2023年广东省深圳市南山实验教育集团中考二模数学试题（含解析）

2023年广东省深圳市南山实验教育集团中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的倒数是（　　）

A． B． C．2023 D．

2．下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）

A． 三叶玫瑰线 B． 四叶玫瑰线

C． 心形线 D． 笛卡尔叶形线

3．2022年深圳市GDP3.24万亿元，增长3.3%，增速在北上广深中排第一，将数据3.24万亿用科学记数法表示为（　　）

A． B． C． D．

4．某同学对数据，，，，，，进行统计分析，发现两位数“”的个位数字模糊不清，则下列统计量一定不受影响的是（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

5．如图，在中．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线，通过证明和全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（　　）

A．角平分线，全等依据

B．中线，全等依据

C．角平分线，全等依据

D．高线，全等依据

6．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（　　）

A． B． C． D．

7．《义务教育课程方案》发布并实施以来，某校构建德智体美劳全面培养的教育体系，开展“爱劳动，劳动美”活动．甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家8km和12km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前15min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（　　）

A． B． C． D．

8．如图，点为角平分线交点， ，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为(    )

A． B． C． D．

9．二次函数的图象如图所示，其与x轴交于点A（）、点B，下列4个结论：

①；②；③有两个不相等的实数根：④．其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④

10．如图，菱形顶点A在函数的图象上，函数的图象关于直线对称，且经过点B，D两点，若，则k的值为（　　）

A．18 B． C． D．

二、填空题

11．分解因式：3a2﹣12=___．

12．不等式组的解集为___________，

13．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们选择的不是同一个主题的概率是___________．

14．如图，在平面直角坐标系中，已知，点的坐标为，若直线沿轴平移个单位后与△仍有公共点，则的取值范围是___________．

15．如图，在中，，，，关于对称的直线恰好交于点则的长为___________．

三、解答题

16．计算：．

17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）．

(1)将绕着点O逆时针方向旋转90度，得到，并画出旋转后的；

(2)请在网格中，仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）．

18．为落实国家“双减”政策，南实初中在素养课程时间里开展了A(篮球社团)、B(航模社团)、C(阿卡贝拉社团)、D(剪纸社团)活动．该校从全校2000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：

(1)你最喜欢社团活动问卷调查中，抽查的总人数是___________，条形统计图中m的值为___________；

(2)求扇形统计图中α的度数：

(3)根据调查结果，可估计该校2000名学生中最喜欢“航模社团”的约有多少人？

19．某新型高科技商品，每件的售价比进价多10元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖4件．

(1)该商品的售价和进价分别是多少元？

(2)设每天的销售利润为w元，但物价部门规定其销售单价不高于进价的1.8倍，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

20．如图，内接于，，是的直径，点P是延长线上的一点且．

(1)求证：是的切线；

(2)若，求的半径．

21．【定义】在平面内的三个点，，，满足．若，则将点称为，的三倍直角点：若，则将点称为，的三倍锐角点．

(1)如图1，已知中，，，若点是，的三倍直角点，则的长度为___________；若点是点，的三倍锐角点，则的长度为___________；

(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点是直线上的一点，点的坐标为(，)，点的坐标为(，)，以为圆心长为半径作，点在上．

