精品解析：广东省深圳市龙岗区深圳龙城初级中学2022-2023学年九年级上学期期末质量检测数学试题

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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每题4分，共48分）
1. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱．
故选C．
2. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 ，， ．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出黄色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
【详解】解：∵黄扇形区域的圆心角为，
所以黄色区域所占的面积比例为，
即转动圆盘一次，指针停在黄色区域的概率是，
故选：B．
【点睛】此题考查几何概率的求法，事件（A）所表示的区域的面积与总面积的值，就是事件（A）发生的概率．
3. 用求根公式计算方程的根，公式中b的值为( )
A. 3 B. -3 C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义来解答：二次项系数是a、一次项系数是b、常数项是c．
【详解】解：由方程根据一元二次方程的定义，知一次项系数b=-3，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的定义，关键是往往把一次项系数-3误认为3，所以，在解答时要注意这一点．
4. 已知函数：(1)xy=9；(2)y=；(3)y=-；(4)y=；(5) y=，其中反比例函数的个数为(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据反比例函数定义判定即可．
【详解】解：反比例函数有：xy=9；y=；y=-．
故答案为C．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，即形如y=（k≠0）的函数关系叫反比例函数关系．
5. 如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（　　）
A. 40° B. 45° C. 60° D. 80°
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：∵弧长，∴圆心角．故选A．
6. 如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（　　）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【详解】过点A向BC作AH⊥BC于点H，

所以根据相似比可知：，即EF=2（6-x）
所以y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）
该函数图象是抛物线的一部分，
故选D．
【点睛】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
7. 小敏打算在某外卖网站点如下表所示的菜品和米饭.已知每份订单的配送费为3元，商家为促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元.如果小敏在购买下表的所有菜品和米饭时，采取适当的下单方式，那么他的总费用最低可为（ ）
菜品
单价（含包装费）
数量

水煮牛肉（小）
30元
1

醋溜土豆丝（小）
12元
1

豉汁排骨（小）
30元
1

手撕包菜（小）
12元
1

米饭
3元
2

A. 48元 B. 51元 C. 54元 D. 59元
【答案】C
【解析】
【分析】根据满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，即可得到结论．
【详解】小宇应采取的订单方式是60一份，30一份，所以点餐总费用最低可为60−30＋3＋30−12＋3＝54元，
答：他点餐总费用最低可为54元．
故选C.
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确的理解题意是解题的关键．
8. 如图，在菱形中，已知，，以为直径的与菱形相交，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形与的圆的对称性到△AOE为等边三角形，故可利用扇形AOE的面积减去△AOE的面积得到需要割补的面积，再利用圆的面积减去4倍的需要割去的面积即可求解.
【详解】∵菱形中，已知，，连接AO,BO，
∴∠ABO=30°，∠AOB=90°，
∴∠BAO=60°，又AO=EO,
∴△AOE为等边三角形,故AE=EO=AB=2
∴r=2
∴S扇形AOE==
S△AOE===
∴图中阴影部分的面积=×22-4（-）=
故选D.

【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
9. 把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A. y=﹣2（x+1）2+2
B. y=﹣2（x+1）2﹣2
C. y=﹣2（x﹣1）2+2
D. y=﹣2（x﹣1）2﹣2
【答案】C
【解析】
【详解】解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，
所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，
故选C．
10. 已知x＝5是分式方程＝的解，则a的值为（　　）
A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】现将x=5代入分式方程，再根据解分式方程的步骤解出a即可．
【详解】∵x＝5是分式方程＝的解，
∴＝，
∴＝，
解得a＝2．
故选：C．
【点睛】本题考查解分式方程，关键在于代入x的值，熟记分式方程的解法．
11. 如图，CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交双曲线y＝于点A，B，若OA＝AC，△OCB的面积为6，则k的值为（　　）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】设A（m，n），根据题意则C（2m，2n），根据系数k的几何意义，k=mn，△BOD面积为k，即可得到S△ODC=•2m•2n=2mn=2k，即可得到6+k=2k，解得k=4．
【详解】设A（m，n），
∵CD⊥x轴，垂足为D，OA＝AC，
∴C（2m，2n），
∵点A，B在双曲线y＝上，
∴k＝mn，
∴S△ODC＝×2m×2n＝2mn＝2k，
∵△OCB的面积为6，△BOD面积为k，
∴6+k＝2k，解得k＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
12. 已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（　　）
A. a＝±1 B. a＝1 C. a＝﹣1 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】将（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值．
【详解】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为﹣1．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数，二次函数图像上的点满足二次函数解析式，熟练掌握这一点是解题的关键，同时解题过程中要注意二次项系数不为0．
二、填空题（每题4分，共24分）
13. 如图，在△ABC中，∠BAC=75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转，得△AB'C'，连接BB'，若BB'∥AC'，则∠BAC′ 的度数是______________.

