+广东省深圳市龙岗区龙城初级中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份+广东省深圳市龙岗区龙城初级中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，点D、E分别是△ABC上AB、AC边上的中点，△ADE为阴影部分．现有一小孩向其投一小石子且已投中，则石子落在阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0没有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜10B．m＝10C．m＞10D．m≥10
4．（3分）关于反比例函数，点（a，b）在它的图象上，下列说法中错误的是（ ）
A．当x＜0时，y随x的增大而增大
B．图象位于第二、四象限
C．点（b，a）和（﹣b，﹣a）都在该图象上
D．当x＜﹣1时，y＜2
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
C．如果2a＝3b，则
D．有一个角为120°的两个等腰三角形相似
6．（3分）如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m，则石坝的高度为（ ）
A．2.7mB．3.6mC．2.8mD．2.1m
7．（3分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为（ ）
A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6
9．（3分）定义新运算：a※b＝，例如：4※5＝，4※（﹣5）＝．那么函数y＝2※x（x≠0）的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，反比例函数图象经过正方形OABC的顶点A，BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为12，BD＝2CD，则k的值为（ ）
A．3B．C．D．
二.填空题（共5小题，共15分）
11．（3分）已知正方形ABCD的对角线长为6cm，则正方形ABCD的面积为 cm2．
12．（3分）规定：在实数范围内定义一种运算“◎”，其规则为a◎b＝a（a+b），方程（x﹣2）◎7＝0的根为 ．
13．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D是AB的中点，连接CD，将△BCD沿射线CA方向平移，在此过程中，△BCD的边CD与Rt△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，当△AEF的面积是Rt△ABC面积的时，则△BCD平移的距离是 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，若∠BEC＝45°且AE＝4，ED＝2，则AB的长为 ．
三.解答题（共7题，共55分）
16．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：2y2+4y＝y+2．
17．（7分）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 名；补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是 ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
18．（6分）由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上．
（1）在图1中，PC：PB＝ ；
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图2，在AB上找点P，使得AP：PB＝1：3；
②如图3，在BC上找点P，使得△APB∽△DPC．
19．（8分）如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．
20．（7分）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每周可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨1元，每周少卖出10件，每周销量不少于240件．
（1）每件售价最高为多少元？
（2）实际销售时，为尽快减少库存，每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每周销量比最低销量240件多卖20件，要使利润达到6500元，则每件应降价多少元？
21．（10分）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表﹣描点﹣连线，画出了如图所示的图象．
请根据图象解答：
（1）【观察发现】①完成描点，把图象补充完整；
②表格中：a＝ ，b＝
③写出函数的一条性质： ；
④若函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2）满足x1+x2＝0，则y1+y2＝0． （填“对或错”）
（2）【延伸探究】如图2，将过A（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接PA，PB．
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．
22．（9分）【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决
（1）若四边形ABCD是菱形，边长为2，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，如图1，连接CE、DE，则BP与CE的数量关系为 ，DE长度的最小值为 ．
【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决：
（2）如图2，若四边形ABCD是正方形，边长为2，点O为BD中点，点P是射线BD上一动点，以AP为斜边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，∠AEP＝90°，连接OE、DE．求：
①BP与OE的数量关系；
②求DE长度的最小值．
