精品解析：广东省深圳市深圳中学2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷

2022-2023学年度第一学期期末诊断

初三年级数学试卷

一、选择题

1. 下面几何体的左视图是（ ）.

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

【详解】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，

故选：A．

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是从左边看得到的图形是左视图．

2. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各个选项判断即可解答．

【详解】A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；

D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解答的关键．

3. 如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为（    ）

A. 24 B. 18 C. 16 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】易得长为长的2倍，那么菱形的周长，问题得解．

【详解】解：∵是的中点，

∴，

∵，

∴，

即，

∴是的中位线，

∴，

∴菱形的周长是，故C正确．

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．

4. 学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先画出树状图，然后运用概率公式求解即可．

【详解】解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，俗好选出是一男一女两位选手的概率为．

故选C．

【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，根据题意正确画出树状图成为解答本题的关键．

5. ，且相似比为，则它们的面积比等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．

【详解】解：∵，且相似比为，

∴它们的面积比为，

故选：C．

【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方．

6. 关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（）

A. 图像经过点（1，1） B. 两个分支分布在第二、四象限

C. 两个分支关于x轴成轴对称 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小

【答案】D

【解析】

【分析】根据反比例函数的图像与性质，已知k=3>0，即可一一进行判断．

【详解】解：A.把点（1，1）代入反比例函数，得3≠1不成立，故A错误；

B.由k=3>0可知，图像位于第一、三象限，故B错误；

C.图像的两个分支关于y=x对称，故C错误；

D.当x＜0时，y随x的增大而减小，故D正确．

故选D．

【点睛】本题考查反比例函数，难度不大，熟练掌握反比例函数的基本性质即可解题．

7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（　　）

A. BE＝EF B. EF∥CD C. AE平分∠BEF D. AB＝AE

【答案】D

【解析】

【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．

【详解】由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠BEA．

∴∠BAE＝∠BEA，

∴AB＝BE，

∵AF＝AB，

∴AF＝BE，

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AF＝AB，

∴四边形ABEF是菱形，

∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确，

∵CD∥AB，

∴EF∥CD，故选项B正确；

故选D．

【点睛】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

8. 若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第(　　)象限．

A. 四 B. 三 C. 二 D. 一

【答案】D

【解析】

【分析】首先根据方程无实数根，求出m<-1，再判断一次函数的图象经过的象限问题．

【详解】解：∵一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，

∴△=4+4m<0，

即m<-1，

∴一次函数的比例系数m+1<0，

图像经过二四象限，

截距m-1<0，

则图象与y轴交于负半轴，图像过第三象限

∴一次函数y=(m+1)x+m-1的图像不经过第一象限，

故选D．

【点睛】本题考查了根的判别式、一次函数的图象，解题的关键是求出m的取值范围．

9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（   ）

A 1 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．

【详解】解：设CE=x，则BE=3-x，

由折叠性质可知，

EF=CE=x，DF=CD=AB=5

在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，

∴AF=，

∴BF=AB-AF=5-4=1，

在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，

即(3-x)2+12=x2，

解得x=，

故选：D．

【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．

10. 如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE•OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE= ，其中正确结论的个数是（   ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【详解】∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，

∵BP=CQ，

∴AP=BQ，

在△DAP与△ABQ中， ，

∴△DAP≌△ABQ，

∴∠P=∠Q，

∵∠Q+∠QAB=90°，

∴∠P+∠QAB=90°，

∴∠AOP=90°，

∴AQ⊥DP；

故①正确；

∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，

∴∠DAO=∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴ ，

∴AO2=OD•OP，

∵AE＞AB，

∴AE＞AD，

∴OD≠OE，

∴OA2≠OE•OP；故②错误；

在△CQF与△BPE中 ，

∴△CQF≌△BPE，

∴CF=BE，

∴DF=CE，

在△ADF与△DCE中， ，

∴△ADF≌△DCE，

∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，

即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；

∵BP=1，AB=3，

∴AP=4，

∵△AOP∽△DAP，

∴ ，

∴BE=，∴QE=，

∵△QOE∽△PAD，

∴ ，

∴QO=，OE=，

∴AO=5﹣QO=，

∴tan∠OAE==，故④正确，

故选C．

点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

二、填空题

11. 若关于x的一元二次方程x2＋(m＋2) x－2＝0的一个根是1，则m的值为______.