【答案】105°
【解析】
【分析】根据旋转性质得AB′=AB，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AB′B=∠ABB′，然后根据平行线的性质得到∠AB′B=∠C′AB′=75°，于是得到结论．
【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，
∴AB′=AB，∠B′AB=∠C′AC，∠C′AB′=∠CAB=75°，
∴△AB′B是等腰三角形，
∴∠AB′B=∠ABB′
∵BB'∥AC，
∴∠A B′B=∠C′AB′=75°，
∴∠C′AC=∠B′A B =180°-2×75°=30°，
∴∠BAC′=∠C′AC+∠BA C =30°+75°=105°，
故答案为：105°．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的三个顶点A，B，D均在抛物线y=ax2﹣4ax+3（a＜0）上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为__．

【答案】（4，3）
【解析】
【分析】本题根据菱形的性质和抛物线的对称性得出即可．
【详解】解：因为菱形ABCD的对角线互相垂直平分，A是抛物线的顶点，
所以点B与点D关于对称轴对称，
因为点B是抛物线与y轴的交点，
所以B（0，3），
因为对称轴为直线x=2，
所以点D的坐标为（4，3）．
故答案为（4，3）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，菱形的性质，根据对称性求出二次函数图象的对称轴是解题关键．
15. 已知m,n是方程的两个根，则代数式的值是__________．
【答案】3
【解析】
【分析】由m，n是方程x2-x-2=0的两个根知m+n=1，m2-m=2，代入到原式=2（m2-m）-（m+n）计算可得．
【详解】解：∵m，n是方程x2-x-2=0的两个根，
∴m+n=1，m2-m=2，
则原式=2（m2-m）-（m+n）
=2×2-1
=4-1
=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，，x1x2=.
16. 一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，张兵同学掷一次骰子，骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．
【详解】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的有3，6，
故骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是：．
故答案．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
17. 如图，已知的半径为2，内接于，，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
【详解】连接AD、AE、OA、OB，

∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴AB=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
18. 已知△ABC中，AB＝5，sinB＝，AC＝4，则BC＝_____．
【答案】4+或4﹣
【解析】
【分析】根据题意画出两个图形，过A作AD⊥BC于D，求出AD长，根据勾股定理求出BD、CD，即可求出BC．
【详解】有两种情况：
如图1：过A作AD⊥BC于D，

∵AB＝5，sinB＝＝，
∴AD＝3，
由勾股定理得：BD＝4，
CD＝，
∴BC＝BD+CD＝4+；
如图2：同理可得BD＝4，CD＝，
∴BC＝BD﹣CD＝4﹣．

综上所述，BC的长是4+或4﹣．
故答案为：4+或4﹣．
【点睛】本题考查了解直角三角形的问题，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19. 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．如图1，把一张顶角为36º的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线．

(1)如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45º的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数:(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种) ．
(2)如图3，△ABC 中，AC=2,BC=3,∠C=2∠B，请画出△ABC 的三分线，并求出三分线的长．
【答案】（1）图见解析，；（2）三分线长分别是和
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；由等腰三角形的性质即可求出各个顶角的度数；
（2）根据等腰三角形的判定定力容易画出图形，设，则，，则，得出对应边成比例，设，得出方程组，解方程即可得．
【详解】解:(1)作图如图1、图2所示:
在图1中，