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的基础上，当P是对角线BD的延长线上一动点时，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，∠APE＝90°，连接BE，若AB＝2，BE＝6，求△BPE的面积．
2022-2023学年广东省深圳市龙岗区龙城初级中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，共30分）
1．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【解答】解：从上面看，是一个矩形．
故选：A．
2．【分析】根据三角形中位线定理得出DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的判定定理和性质定理，得出＝（）2＝，即可求解．
【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴石子落在阴影部分的概率是．
故选：C．
3．【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的方程程x2﹣6x+m﹣1＝0没有实数根，
∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（m﹣1）＜0，
解得m＞10．
故选：C．
4．【分析】A．利用反比例函数的性质，可得出当x＜0时，y随x的增大而增大；
B．利用反比例函数的性质，可得出反比例函数的图象位于第二、四象限；
C．利用反比例函数图象上点的坐标特征，可得出点（b，a）和（﹣b，﹣a）都在反比例函数的图象上；
D．利用反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，可得出当x＜﹣1时，y＜4．
【解答】解：A．∵k＝﹣4＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，选项A不符合题意；
B．∵k＝﹣4＜0，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限，选项B不符合题意；
C．∵点（a，b）在反比例函数的图象上，
∴ab＝﹣4，
∴点（b，a）和（﹣b，﹣a）都在反比例函数的图象上，选项C不符合题意；
D．当x＝﹣1时，y＝﹣＝4，且当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴当x＜﹣1时，y＜4，选项D符合题意．
故选：D．
5．【分析】根据正方形的判定判断A；根据平行投影和中心投影的特点和规律判断B；根据比例的性质判断C；根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定判断D．
【解答】解：A、四边相等的矩形是正方形，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；
B、物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；
C、如果2a＝3b，则＝，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；
D、有一个角为120°的等腰三角形底角为30°，所以有一个角为120°的两个等腰三角形一定相似，故本选项中的命题是真命题，符合题意；
故选：D．
6．【分析】根据DC∥BF，可得＝，进而得出BF即可．
【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，
∵DC⊥AD，BF⊥AD，
∴DC∥BF，
∴△ACD∽△ABF，
∴＝，
∴＝，
解得：BF＝2.7．
故选：A．
7．【分析】若△BAD∽△CBD，可得∠ADB＝∠BDC＝90°，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【解答】解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△BAD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边上的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，AB＝AD，BD不与AC垂直，不符合题意．
故选：C．
8．【分析】根据余弦的定义得到OB＝OA，进而得到OG＝（）6OA，根据位似图形的概念得到△GOH与△AOB位似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，
∵cs∠AOB＝，
∴OB＝OA，
同理，OC＝OB，
∴OC＝（）2OA，
……
OG＝（）6OA，
由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且位似比为（）6，
∵S△AOB＝1，
∴S△GOH＝[（）6]2＝（）6，
故选：C．
9．【分析】根据题干中新运算定义求出y＝2※x的解析式，进而求解．
【解答】解：由题意得y＝2※x＝，
故选：D．
10．【分析】过B作BH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，CN⊥BH于N，交y值于E，通过证得△AOM≌△COE，△COE≌△BCN，得出CN＝OE＝OM，BN＝CE＝AM，由BD＝2CD，根据平行线分线段成比例定理求得CE：CN＝CE：OE＝AM：OM＝1：3，利用勾股定理以及正方形的面积即可求得A的坐标，进而求得k的值．
【解答】解：过B作BH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，CN⊥BH于N，交y值于E，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠COE+∠AOE＝∠AOE+∠AOM＝90°，
∴∠COE＝∠AOM，
在△COE与△AOM中，
，
∴△AOM≌△COE（AAS），
∴OM＝OE，AM＝CE，
同理，△COE≌△BCN，
∴CN＝OE，BN＝CE，
∵BH∥y轴，
∴＝，
∴BD＝2CD，
∴＝，
∴＝＝，
∵OA2＝OM2+AM2，正方形OABC的面积为12，
∴12＝9AM2+AM2，
∴AM＝，
∴OM＝，
∴A（，），
∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过正方形OABC的顶点A，
∴k＝×＝，
故选：B．
二.填空题（共5小题，共15分）
