或32
【解析】
【分析】
作出图形，利用勾股定理列式求出、，再分在内部和外部两种情况求出，然后根据三角形的周长的定义解答即可．
【详解】
解：，，边上的高，
，
，
如图1，在内部时，，
此时，的周长，
如图2，在外部时，，
此时，的周长，
综上所述，的周长为32或42．
故答案为：32或42．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是分情况讨论求出的长，作出图形更形象直观．
2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，
∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5
在中，
或
故答案为：或
【点睛】
本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键．
易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解
例题：（2022·浙江绍兴·二模）在△ABC中，AC＝4，BC＝2，AB=2，以AB为边在△ABC外作等腰直角△ABD，连接CD，则CD=_____．
【答案】2或或
【解析】
【分析】
分三种情况画出图形，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【详解】
解：如图1，∠ABD=90°，
∵AC=4，BC=2，AB=2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，
延长CB，过点D作DE⊥CB于点E，
∵DE⊥CB，
∴∠BED=∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=BD，∠ABD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∴∠CAB=∠EBD，
在△ACB与△BED中，
，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=CB=2，
∴CE=6，
根据勾股定理得：；
如图2，∠BAD=90°，过点D作DE⊥CA，垂足为点E．
∵BC⊥CA，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠CAB+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠ADE，
在△ACB与△DEA中，
，
∴△ACB≌△DEA（AAS），
∴DE=AC=4，AE=BC=2，
∴CE=6，
根据勾股定理得：；
如图3，∠ADB=90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
在△AFD和△DEB中，
，
∴△AFD≌△DEB（AAS），
∴AF=DE，DF=BE，
∴2+DF+BE=4，
∴DF=BE=1，
∴CE=DE=3，
∴．
综合以上可得CD的长为2或或．
故答案为2或或．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为_____．
【答案】5或8或
【解析】
【分析】
当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【详解】
在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；
①当AB＝BP时，如图1，t＝5；
②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
故答案为：5或t＝8或t＝．
【点睛】
本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
2．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的直角三角形时，BD的长可能是______．
【答案】3或或
【分析】分，，三种情况，分别作出图形，解直角三角形即可．
【详解】解：由折叠性质可得：
，，，
在中，
，，，
①如图，当时，
为直角三角形，
，，
，
，
为等边三角形，
，
；
②如图，当时，
为直角三角形，
；
③当时，
为直角三角形，
，
为等边三角形，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
综上，或或，
故答案为：3或或．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是分类讨论，将图形作出．
3．（2022·湖北武汉·八年级阶段练习）Rt△ABC中，直角边AC＝8，斜边AB＝17，在直线AC上取一点D，使△ABD为等腰三角形，则该等腰三角形的周长为 _____．
【答案】50或34+3或34+5或
【分析】分三种情况讨论：①如图1，当AB＝BD＝17时；②如图2，当AB＝AD＝17时；③如图3，当AB为底时，AD＝BD．
【详解】解：在Rt△ABC中，BC，
①如图，
图1
当AB＝BD＝17时，CD＝CA＝8时，
AD＝16，
∴△ABD的周长为17×2+16＝50；
②如图，
图2
当AB＝AD＝17时，
得CD＝AD﹣AC＝9或CD＝AD+AC＝25，
在Rt△BCD中，或，
∴△ABD的周长为或．
③如图，
图3
当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x﹣8，
在Rt△BCD中，BD2＝CD2+BC2，
即x2＝（x﹣8）2+152，解得：，
∴△ABD的周长为．
综上，△ABD的周长为50或34+3或34+5或．
故答案为：50或34+3或34+5或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，分类讨论思想是本题的关键．
易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式
例题：（2021·新疆伊犁·八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是12 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是___________cm．
【答案】
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理解答即可．
【详解】解：如图
如图
如图
它所行的最短路线的长为：
故答案为：．
【点睛】本题考查平面展开图—最短路径问题，是重要考点，掌握分类讨论法是解题关键．
【变式训练】
1．（2021·山东·烟台市福山区教学研究中心七年级期中）如图，A，B是一棱长为3cm的正方体的顶点，点C在棱上，且BC＝1cm．若一只蚂蚁每秒爬行2cm，在顶点A处的蚂蚁沿着正方体的前侧面和右侧面爬行到C点，至少爬行______________秒？
【答案】2.5
【分析】把此正方体的点A所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和C点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离，根据蚂蚁爬行的距离，即可求出爬行时间．
【详解】解：将正方体的前侧面和右侧面展开，如图所示：
根据题意可得：，
∴蚂蚁爬行的最短距离为：，
∵蚂蚁每秒爬行2cm，
∴蚂蚁爬行的最短时间为：（秒）．
故答案为：2.5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的拓展应用，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
2．（2022·广东梅州·八年级期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________的路程．
【答案】26m
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加4米，则AB=20+4=24(m)，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，