①若点是，的三倍锐角点，求点的坐标

②若点是，的三倍直角点，直接写出点的坐标．

22．如图1，正方形和的边在同一条直线上，且，取的中点M，连接．

(1)试证明，并求=___________．

(2)如图2，将图1中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值；若无变化，说明理由．

(3)如图，已知菱形菱形，且，菱形绕点B旋转过程中，取EF的中点M，作，求证：是直角三角形并求出的值．

参考答案：

1．D

【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．

【详解】解：的倒数是，

故选：D．

【点睛】本题考查倒数的定义，关键是掌握乘积是1的两数互为倒数．

2．B

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

故选B．

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．

3．C

【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．

【详解】解：万亿．

故选：C．

【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数,正确确定a的值以及n的值是解题关键．

4．B

【分析】利用平均数、中位数、众数、方差的定义对每一项判断即可解答．

【详解】解：∵这组数据为，，，，，，，

∴这组数据按照顺序排序为，

∴平均数、众数、方差都与有关，只有中位数与无关，

故选：．

【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的定义，理解中位数的定义是解题的关键．

5．C

【分析】根据角平分线、中线、高线和垂直平分线的性质以及全等三角形的判定逐项分析即可．

【详解】解：A、当是角平分线时，则利用可判定，从而可解，故A不符合题意；

B、当是中线时，则利用可判定，从而可解，故B不符合题意；

C、当是角平分线时，则利用可判定△，从而可解，原说法错误，故C符合题意；

D、当是高线时，则利用可判定，从而可解，故D不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键．

6．D

【分析】如图，先求得圆内接正八边形的圆心角，再过O作于C，求得，利用三角形的面积公式求解即可．

【详解】解：如图，圆内接正八边形的圆心角，

过A作于C，则，

∵，

∴，

∴这个圆内接正八边形的面积为，

故选：D．

【点睛】本题考查正多边形和圆、解直角三角形、三角形的面积计算，正确作出辅助线构造直角三角形是解答的关键．

7．D

【分析】确定等量关系：甲到达基地的时间+乙到基地的时间，列方程．

【详解】设甲的速度为km/h，则乙的速度为km/h，

根据题意，得；

故选：D．

【点睛】本题考查分式方程的应用；审题明确等量关系是建立方程的关键，需注意时间单位的统一．

8．B

【分析】连接AI，BI，由点I为△ABC的内心，得到AI平分∠CAB，根据角平分线的性质得到∠CAI=∠BAI.根据平移的性质得到AC∥DI，由平行线的性质得到AD=DI，BE=EI，根据三角形的周长公式进行计算即可得到答案.

【详解】连接AI，BI，

∵点I为△ABC的内心，

∴AI平分∠CAB，

∴∠CAI=∠BAI.

由平移得：AC∥DI，

∴∠CAI=∠AID．

∴∠BAI=∠AID，

∴AD=DI．

同理可得：BE=EI，

∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB，因为，即图中阴影部分的周长为8.

故选B.

【点睛】本题考查角平分线的性质、平移的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质、平移的性质和平行线的性质.

9．C

【分析】根据抛物线的开口向下、对称轴、时，，结合二次函数图象性质确定待定参数取值范围．

【详解】由图知抛物线开口向下，故，对称轴

∴

∴，故①正确；

点A，B关于对称，故点B的横坐标

∴

∴，故②错误；

由得

由图知，抛物线与直线恒有两个交点，所以有两个不相等实数根，故③正确；

时，

∴

∴

∴，

故④正确．

故选：C．

【点睛】本题考查抛物线图象性质，对称轴，方程组解与图象的关系；观察图形，灵活运用关键点及数形结合的思想是解题的关键．

10．D

【分析】如下图．根据函数的图象关于直线对称，可知直线，即可求出，接着推论出，进而证明是含角的直角三角形，即可求出，代入反比例函数直接求出即可．

【详解】连接，过B作于，过作于，

∵函数的图象关于直线对称，

∴，

设，

将代入，

∴，解得或，

∵，

∴，

∴，，

∵菱形中，，

∴，

∴，

∵在中，，

∴，

∴，

∴，，

∴，

将代入，

可得，解得．

故答案为：D．

【点睛】此题考查反比例函数的几何综合，解题关键是先根据对称性求出点坐标，然后根据菱形的性质推论出是含角的直角三角形，即可分别求出三边的长，得到点坐标，最后将点的坐标代入解析式直接求解．

11．3（a+2）（a﹣2）

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．

【详解】3a2﹣12

=3（a2﹣4）

=3（a+2）（a﹣2）．

12．

【分析】分别求出①②的解集，再找到其公共部分即可．

【详解】解：

由①得，，

由②得，，

不等式组的解集为．

故答案为．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟悉“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”是解题的关键．

13．

【分析】先画出树状图，可知共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择不是同一个主题的结果有6种，再由概率公式求解即可．

【详解】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，

画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择不是同一个主题的结果有6种，

∴小明和小亮恰好选择不是同一个主题的概率为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键在于理解概率等于所求情况数与总情况数之比．

14．

【分析】根据题意画出图形，求出点的坐标，再求出过点和点且与直线平行的直线解析式，分别求出与轴的交点坐标即可解决问题．

【详解】解：过点作轴于点，过点作于点，如图，

，

根据勾股定理得，，

又

对于，当时，，

∴直线与轴的交点坐标为；

设过点且与直线平行的直线解析式为，

把代入，得：，

，

，

当时，，

∴直线与轴的交点坐标为

设过点且与直线平行的直线解析式为

把代入得：，

，

当时，，

与轴的交点坐标为

∴直线沿轴平移个单位后与仍有公共点，则的取值范围是，即，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，一次函数图像的平移，求出直线与轴的交点坐标是解答本题的关键

15．

【分析】如图所示：以所在边为轴，以所在边为轴，以为原点建立坐标系，设关于对称的对应点为相交于点根据已知条件可得出从而得出直线的解析式为，得出直线的解析式为：可得从而可得出可求出直线的解析式为：由已知条件求出直线的解析式为：进而得出，即可求出结果．

【详解】如图所示：以所在边为轴，以所在边为轴，以为原点建立坐标系，设关于对称的对应点为相交于点

∵，，

∴直线的解析式为：

∴设直线的解析式为：

把代入

∴直线的解析式为：

直线和直线联立，

是的中点，

∴直线的解析式为：

∵直线的解析式为：

∴直线与直线联立可得出点

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，待定系数法求函数解析式，两直线的交点坐标，两点间的距离，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解此题的关键．

