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精品解析：广东省深圳市深圳实验学校初中部2021-2022学年九年级上学期期中数学试题
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深圳实验学校初中部2021－2022学年第一学期
九年级期中考试数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图即可得到答案．
【详解】解：它的左视图是．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图-左视图，理解左视图的定义“从左边看得到的图形是左视图”是解题关键，注意看不到但存在的线段要画成虚线．
2. 下列各组线段中，成比例的一组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例线段的定义：（a、b、c、d分别是4条线段的长）就称这组线段成比例，进行判断求解即可.
【详解】解：A、，，，，不成比例，故此选项错误；
B、，，，，可以得到，成比例，故此选项正确；
C、，，，，不成比例，故此选项错误；
D、，，，，不成比例，故此选项错误；
故选B.
【点睛】本题主要考查了比例线段的定义，解题的关键在于能够熟练掌握比例线段的定义.
3. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. 2x2﹣x＝1 C. 3x3＝1 D. xy＝4
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义要求，含有一个未知数，未知数的最高指数是2，并且是整式方程，逐一判断即可．
【详解】解：A、分式方程，不是整式方程，选项错误；
B、是一元二次方程，选项正确；
C、未知数的指数是3，不是一元二次方程；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程
故选：B
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，牢记定义是解题关键．
4. 如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理逐项判定即可．
【详解】解：A、∵DF∥AC，
∴，所以A选项错误，不符合题意；
B、∵DE∥BC，
∴，而，
∴，
∵DE∥CF，DF∥CE，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴CF=DE，
∴，即，所以B选项错误，不符合题意；
C、∵DE∥BC，
∴，所以C选项错误，不符合题意；
D、∵DE∥BC，
∴，即，所以D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例的性质．
5. 如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数和图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
【详解】解：A、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确；
B、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误；
C、由函数y=的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误；
D、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 有三个角为直角的四边形为矩形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，正方形的判定定理逐个分析即可求解.
【详解】A. 有三个角为直角的四边形为矩形，正确；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，因此B错误；
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此C错误；
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，因此D错误；
故选A.
【点睛】本题主要考查平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理.
7. 如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A. 9.3m B. 10.5m C. 12.4m D. 14m
【答案】B
【解析】
【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出CD即可．
【详解】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴，即，
∴CD=10.5（米）．
故选B．
【点睛】考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
8. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，先利用图中格点，求出BD、AB的长，最后在直角三角形ABD中求出∠A的正弦值．
【详解】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．
则：AB，BD3．
在Rt△ABD中
∴sinA
．
故选：C
【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，直角三角形的边角间关系，牢记概念知识解决本题的关键．
9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，设BN＝x，则FN＝2x，则AN＝4−x，由对称的性质得出DE＝EF，DA＝AF＝4，证明△ADE≌△AFE（SSS），得∠D＝∠AFE＝90°，由勾股定理求出x，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【详解】解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴∠FME＝90°，
∵tan∠ABF＝2，
∴＝2，
设BN＝x，则FN＝2x，
∴AN＝4﹣x，
∵点F是点D关于直线AE对称的点，
∴DE＝EF，DA＝AF＝4，
∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（SSS），
∴∠D＝∠AFE＝90°，
∵AN2＋NF2＝AF2，
∴（4﹣x）2＋（2x）2＝42，
∴x1＝0（舍），x2＝，
∴AN＝4﹣x＝4﹣＝，MF＝4﹣2x＝4﹣＝，
∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠FAN＝90°，
∴∠EFM＝∠FAN，
∴cos∠EFM＝cos∠FAN，
∴＝，即，
∴EF＝，
∴DE＝EF＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数以及对称的性质，熟练掌握对称的性质是解题的关键．
10. 在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①tan∠GFB＝；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM＝．正确的个数是（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数求得①正确；证明△DEC≌△FEM（AAS）得DM=FC，再证△DMN≌△FCN，得②正确；由三角形全等，勾股定理得③错误；BE=EC=1，CF=5-1，由三角函数，得④正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵AB＝2，点E是BC边的中点，
∴CE＝1，
∵∠DNM＝∠FNC，
∵FG⊥DE，
∴∠DMN＝90°，
∴∠DMN＝∠NCF＝90°，∠GFB＝∠EDC，
，①正确；
②∵∠DMN＝∠NCF＝90°，∠MND＝∠FNC，
∴∠MDN＝∠CFN
∵∠ECD＝∠EMF，EF＝ED，∠MDN＝∠CFN
∴△DEC≌△FEM（AAS）
∴EM＝EC，
∴DM＝FC，
∠MDN＝∠CFN，∠MND＝∠FNC，DM＝FC，
∴△DMN≌△FCN（AAS），
∴MN＝NC，故②正确；
③∵BE＝EC，ME＝EC，
∴BE＝ME，