∴AC==26(m)，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26m的路程．
故答案为：26m．
【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
3．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．
【答案】15
【分析】根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解；
【详解】解：圆柱体玻璃杯展开图如下，作；
∵底面周长为24cm，
∴
∵，
∴cm，
∴cm，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意正确得到圆柱体的展开图是解题的关键．
4．（2022·全国·八年级）如图是一块长、宽、高分别为4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 __．
【答案】5cm
【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．
【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（2+4）2+12＝37；
（2）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（1+4）2+22＝29；
（3）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（2+1）2+42＝25．
所以最短路径的长为AB＝＝5cm．
故答案为：5cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．注意在三种不同的情况，要一一求得再比较．
5．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为_________m．
【答案】
【分析】根据题意可得，AD＝12m，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20m，线段AE即为滑行的最短路线长．在R t△ADE中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长．
【详解】解：如图，
根据题意可知：
AD＝＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，
线段AE即为滑行的最短路线长．
在Tt△ADE中，根据勾股定理，得
AE＝（m）．
故答案为：
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解决本题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求最短距离．
易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解
易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解
易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式
易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解
例题：（2022·湖北·恩施市崔坝镇民族中学八年级阶段练习）若一个直角三角形的两边长为3和4，则它第三边的长为______．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳外国语学校七年级期末）在Rt△ABC中，，．则＝（ ）
A．8B．16或64C．4D．4或16
2．（2021·甘肃·景泰县第四中学八年级期中）已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则=__________．
3．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如果一个直角三角形的两条边长分别为8和15，那么这个三角形的第三边长为______．
4．（2022·安徽·合肥市西苑中学八年级期中）已知x、y为直角三角形的两边且满足，则该直角三角形的第三边为______．
5．（2020·四川成都·八年级阶段练习）如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．
易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解
例题：（2021·北京市鲁迅中学八年级期中）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC=___________．
【变式训练】
1．（2021·黑龙江牡丹江·八年级期末）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为________________．
2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．
易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解
例题：（2022·浙江绍兴·二模）在△ABC中，AC＝4，BC＝2，AB=2，以AB为边在△ABC外作等腰直角△ABD，连接CD，则CD=_____．
【变式训练】
1．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为_____．
2．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的直角三角形时，BD的长可能是______．
3．（2022·湖北武汉·八年级阶段练习）Rt△ABC中，直角边AC＝8，斜边AB＝17，在直线AC上取一点D，使△ABD为等腰三角形，则该等腰三角形的周长为 _____．
易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式
例题：（2021·新疆伊犁·八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是12 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是___________cm．
【变式训练】
1．（2021·山东·烟台市福山区教学研究中心七年级期中）如图，A，B是一棱长为3cm的正方体的顶点，点C在棱上，且BC＝1cm．若一只蚂蚁每秒爬行2cm，在顶点A处的蚂蚁沿着正方体的前侧面和右侧面爬行到C点，至少爬行______________秒？
2．（2022·广东梅州·八年级期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________的路程．
3．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．
4．（2022·全国·八年级）如图是一块长、宽、高分别为4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 __．
5．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为_________m．
专题11 易错易混集训：勾股定理
易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解
易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解
易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解
易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式
易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解
例题：（2022·湖北·恩施市崔坝镇民族中学八年级阶段练习）若一个直角三角形的两边长为3和4，则它第三边的长为______．
