精品解析：广东省深圳市南山实验教育集团2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

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2021-2022学年广东省深圳市南山实验教育集团九年级（上）期中数学试卷
一、选择题
1. 已知，则的值是（　　）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两内项之积等于两外项之积，用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．
2. 如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，从正面看到的这个几何体的形状图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据球从正面看的形状图是圆，长方体从正面看的形状图是长方形，结合放置位置判断即可．
【详解】∵球从正面看的形状图是圆，长方体从正面看的形状图是长方形，
∴ 从正面看到的这个几何体的形状图是 ，
故选D．
【点睛】本题考查了从不同方向看的形状图，常见几何体的不同方向看的形状图，熟练掌握形状图是解题的关键．
3. 如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4. 已知点A(﹣1，y1)，B(2，y2)，C(4，y3)都在反比例函数y＝﹣的图象上，则下列结论中正确的是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y1＜y3＜y2 D. y3＜y2＜y1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知y=-的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而根据所在的象限即可判断的大小关系
【详解】解：，
y=-的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵点A（-1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函数y=-的图象上，
∴A在第二象限，B、C在第四象限，
∴y1＞0，
∵2＜4，
∴y2＜ y3＜0，
∴y2＜y3＜y1，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的性质是解题的关键．
5. 设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2021 D. 2020
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的意义求得的值，根据根与系数的关系求得的值，将化为，进而代入求解即可．
【详解】 a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，



故选D
【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
6. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡L1发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，
∴能让灯泡L1发光的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
7. 菱形的一个内角是，边长是，则这个菱形的较短的对角线长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的四边相等和一个内角是60°，可判断较短对角线与两边组成等边三角形，根据等边三角形的性质可求较短的对角线长．
【详解】解：因为菱形的四边相等，当一个内角是60°，则较短对角线与两边组成等边三角形．
∵菱形的边长是，
∴这个菱形的较短的对角线长是3cm．
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形四边都相等性质及等边三角形的判定，解题关键是判断出较短对角线与两边构成等边三角形．
8. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得到方程即可．
【详解】解：根据题意得：；  
故答案为：．
故选C．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程及矩形和平行四边形的面积的求解，将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽是解本题的关键．
9. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OM⊥AC，交BC于点M，过点M作MN⊥BD，垂足为N，则OM+MN的值为（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形的性质可得AO＝CO＝BO＝DO＝5，由三角形的面积和差关系可求解．
【详解】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD＝10，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝5，
∵S△ABCAB×BC＝24，
∴S△BOC＝12，
∵S△BOC＝S△BOM+S△COM，
∴125×MN5×OM，
∴OM+MN，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积关系，掌握矩形的性质是解题的关键．
10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①CG＝；②AEG的周长为8；③EGF的面积为．其中正确的是（　　）

A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出∠H＝90°，进而求出AH＝HF＝1＝BE．进而判断出△EHF≌△CBE（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判断出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2＝17，求出S△ECF，先判断出四边形APFH是矩形，进而判断出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PF＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，FQ＝5，CQ＝3，再判断出△FPG∽△FQC，得出，求出PG，再根据勾股定理求得EG，即△AEG的周长为8，判断出②正确；先求出DG，进而在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CG，故①错误，用S△ECG＝S正方形ABCD﹣S△AEG﹣S△EBC﹣S△GDC求出面积，进而求出S△EGF＝S△ECF﹣S△ECG，故③正确．
【详解】解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝90°，
∵HF∥AD，
∴∠H＝90°，
∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，
∴∠AFH＝∠HAF．
∵AF，
∴AH＝HF＝1＝BE．
∴AE＝3，EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，
∴△EHF≌△CBE（SAS），
∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴HEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，
∴EC2＝BE2+BC2＝17，
∴S△ECFEF•ECEC2，
过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，
∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，
∴四边形APFH是矩形，
∵AH＝HF，
∴矩形AHFP是正方形，
∴AP＝PF＝AH＝1，
同理：四边形ABQP是矩形，
∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，
∵AD∥BC，
∴△FPG∽△FQC，
∴，
∴，
∴PG，
∴AG＝AP+PG，
∴DG＝AD﹣AG＝4，
在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG，
∴△AEG的周长为AG+EG+AE3＝8，故②正确；在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CG，故①错误；
∵S△ECG＝S正方形ABCD﹣S△AEG﹣S△EBC﹣S△GDC＝AD2AG•AEGD•DCEB•BC＝42341×4，
∴S△EGF＝S△ECF﹣S△ECG，故③正确；
故选：D．