即三个等腰三角形的顶角分别为
在图2中，

，

，

即三个等腰三角形的顶角分别为
(2)
如图3所示，就是所求的三分线
设，则，
此时，
设 ，
∵，∴
∵，∴，
解方程组
解得：，或（负值舍去）
，
即三分线长分别是和
【点睛】本题是相似形的综合性题目，考查了等腰三角形的判定和性质、等腰三角形的画图、相似三角形的判定和性质、解方程组等知识，本题考查学生学习的理解能力及动手创新能力，综合性较强，有一定难度．
20. 小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与下图是他所完成的部分表格与图象，求该二次函数的解析式，并补全表格与图象．


【答案】，（4，5），（5，0）
【解析】
【详解】分析：利用待定系数法、描点法即可解决问题；
本题解析：设二次函数的解析式y=ax²+bx+c．
把（-1，0）（0，5），（2，9）代得到
解得，
∴二次数解析式y=-x +4x+5．
当x=4时，y=5,
当y=0时，x=-1或5.

21. 已知二次函数．

（1）将二次函数化成的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出的图象；
（3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．
【答案】（1） ；（2）画图见解析；（3）－3＜x ＜1
【解析】
【分析】（1）运用配方法进行变形即可；
（2）根据（1）中解析式可以先得出顶点坐标以及对称轴和开口方向朝下，然后进一步分别可以求出与x轴的两个交点，及其与y轴的交点，最后用光滑的曲线连接即可，；
（3）根据所画出的图像得出结论即可.
【详解】（1） ；
（2）由（1）得：顶点坐标：(-1，4)，对称轴为：，开口向下，
当x=0时，y=3，∴交y轴正半轴3处，当y=0时，x=1或-3，∴与x轴有两个交点，
综上所述，图像如图所示：

（3）根据（2）所画图像可得，，－3＜x ＜1.
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
22. 如图⑴，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm． 点M由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点N由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s ．连接MN，设运动时间为t(s)﹙0＜t＜4﹚，解答下列问题：

⑴设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
⑵如图⑵，连接MC，将△MNC沿NC翻折，得到四边形MNPC,当四边形MNPC为菱形时，求t的值；
⑶当t的值为 ，△AMN是等腰三角形．
【答案】（1）， ；（2）t=；（3）或或
【解析】
【分析】（1）如图过点M作MD⊥AC于点D，利用相似三角形的性质求出MD即可解决问题；
（2）连接PM,交AC于D，，当四边形MNPC为菱形时，ND=，即可用t表示AD，再结合第一问的相似可以用另外一个含t式子表示AD，列方程计算即可；
（3）分别用t表示出AP、AQ、PQ，再分三种情况讨论：①当AQ＝AP②当PQ＝AQ③当PQ＝AP，再分别计算即可．
【详解】解：⑴过点M作MD⊥AC于点D．
∵,；

∴AB=10cm．BM=AN=2t
∴AM=10-2t．
∵△ADM∽△ACB
∴即
∴
∴
又
∴S的最大值是；
⑵连接PM,交AC于D，
∵四边形MNPC是菱形，则MP⊥NC,ND=CD

∵CN=8-2t
∴ND=4-t
∴AD=2t+4-t=t+4
由⑴知AD=
∴=t+4
∴t=；
（3）由（1）知，PE＝﹣t+3，与（2）同理得：QE＝AE﹣AQ＝﹣t+4
∴PQ＝＝＝，
在△APQ中，
①当AQ＝AP，即t＝5﹣t时，解得：t1＝；
②当PQ＝AQ，即＝t时，解得：t2＝，t3＝5；
③当PQ＝AP，即＝5﹣t时，解得：t4＝0，t5＝；
∵0＜t＜4，
∴t3＝5，t4＝0不合题意，舍去，
∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答．
23. 某学校游戏节活动中，设计了一个有奖转盘游戏，如图，A转盘被分成三个面积相等的扇形，B转盘被分成四个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，先转动A转盘，记下指针所指区域内的数字，再转动B转盘，记下指针所指区域内的数字（当指针在边界线上时，重新转动转盘，直到指针指向一个区域内为止）