【答案】-1

【解析】

【分析】把x=1代入已知方程可以得到关于m的一元一次方程，解该一元一次方程即可．

【详解】解：把x=1代入x2+（m+2）x-2=0，得

12+（m+2）-2=0，即m+2-1=0，
解得m=-1．
故答案为：-1．

【点睛】本题考查一元一次方程的解，掌握方程解的意义是解题的关键.

12. 如图，点A在双曲线上，点C在双曲线上，轴，过点A作轴，垂足为点B，连接，，与x轴交于点D，若，面积为6，则的值为__________．

【答案】
 

【解析】

【分析】设轴的垂足为点E，点，则，根据，，得到，根据，得到，故点，结合题意，得到，，，解得，，计算的值即可．

【详解】解：设轴的垂足为点E，点，则，

因为轴，轴，

所以，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以点，

因为点A在双曲线上，点C在双曲线上，

所以，，

因为面积为6，

所以，

所以，

所以，，

所以．

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，线段与坐标的关系，平行线分线段成比例定理，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

13. 小明身高是，其影长是，同一时刻古塔的影长是，则古塔的高是________．

【答案】14.4

【解析】

【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出古塔高度即可列方程解答．

【详解】解：设古塔高度为，列方程得：

，

解得，

故旗杆的高度为．

故答案为：14.4．

【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

14. 如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，矩形内的一个动点P落在阴影部分的概率是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据矩形的性质可得，利用ASA可证明，可得阴影部分的面积，根据等底等高的两个三角形面积相等可得，即可得出，利用概率公式即可得答案．

【详解】∵四边形为矩形，

∴，AB//CD，

∴∠EBO=∠FDO，

在与中，，

∴，

∴阴影部分的面积，

∵与等底等高，

∴，

∵，

∴．

∴矩形内的一个动点P落在阴影部分的概率是，

故答案为：

【点睛】本题考查了几何概率、矩形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形当性质并熟练掌握概率公式是解题关键．

15. 如图，等边中，，为上一动点，，，则最小值为________．

【答案】

【解析】

【分析】如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于H，首先证明是顶角为的等腰三角形，当的值最小时，的值最小，即可求出的最小值．

【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于H，

∵是等边三角形，

∴，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴C、D、P、E四点共圆，

∴，

∴当值最小时，的值最小，

根据垂线段最短可得，当时，，此时最小，，

∵，， 

∴，，

∴，

∴，

∴的值最小为，

故答案为．

【点睛】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确判断当时最小是解题的关键．

三、解答题

16. 解一元二次方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1），，   

（2），

【解析】

【分析】（1）直接用因式分解法即可得到答案；

（2）根据完全平方公式展开，利用配方法求解即可得到答案．

【小问1详解】

解：因式分解得，

，

即或，

解得：，，

∴原方程解为：，；

【小问2详解】

解：原方程变形可得，

，

配方可得，

，

即，

两边开方得，

，

∴方程解为：，．

【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法求解．

17. 如图，在中，是上的一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，且，连接．

（1）求证：是的中点；

（2）若，试判断四边形形状，并证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）矩形，证明见解析

【解析】

【分析】（1）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论；

（2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．

【详解】解：（1）证明：∵E是AD的中点，

∴AE=DE．

∵AF∥BC，

∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）．

∴AF=BD．

∵AF=DC，

∴BD=DC．

即：D是BC的中点．

（2）四边形ADCF是矩形；

证明：∵AF=DC，AF∥DC，

∴四边形ADCF是平行四边形．

∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC即∠ADC=90°．

∴平行四边形ADCF是矩形．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．

18. 已知一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝图象相交于A(-4，2)，B(n，－4)两点.