11．【分析】根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AC＝BD＝6cm，AC⊥BD，
∴正方形ABCD的面积＝×AC×BD＝18cm2，
故答案为：18．
12．【分析】直接根据定义的这种运算的规则求解．
【解答】解：由题意得：（x﹣2）（x﹣2+7）＝0，
（x﹣2）（x+5）＝0，
x﹣2＝0或x+5＝0，
x1＝2，x2＝﹣5．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣5．
13．【分析】根据题意可知：x株需要6210文，（x﹣1）株的运费＝一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程．
【解答】解：设这批椽的数量为x株，
由题意可得：，
故答案为：．
14．【分析】根据三角形中线把三角形的面积分成相等的两部分得到S△ACD＝S△ABC，根据题意得到△AEF的面积是△ADC面积的，通过证得△AEF∽△ADC求得AF，即可求得CF．
【解答】解：∵D是AB的中点，
∴S△ACD＝S△ABC，
∵△AEF的面积是Rt△ABC面积的，
∴△AEF的面积是△ADC面积的，
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ADC，
∴＝（）2＝，即＝，
∴AF＝，
∴CF＝2﹣，
∴△BCD平移的距离是2﹣，
故答案为2﹣．
15．【分析】解法一：分别以AB，CD为直角边作等腰Rt△ABF和等腰Rt△DCG，判定△BEF∽△ECG，即可得到AB的长；
解法二：过C作CF⊥BE于F，过F作FG⊥BC于G，交AD于H，判定△EFH∽△FCG，即可得出＝＝＝1，设EH＝x，则FG＝x，BG＝AH＝4﹣x，HF＝GC＝DH＝x+2，再根据FG2＝BG×CG，即可得到x的值，进而得到AB的长．
【解答】解法一：如图，分别以AB，CD为直角边作等腰Rt△ABF和等腰Rt△DCG，
依题意得∠F＝∠G＝∠BEC＝45°，
∴∠FBE+∠BEF＝∠CEG+∠BEF＝135°，
∴∠FBE＝∠CEG，
∴△BEF∽△ECG，
∴＝，
即＝，
解得AB＝或（舍去），
∴AB的长为，
故答案为：．
解法二：如图，过C作CF⊥BE于F，过F作FG⊥BC于G，交AD于H，则∠CFE＝90°，∠ECF＝∠CEF＝45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF＝CF，
又∵∠EFH+∠CFG＝∠FCG+∠CFG＝90°，
∴∠EFH＝∠FCG，
∴△EFH∽△FCG，
∴＝＝＝1，
设EH＝x，则FG＝x，BG＝AH＝4﹣x，HF＝GC＝DH＝x+2，
∵Rt△BCF中，FG⊥BC于G，
∴FG2＝BG×CG，
∴x2＝（4﹣x）×（x+2），
解得x＝或x＝（舍去），
∴AB＝HG＝HF+FG＝x+2+x＝．
故答案为：．
三、解答题（共7题，共55分）
16．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝2﹣3+1﹣（2﹣）
＝2﹣3+1﹣2+
＝﹣2；
（2）2y2+4y＝y+2，
2y（y+2）﹣（y+2）＝0，
（y+2）（2y﹣1）＝0，
y+2＝0或2y﹣1＝0，
y1＝﹣2，y2＝．
17．【分析】（1）用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
（2）用选择“排球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．
故答案为：100．
选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．
补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为×360°＝18°．
故答案为：18°．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为＝．
18．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）①取格点E，F连接EF交AB于点P，点P即为所求．
②取格点A′，连接DA′交BC于点P，连接AP，点P即为所求．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴＝＝，
故答案为：1：2．
（2）①如图2中，点P即为所求．
②如图3中，点P即为所求．
19．【分析】（1）根据矩形的性质判定四边形AECF是平行四边形，根据AE＝EC，即可得结论；
（2）根据矩形和菱形的性质证明△ADG∽△EAB，对应边成比例即可求出DG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝EC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC，
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，
根据勾股定理，得
AE＝＝＝5，
∵四边形AECF是菱形，
∴EC＝AE＝5，
∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AEB，
∵DG⊥AE，
∴∠DGA＝∠B＝90°，
∴△ADG∽△EAB，
∴＝，
即＝，
∴DG＝．
20．【分析】（1）设每件的售价为x元，利用每周的销售量＝300﹣10×上涨的价格，结合每周销量不少于240件，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（66﹣y﹣40）元，每周的销售量为（240+20y）件，利用每周销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×每周的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件应降价13元．
【解答】解：（1）设每件的售价为x元，
依题意得：300﹣10（x﹣60）≥240，
解得：x≤66．
答：每件售价最高为66元．
（2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（66﹣y﹣40）元，每周的销售量为（240+20y）件，
依题意得：（66﹣y﹣40）（240+20y）＝6500，
整理得：y2﹣14y+13＝0，
解得：y1＝1，y2＝13．
又∵要尽快减少库存，
∴y＝13．
答：每件应降价13元．