（1）请利用画树状图或列表的方法（只选其中一种），表示出转转盘可能出现的所有结果；
（2）如果将两次转转盘指针所指区域的数据相乘，乘积是无理数时获得一等奖，那么获得一等奖的概率是多少？
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；本题用列表法得出所有等可能的情况，进而可得转转盘可能出现的所有结果；
（2）无理数是无限不循环小数，找出乘积为无理数的情况数，再除以所有等可能出现的结果数，即可求出一等奖的概率．
【详解】（1）由题意列表如下，

由列表得知：当A转盘出现0，1，-1时，B转盘分别可能有4种等可能情况，
所以共有4×3=12种等可能情况．
即（0，）、（0,1．5）、（0,-3）、（0,﹣）、（1，）、（1,1．5）、（1,-3）、（1,﹣）、（-1，）、（-1,1．5）、（-1,-3）、（-1,﹣）．
（2）无理数是无限不循环小数，由列表得知：乘积是无理数的情况有2种，即（1,﹣）、（-1,﹣）．乘积分别是﹣，，
∴P（乘积为无理数）==．即P（获得一等奖）=．
考点：用列表法或树状图法求随机事件的概率．
24. 解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并求出此不等式组的所有整数解.
【答案】见解析
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，将不等式解集表示在数轴上，由两不等式解集的公共部分可得不等式组的解集，即可求得解集内所有整数解．
【详解】解：解不等式，得
解不等式，得
则不等式组的解集为
在数轴上表示如下：

此不等式组的整数解为，0，1.
【点睛】本题考查解一元一次不等式组：先分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．也考查了数轴表示不等式的解集．
25. 如图，无人机在空中处测得地面、两点的俯角分别为60〫、45〫，如果无人机距地面高度米，点、、在同水平直线上，求、两点间的距离．（结果保留根号）

【答案】A、B两点间的距离为100（1+）米
【解析】
【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD即可．
【详解】∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，
∴∠A=60°，∠B=45°，
在中，∵=，
∴AD==100，
在中，BD=CD=100，
∴AB=AD+BD=100+100=100(1+)．
答：A、B两点间的距离为100(1+)米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
26. 如图，四边形ABCE内接于，AB是的直径，点D在AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F，点C是BF的中点，．

（1）求证：CD是的切线；
（2）求证：是等腰三角形；
（3）若，，求的值及EF的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）；
【解析】
【分析】（1）连接OC，C是BF的中点，O是AB的中点，即有，∠CAE＝∠ACO，即可得到∠ACO＝∠BCD．根据AB为⊙O的直径，有∠ACB＝90°，即∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCD+∠BCO＝90°，则有∠OCD＝90°，可知CD是⊙O的切线；
（2）根据点C是BF的中点，且AC⊥BF，有AF＝AB， ∠F＝∠ABC．根据内接四边形ABCE可知∠ABC＝∠FEC，即有∠F＝∠FEC，结论得证；
（3）连接BE，已证得，则有，即有AC＝2BC和AB的长度．在直角△ACB中，利用勾股定理得到BC＝FC＝EC＝．即有cos∠CBA＝．根据AB是⊙O的直径，BE⊥AF，即有，即有一个关于EF的一元二次方程，解方程即可求得EF．
【小问1详解】
证明：连接OC，如图所示：
∵C是BF的中点，O是AB的中点，
∴ ，
∴∠CAE＝∠ACO．
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠ACO＝∠BCD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
【小问2详解】
证明：∵点C是BF的中点，且AC⊥BF，
∴AF＝AB，
∴∠F＝∠ABC．
∵四边形ABCE内接于⊙O，
∴∠ABC＝∠FEC，
∴∠F＝∠FEC，
∴△CEF是等腰三角形；
【小问3详解】
连接BE，
∵∠BCD＝∠ACO＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴，
∴，
∴，
∴AD＝4，AC＝2BC，
∴AB＝AD﹣BD＝4﹣1＝3．
在直角△ACB中，由勾股定理得到：，即．
∴BC＝FC＝EC＝．
∴cos∠CBA＝．
∵AB是⊙O的直径，
∴BE⊥AF，
∴，即
解得EF＝．

【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，证得CD是圆的切线是解答本题的关键．