【答案】或5
【分析】分边长为4的边是斜边和直角边两种情况，再分别利用勾股定理即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当边长为5的边是斜边时，
则第三边长为；
（2）当边长为5的边是直角边时，
则第三边长为；
综上，第三边长为或5，
故答案为：或5．
【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳外国语学校七年级期末）在Rt△ABC中，，．则＝（ ）
A．8B．16或64C．4D．4或16
【答案】D
【分析】根据勾股定理分情况讨论求解即可．
【详解】解：当∠C=90°时，
；
当∠A=90°时，
；
故选：D．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，理解题意进行分类讨论是解题关键．
2．（2021·甘肃·景泰县第四中学八年级期中）已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则=__________．
【答案】85或13##13或85
【分析】分6和7都为两直角边和6为直角边，7为斜边，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当6和7都为直角边时，由勾股定理得；
当6为直角边，7为斜边时，，
综上，=85或13，
故答案为：85或13．
【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理，利用分类讨论思想求解是解答的关键．
3．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如果一个直角三角形的两条边长分别为8和15，那么这个三角形的第三边长为______．
【答案】17或
【分析】分两种情况：当8和15都是直角边时；当15是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
【详解】解：当8和15都是直角边时，第三边长为：，
当15是斜边长时，第三边长为：．
故答案为：或
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
4．（2022·安徽·合肥市西苑中学八年级期中）已知x、y为直角三角形的两边且满足，则该直角三角形的第三边为______．
【答案】5或##或5
【解析】
【分析】
由非负性的性质可求得x与y的值，再分两种情况，利用勾股定理即可求得第三边的长．
【详解】
∵，，且，
∴，，
解得：x=3，y=4．
当x=3，y=4为直角三角形的两直角边时，由勾股定理得第三边为：；
当x=3为一直角边，y=4为斜边时，由勾股定理得第三边为：．
故答案为：5或．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，涉及两个非负数的和为零则它们均为零的性质，注意求得的两边无法确定都是直角边还是一条直角边和一条斜边，故要分类讨论．
5．（2020·四川成都·八年级阶段练习）如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．
【答案】5或##或
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，再利用勾股定理可得答案.
【详解】
解：当为直角边时，
当为斜边时，则为直角边，
故答案为：或
【点睛】
本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.
易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解
例题：（2021·北京市鲁迅中学八年级期中）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC=___________．
【答案】7或25
【解析】
【分析】
已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即∠ABC是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解．
【详解】
解：分两种情况：
①如图1，△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，
由勾股定理得：BD=
在Rt△ADC中AC=20，AD=12，
由勾股定理得：DC=
∴BC的长为BD+DC=9+16=25．
②如图2，同理得：BD=9，DC=16，
∴BC=CD-BD=7．
综上所述，BC的长为25或7．
故答案为：25或7．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是在直角三角形中用勾股定理求得线段的长．当已知条件中没有明确角的大小时，要注意讨论．
【变式训练】
1．（2021·黑龙江牡丹江·八年级期末）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为________________．
【答案】32或42##42或32
【解析】
【分析】
作出图形，利用勾股定理列式求出、，再分在内部和外部两种情况求出，然后根据三角形的周长的定义解答即可．
【详解】
解：，，边上的高，
，
，
如图1，在内部时，，
此时，的周长，
如图2，在外部时，，
此时，的周长，
综上所述，的周长为32或42．
故答案为：32或42．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是分情况讨论求出的长，作出图形更形象直观．
2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，
∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5
在中，
或
故答案为：或
【点睛】
本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键．
易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解
例题：（2022·浙江绍兴·二模）在△ABC中，AC＝4，BC＝2，AB=2，以AB为边在△ABC外作等腰直角△ABD，连接CD，则CD=_____．
【答案】2或或
【解析】
【分析】
分三种情况画出图形，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【详解】
解：如图1，∠ABD=90°，
∵AC=4，BC=2，AB=2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，
延长CB，过点D作DE⊥CB于点E，
∵DE⊥CB，
∴∠BED=∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=BD，∠ABD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∴∠CAB=∠EBD，
在△ACB与△BED中，
，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=CB=2，
∴CE=6，
根据勾股定理得：；
如图2，∠BAD=90°，过点D作DE⊥CA，垂足为点E．
∵BC⊥CA，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠CAB+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠ADE，
在△ACB与△DEA中，
，
∴△ACB≌△DEA（AAS），
∴DE=AC=4，AE=BC=2，
∴CE=6，
根据勾股定理得：；
如图3，∠ADB=90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
在△AFD和△DEB中，
，
∴△AFD≌△DEB（AAS），
∴AF=DE，DF=BE，
∴2+DF+BE=4，
∴DF=BE=1，
∴CE=DE=3，
∴．
综合以上可得CD的长为2或或．