21．【分析】（1）①把x＝﹣，x＝2代入函数解析式分别求得a、b的值；
②根据函数图象可得性质；
③假设x1＝﹣，则y1＝1，再根据x2求出y2的值，可知y1+y2＝0不一定成立；
（2）①首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x，设直线AB与y轴交于C，利用平行线之间的距离相等，可得△PAB的面积＝△AOB的面积，从而得出答案；
②设直线l与y轴交于D，同理得△PAB的面积＝△ABD的面积，即可解决问题．
【解答】解：（1）①把x＝﹣，代入函数解析得y＝4x2＝，
所以a＝；
把x＝2代入函数解析式得y＝﹣＝﹣2，
所以b＝﹣2；
故答案为：，﹣2；
②由图象知：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
故答案为：函数有最大值为4（答案不唯一）；
③假设x1＝﹣，
则y1＝1，
∵x1+x2＝0，
∴x2＝，
∴y2＝﹣8，
∴y1+y2＝0不一定成立，
故答案为：错；
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x，
设直线AB与y轴交于C，
则△PAB的面积＝△AOB的面积，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝＝，
∴△PAB的面积为；
②设直线l与y轴交于D，
∵l∥AB，
∴△PAB的面积＝△ABD的面积，
由题意知，CD＝n，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD
＝
＝．
∴△PAB的面积为．
22．【分析】（1）连接AC，由四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°＝∠ADC，可得△ABC和△ADC是等边三角形，又△APE是等边三角形，可证明△BAP≌△CAE（SAS），即得BP＝CE；∠ABP＝∠ACE＝30°，延长CE交AD于K，则E在射线CK上运动，当DE⊥CK，即E与K重合时，DE取最小值，可得DK＝CD＝×2＝1，故DE的最小值为1；
（2）①连接AO，根据四边形ABCD是正方形，O是BD的中点，知△AOB是等腰直角三角形，有∠BAO＝45°＝∠ABO，＝，而△APE是等腰直角三角形，即可得＝，∠BAP＝∠OAE，从而△ABP∽△AOE，有＝＝，∠ABP＝∠AOE＝45°，故BP＝EO；
②延长OE交AD于T，由∠AOE＝45°，知E在射线OT上运动，当DE⊥OT，即E与T重合时，DE取最小值，可求出DT＝AD＝×2＝1，故DE的最小值为1；
（3）连接AC交BD于点F，过点E作EG⊥BP交直线BP于点G，根据四边形ABCD是正方形，AB＝2，可得BF＝AF＝AB•sin45°＝，证明△FAP≌△GPE（AAS），即有FP＝EG，PG＝AF＝，设FP＝EG＝x，可得62＝（2+x）2+x2，解得FP＝4﹣＝EG，BP＝FP+BF＝4，从而S△BPE＝BP•EG＝8﹣2．
【解答】解：（1）连接AC，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°＝∠ADC，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE；∠ABP＝∠ACE，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ABP＝30°，
∴∠ACE＝30°，
延长CE交AD于K，则E在射线CK上运动，当DE⊥CK，即E与K重合时，DE取最小值，如图：
∵∠ACE＝30°＝∠DCK，∠ACD＝∠ADC＝60°，
∴∠CKD＝90°，
∴DK＝CD＝×2＝1，
∴DE的最小值为1，
故答案为：BP＝CE，1；
（2）①连接AO，如图：
∵四边形ABCD是正方形，O是BD的中点，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°＝∠ABO，＝，
∵△APE是等腰直角三角形，
∴∠PAE＝45°，＝，
∴∠BAO＝∠PAE，＝，
∴∠BAP＝∠OAE，
∴△ABP∽△AOE，
∴＝＝，∠ABP＝∠AOE＝45°，
∴BP＝EO；
②延长OE交AD于T，如图：
∵∠AOE＝45°，
∴E在射线OT上运动，
当DE⊥OT，即E与T重合时，DE取最小值，
∵正方形ABCD，
∴∠ADB＝45°，
∵∠DOT＝90°﹣∠AOT＝90°﹣45°＝45°，
∴∠OTD＝90°，
∵△AOD是等腰直角三角形，
∴DT＝AD＝×2＝1，
∴DE的最小值为1；
（3）连接AC交BD于点F，过点E作EG⊥BP交直线BP于点G，如图：
∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，
∴BC＝AB＝2，∠BAD＝90°，AC⊥BD，
∴∠ABD＝45°，∠AFB＝∠AFD＝90°，
∴∠BAC＝45°，∠FAP+∠APF＝90°，
∴AF＝BF，
∴BF＝AF＝AB•sin45°＝，
在Rt△APE中，∠APE＝90°，AP＝PE，
∴∠APF+∠EPG＝90°，
∴∠FAP＝∠EPG，
∵EG⊥BG，
∴∠AFP＝∠PGE＝90°，
∴△FAP≌△GPE（AAS），
∴FP＝EG，PG＝AF＝，
在Rt△EGB中，由勾股定理得，BE2＝BG2+EG2，
设FP＝EG＝x，
∴62＝（2+x）2+x2，
解得，x1＝4﹣，x2＝﹣4﹣（舍去），
∴FP＝4﹣＝EG，BP＝FP+BF＝4﹣+＝4，
∴S△BPE＝BP•EG＝×4×（4−）＝8﹣2．
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﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
﹣
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1
2
3
4
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y
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2
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1
a
0
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b
﹣
﹣1
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