16．1

【分析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．

【详解】解：

=

=

=1．

【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．

17．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）先分别将绕着点O逆时针方向旋转90度,得到对应点，然后再顺次连接即可；

（2）由勾股定理可知，作所在格的另外一条对角线交于点P，然后作所在格的另外一条对角线交于点Q，连接即可解答．

【详解】（1）解：如图：即为所求．

（2）解：如图：即为所求．

∵，

∴，

∴是直角∠角形，

∴，

作所在格的另外一条对角线交于点P，然后作所在格的另外一条对角线交于点Q，连接，

根据网格可知：是的中位线，

∴，

∴，

∴是线段的垂直平分线．

【点睛】本题主要考查了旋转作图、限定作图等知识点，掌握常见的作图方法是解答本题的关键．

18．(1)60人，11

(2)90°

(3)800

【分析】（1）根据(或书法社团)的人数的占比求得样本的容量，即被抽查的总人数，进而用减法求得的值；

（2）根据合唱社团的人数除以样本的容量，乘以，即可求解；

（3）样乘以，即可求解．

【详解】（1）解：你最喜欢社团活动问卷调查中，

抽查的总人数是：(人)

故．

故答案为：60人，11：

（2）解：由题意得，，

答：扇形统计图中的度数为；

（3）解：(人)，

答：估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有人．

【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

19．(1)售价为40元，进价为每件30元

(2)当售价为54元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为3456元

【分析】（1）设该商品每件的售价为x元，进价为每件y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；

（2）设售价上涨a元/件根据题意表示出利润w，然后根据二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）设该商品每件的售价为x元，进价为每件y元，由题意得：，

解得，

∴该商品每件的售价为40元，进价为每件30元；

（2）设售价上涨a元/件，

由题意得：

，

∵售价不得高于进价的1.8倍，

∴，

解得，

∵当时，w是随a的增大而增大

∴当时，w有最大值，最大值为3456，此时售价为（元），

∴当售价为54元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为3456元．

【点睛】本题考查了二元一次方程组和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

20．(1)见解析

(2)

【分析】（1）如图：连接，由圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得、，根据角的和差可得，即即可证明结论；

（2）如图：过点C作于点E．由三角形的性质和勾股定理可得，进而得到，在和中分别运用勾股定理可得

，即可解答．

【详解】（1）证明：如图：连接，

∵，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴是的切线．

（2）解：如图：过点C作于点E．

在中，，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

在中，，

∴的半径为．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的证明、勾股定理、圆的基本概念等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．

21．(1)，

(2)①，②或

【分析】（1）根据定义可得，勾股定理求得，即可求解；

（2）①根据题意求得，根据新定义得出，设，)则，解方程即可求解，当)时，，应舍去；

②延长交于，连接，作于．设，，证明，得出，即，解方程即可求解．

【详解】（1）解：∵点是，的三倍直角点，

∴，

由勾股定理得，

，

故答案是，

∵点是点，的三倍锐角点，

∴，且，

由勾股定理得，

故答案是：

（2）①当时，

∴

∴，，

∵点是，的三倍锐角点，

∴，

设，

∴

∴，

当，

∴

当，

∴

当时，，应舍去．

综上所述：

②如图4，

延长交于，连接，

∵点是的三倍直角点，

∴，

∴是的直径，

∴，

作于．

设，

∴，

∴

=

∵

∴

∵，

∴，

∴

∴

∵，

∴，

当，

当，

∴点P的坐标是或．

【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，直角所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握新定义是解题的关键．

22．(1)

(2)

(3)见解析，

【分析】（1）证明，推出，利用等腰直角三角形的性质得到；设，利用勾股定理分别表示出和，即可求解；

（2）证明四边形是平行四边形，推出与互相平分，证明四边形是矩形，得到，设，则，通过计算即可求解；

（3）延长至点H，使，连接，再延长交于点K，证明，推出，得到，由菱形相似，得到，推出，得到，再证明，据此即可得出．

【详解】（1）解：如图1中，延长交的延长线于H．

∵四边形，四边形都是正方形，

∴，

∴

∵，

∴，

∴，

∵，

∴

∵，

∴

连接，设，则，

∵，

∴．

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）解：（1）中的值有变化．

理由：如图2中，连接交于点O，连接交于．

∵，

∴，

∵，

∴O，G，F共线，

∵

∴

∵，，

∴

∴四边形是平行四边形，

∴与互相平分，

∵

∴点M在直线上，

∵，

∴四边形是矩形．

∴，

∵，

∴，

设，则，

∴

∵

∴；

（3）解：延长至点H，使，连接，再延长交于点K，

∵，

∴

∴，

∴，，

∵，

∴

∵菱形菱形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

∵，

∴

∴，

∴，

∵

∴

∵且，

∴且

∴是直角三角形且．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，相似多边形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．