故答案为2或或．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为_____．
【答案】5或8或
【解析】
【分析】
当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【详解】
在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；
①当AB＝BP时，如图1，t＝5；
②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
故答案为：5或t＝8或t＝．
【点睛】
本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
2．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的直角三角形时，BD的长可能是______．
【答案】3或或
【分析】分，，三种情况，分别作出图形，解直角三角形即可．
【详解】解：由折叠性质可得：
，，，
在中，
，，，
①如图，当时，
为直角三角形，
，，
，
，
为等边三角形，
，
；
②如图，当时，
为直角三角形，
；
③当时，
为直角三角形，
，
为等边三角形，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
综上，或或，
故答案为：3或或．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是分类讨论，将图形作出．
3．（2022·湖北武汉·八年级阶段练习）Rt△ABC中，直角边AC＝8，斜边AB＝17，在直线AC上取一点D，使△ABD为等腰三角形，则该等腰三角形的周长为 _____．
【答案】50或34+3或34+5或
【分析】分三种情况讨论：①如图1，当AB＝BD＝17时；②如图2，当AB＝AD＝17时；③如图3，当AB为底时，AD＝BD．
【详解】解：在Rt△ABC中，BC，
①如图，
图1
当AB＝BD＝17时，CD＝CA＝8时，
AD＝16，
∴△ABD的周长为17×2+16＝50；
②如图，
图2
当AB＝AD＝17时，
得CD＝AD﹣AC＝9或CD＝AD+AC＝25，
在Rt△BCD中，或，
∴△ABD的周长为或．
③如图，
图3
当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x﹣8，
在Rt△BCD中，BD2＝CD2+BC2，
即x2＝（x﹣8）2+152，解得：，
∴△ABD的周长为．
综上，△ABD的周长为50或34+3或34+5或．
故答案为：50或34+3或34+5或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，分类讨论思想是本题的关键．
易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式
例题：（2021·新疆伊犁·八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是12 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是___________cm．
【答案】
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理解答即可．
【详解】解：如图
如图
如图
它所行的最短路线的长为：
故答案为：．
【点睛】本题考查平面展开图—最短路径问题，是重要考点，掌握分类讨论法是解题关键．
【变式训练】
1．（2021·山东·烟台市福山区教学研究中心七年级期中）如图，A，B是一棱长为3cm的正方体的顶点，点C在棱上，且BC＝1cm．若一只蚂蚁每秒爬行2cm，在顶点A处的蚂蚁沿着正方体的前侧面和右侧面爬行到C点，至少爬行______________秒？
【答案】2.5
【分析】把此正方体的点A所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和C点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离，根据蚂蚁爬行的距离，即可求出爬行时间．
【详解】解：将正方体的前侧面和右侧面展开，如图所示：
根据题意可得：，
∴蚂蚁爬行的最短距离为：，
∵蚂蚁每秒爬行2cm，
∴蚂蚁爬行的最短时间为：（秒）．
故答案为：2.5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的拓展应用，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
2．（2022·广东梅州·八年级期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________的路程．
【答案】26m
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加4米，则AB=20+4=24(m)，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，
∴AC==26(m)，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26m的路程．
故答案为：26m．
【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
3．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．
【答案】15
【分析】根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解；
【详解】解：圆柱体玻璃杯展开图如下，作；
∵底面周长为24cm，
∴
∵，
∴cm，
∴cm，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意正确得到圆柱体的展开图是解题的关键．
4．（2022·全国·八年级）如图是一块长、宽、高分别为4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 __．
【答案】5cm
【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．
【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（2+4）2+12＝37；
（2）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（1+4）2+22＝29；
（3）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（2+1）2+42＝25．
所以最短路径的长为AB＝＝5cm．
故答案为：5cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．注意在三种不同的情况，要一一求得再比较．
5．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为_________m．
【答案】
【分析】根据题意可得，AD＝12m，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20m，线段AE即为滑行的最短路线长．在R t△ADE中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长．
【详解】解：如图，
根据题意可知：
AD＝＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，
线段AE即为滑行的最短路线长．
在Tt△ADE中，根据勾股定理，得
AE＝（m）．
故答案为：
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解决本题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求最短距离．
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