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）观察图象，直接写出不等式kx＋b－＜0的解集．

【答案】(1) y＝－, y＝－x－2;(2)6;(3) x＞2或-4＜x＜0.

【解析】

【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=-8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y=-x-2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＞2或-4＜x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．

【详解】(1)把A(－4，2)的坐标代入y＝，得m＝2×(－4)＝－8，

∴反比例函数的解析式为y＝－.

把B(n，－4)的坐标代入y＝－，得－4n＝－8，

解得n＝2.∴B(2，－4)．

把A(－4，2)和B(2，－4)的坐标代入y＝kx＋b，得

解得

∴一次函数的解析式为y＝－x－2.

（2）y＝－x－2中，令y＝0，则x＝－2，

即直线y＝－x－2与x轴交于点C(－2，0)．

∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×4＝6.

（3）由图可得，不等式kx＋b－＞0的解集为x＞2或-4＜x＜0.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．

19. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）写出每日销售量（件）和降价幅度（元）之间的函数关系；

（2）若商场每天要获利润元，请计算出每件衬衫应降价多少元？

【答案】（1）（）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件列等式即可得到答案；

（2）根据利润利润单价数量列方程求解即可得到答案．

【小问1详解】

解：由题意可得，

且，

∴每日销售量（件）和降价幅度（元）之间的函数关系为：（）；

【小问2详解】

解：由题意可得，

，

解得：， ，

∵尽量减少库存，

∴应该降价元

【点睛】本题考查一次函数解决销售利润问题，一元二次方程解决销售利润问题，解题的关键是找到等量关系式．

20. 我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次调查一共随机采访了________名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为________度；

（2）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；

（3）李老师计划从A，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，两人的概率．

【答案】（1），   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用两图均有的蓝即可得到随机采访的学生人数，再用乘以灰的比例即可得到答案；

（2）用学校总人数乘以红色收集桶的比例；

（3）利用树状图列出所有情况及恰好抽中A，两人的情况，根据即可得到答案．

【小问1详解】

解：由题意可得，

此次调查一共随机采访了：（名），

“灰”所在扇形的圆心角的度数为：，

故答案为：，；

【小问2详解】

解：由题意可得，

（名），

答：估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数有名；

【小问3详解】

解：由题意可得，

根据上图可得，总共有6种情况，恰好抽中A，两人的情况的有1种，

∴．

【点睛】本题考查求样本容量，求扇形图中圆心角，利用样本估算全体的情况，用树状图法求概率，解题的关键是利用两图共有的量求出样本量．

21. 如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部的仰角为，沿山坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡角为，米，米，求楼和宣传牌的高度．

【答案】米，米

【解析】

【分析】过B作，根据斜坡的坡角为及米，求出，根据仰角为及米，求出，根据及米，米，即可得到，即可得到答案．

【详解】解：过B作，

∵的坡角为，米，

∴（米），

（米），

∵仰角为，米，

∴（米），

∵处测得宣传牌顶部的仰角为，

∴，

∴（米）．

【点睛】本题考查解直角三角形中仰俯角及坡度角问题，解题的关键是作出辅助线找到相应三角函数关系．

22. 在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到．

（1）如图1，当点在线段的延长线上时，的度数为________；

（2）如图2，连接，．若的面积为4，求的面积；

（3）如图3，点为线段中点，点是线段上的动点，在绕点按逆时针方向旋转过程中，点的对应点是，直接写出线段长度的最大值与最小值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由旋转的性质可得：，，又由等腰三角形的性质，即可求得的度数；

（2）由旋转的性质可得：，易证得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得的面积；

（3）①当P在上运动至时，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，最小，②当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．

小问1详解】

解：由旋转的性质可得：，，

∴，

∴；

故答案为：；

【小问2详解】

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴；

【小问3详解】

如图，过点B作，D为垂足，

∵为锐角三角形，

∴点D在线段上，

在中， ；

①当P在上运动至时，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，最小，最小值为： ；

②当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，最大值为：；

因此，线段EP1长度的最大值与最小值的和为：．

【点睛】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．