【点睛】此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出AG是解本题的关键．
二、填空题
11. 一元二次方程x2﹣x=0的根是_____．
【答案】x1=0，x2=1
【解析】
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】方程变形得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
12. 如图，在长为8的线段上，作如下操作：经过点作，使得；连接，在上截取；在上截取，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】由=8，，可求，由，在Rt△ABC中,根据线段和差AE=AC-CE =即可．
【详解】解：∵=8，
∴
∵，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中,
∴AE=AC-CE=AC-BC=
∴AD=AE=，
故答案：．
【点睛】本题考查勾股定理，线段和差倍分，掌握勾股定理是解题关键．
13. 已知x＝1是关于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一个根，则另一个根是___．
【答案】﹣3
【解析】
【分析】把x＝1代入方程ax2﹣2x+3＝0求得a＝﹣1，设方程另一个根为x2，根据根与系数的关系得出1×x2＝﹣3，解之可得答案．
【详解】解：∵x＝1是关于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一个根，
∴a﹣2+3＝0，
∴a＝﹣1，
设方程的另一个根为x2，
根据题意，得：1×x23，
解得：x2＝﹣3，
即方程的另一个根为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴于点，点在轴上，则的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】由题意可设点，进而可得，△ABD的高为点A的横坐标，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可设点，则有：
∴，
∵△ABD的高为点D的到AB的距离，，
∴△ABD的高为点A的横坐标，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与几何的性质是解题的关键．
15. 平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点是的中点，点是边上的一个动点，当是等腰三角形时，点的坐标为 __．

【答案】或或或．
【解析】
【分析】分四种情况讨论，①当时，②当时，作于，③当时，作于， 当时，作于，再利用勾股定理进行计算，从而可得答案.
【详解】解：点，点，
，，
点是的中点，
，
是等腰三角形，
①当时，
由勾股定理可以求得，

②当时，作于，
则四边形是矩形，
；

③当时，作于，
同理可得：
由勾股定理，得，，
；

当时，作于，
同理可得：
由勾股定理，得，，
．

，，，．

故答案为：或或或．
【点睛】本题考查是矩形的判定与性质，等腰三角形的定义与性质，勾股定理的应用，坐标与图形，清晰的分类讨论是解题的关键.
三．解答题
16. 解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣5x+1＝0．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；（2）x1，x2．
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【详解】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
则（x﹣5）（x+1）＝0，
则x﹣5＝0或x+1＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴x，
∴x1，x2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17. 如图，已知A(﹣4，n)，B(3，﹣4)是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．

【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数解析式为；（2）或
【解析】
【分析】（1）将点代入反比例函数解析式，进而求得反比例函数解析式，再将点的坐标代入求得的值，进而根据的坐标待定系数法求解析式即可；
（2）根据函数图像的交点，直接写出一次函数在反比例函数图象下方的自变量的范围即可
【详解】解：（1）根据题意，将代入，解得
则反比例函数的解析式为
将点代入，
即，
解得
则点
将点,代入
即
解得
一次函数解析式为
（2）,是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点，
观察函数图象可知，当或时，kx+b﹣＜0
kx+b﹣＜0的解集为或
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，根据函数图象的交点求不等式的解集，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解题的关键．
18. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）
【解析】
【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名；
（2）喜爱“体育”的人数为（名，
补全图形如下：

（3）估计全校学生中喜欢体育节目约有（名；
（4）列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲

（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）

（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）

（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）

所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．

【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝CE＝BC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）过A作AH⊥BC于点H，

∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝，
∵，
∴AH＝，
∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE＝5，
∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，
∴EF＝AH＝．
【点睛】此题考查菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形和菱形的判定和性质解答．
20. 今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，则平均每年下降的百分率是 ；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【答案】（1）10% （2）单价应降低15元
【解析】
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价=2019年该类电脑显卡的出厂价×(1-下降率)，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38-m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设平均下降率为x，
依题意得：，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
故答案为：10%．
【小问2详解】
设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：，
解得：m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB=4，AD=3， AF=2， 求AE的长．

【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）和中，易知（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）在中，由勾股定理易求得BE的长，即可求出EC的值；从而根据相似三角形得出的成比例线段求出AF的长．
【详解】（）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
，
∴，
∴．
（）解：四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
在中，
，
∴．
22. 如图，已知四边形是矩形，点在的延长线上，与相交于点与相交于点．

（1）求证：；
（2）求的值；
（3）连接，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90º即可证得结论；
（2）设，利用矩形性质知AF∥BC，得再根据相似三角形的性质得到的方程，变形整理即可；
（3）在EF上截取EM=DG，进而证明△EMA≌△DGA，得到∠EAM=∠DAG，AM=AG，则证得△MAG为等腰直角三角形，即可得证结论．
【详解】证明:四边形是矩形，点在的延长线上，
，
又，
，
，
，
，
故．
在矩形中，，
，
，
设，则，
得，
∴（负值舍去），

的值为；
如图，在线段上取点，使得，

在与中，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．