在Rt△GBE和Rt△GME中，BE＝ME，GE＝GE，
∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL），
∴∠BEG＝∠MEG，
∵ME＝EC，∠EMC＝∠ECM，
∵∠EMC+∠ECM＝∠BEG+∠MEG，
∴∠GEB＝∠MCE，
∴MC∥GE，
∴，
∵EF＝DE＝，
CF＝EF﹣EC＝﹣1，
∴，故③错误；
④由上述可知：BE＝EC＝1，CF＝﹣1，
∴BF＝+1，
∵tanF＝tan∠EDC＝，
∴，故④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、解直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是(4，﹣2)，则点B的坐标是_______．
【答案】（-2，1）
【解析】
【分析】设点B的坐标为（x，y），根据根据位似变换的坐标特点得-2x=4，-2y=-2，由此求得点B的坐标．
【详解】解：设点B的坐标为（x，y），
∵点B的对应点B′的坐标是（4，-2），
∴根据位似变换的坐标特点得-2x=4，-2y=-2，即x=-2，y=1，
∴点B的坐标为（-2，1）．
故填（-2，1）．
【点睛】本题考查了位似变换的坐标特点．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或一k．
12. 如图，菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝______°．
【答案】110
【解析】
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，AB∥CD，∠ACB＝∠ACD，由等腰三角形的性质可求∠BAC＝∠BCA＝70°，∠CAE＝40°，即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，∠ACB＝∠ACD，
∵∠B＝40°，
∴∠BAC＝∠BCA＝70°，
∴∠ACD＝70°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝70°，
∴∠CAE＝40°，
∴∠BAE＝110°，
故答案为110．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、等腰三角形的性质，掌握这些性质是解决本题的关键．
13. 已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为_____．
【答案】-1
【解析】
【详解】试题分析：对于一元二次方程的两个根和，根据韦达定理可得：+=，即，解得：，即方程的另一个根为-1．
14. 如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，S△ADC：S△BDC＝5：4，CD＝4，则AC长为__．
【答案】6
【解析】
【分析】由∠A＝∠BCD，∠ABC＝∠CBD，可证明△ABC∽△CBD，进而根据面积比等于相似比的平方求得的长．
【详解】∵S△ADC：S△BDC＝5：4，
∴S△BCD：S△ABC＝4：9，
∵∠A＝∠BCD，∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴（）2，
∴，
∴AC＝6
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
15. 如图，A、B两点是反比例函数y1＝与一次函数y＝2x的交点，点C在反比例函数y2＝上，连接OC，过点A作AD⊥x轴交OC于点D，连接BD．若AD＝BD，OC＝3OD，则k＝__．
【答案】
【解析】
【分析】先联立方程求出点A坐标，由AD＝BD得CO⊥AB，由OC＝3OD得点C坐标，再通过tan∠OAH＝tan∠COH求出点C坐标而求解．
【详解】解：联立方程，
解得，，
∴点A坐标为（﹣，﹣2），点B坐标为（，2），
∵A，B关于原点对称，
∴O为AB中点，
又∵AD＝BD，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
∴CO⊥AB，
又∵AH⊥x轴，
∴∠AOH+∠OAH＝∠AOH+∠COH＝90°，
∴∠OAH＝∠COH，
作CE⊥x轴于点E，
∵OC＝3OD，点D横坐标为﹣，
∴点C横坐标为﹣3，
∵tan∠OAH＝tan∠COH＝＝＝ ，
∴CE＝OE＝ ，
∴点C坐标为（﹣3，），
∴k＝﹣3×＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，掌握相似三角形的性质及解直角三角形的方法．
三．解答题（共55分）
16. 解下列一元二次方程
（1）5x2＝4﹣2x；
（2）（x＋2）2＝3x＋6（提公因式法）
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）观察等号左右两边的式子，移项，提取公因式，求解即可．
【详解】解：（1），
，
∵
∴，
∴，
∴，；
（2）原方程可变形为：
，
或，
所以
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．
17. 计算：cos60°﹣2sin245°＋tan230°﹣sin30°．
【答案】﹣
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
18. 某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？
（2）请把图2的条形统计图补充完整；
（3）若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）12件；（2）作图见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图算出C班作品数量占整体的份数，然后再计算整体件数即可；
（2）由第一问知道作品总件数，算出B班件数，画图即可；
（3）画出表格或树状图，然后计算概率即可
【详解】解：（1）（件）
（2）12-2-5-2=3，补充作图如下：
（3）列表如下：
由列表知，共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的情况有8种，所以恰好抽到一男生一女生的概率为
【点睛】本题考查数据的收集处理，用列表和树状图计算概率等知识点，牢记相关内容是解题关键，
19. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为．
（1）求新传送带的长度；
（2）如果需要在货物着地点的左侧留出的通道，试判断距离点的货物是否需要挪走，并说明理由．
【答案】（1）新传送带长度为；（2）货物需要挪走，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求出AD的长，然后再根据直角三角形的性质求出AC即可；
（2）先根据余弦的定义求出CD，然后再根据题意求出PC的长，最后根据题意判断即可．
【详解】解：（1）在中，，
在中，，
，
答：新传送带的长度为；
（2）在中，，
，
在中，，
，
，
货物需要挪走．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的相关知识是解本题的关键．
20. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变
（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；
（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
【答案】（1）25%；（2）降价5元.
【解析】
【分析】（1）首先设四、五月份销售量平均增长率为x，然后列出方程即可得解；
（2）首先设商品降价m元，然后列出方程即可得解.
【详解】（1）设四、五月份销售量平均增长率为x，则128（1+x）2＝200
解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）
所以四、五月份销售量平均增长率为25%；
（2）设商品降价m元，则（40﹣m﹣25）（200+5m）＝2250
解得m1＝5，m2＝﹣30（舍去）
所以商品降价5元时，商场获利2250元．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系列出方程是解题关键.
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，，，点为对角线上一动点，过点作，交轴于点．
（1）_________；
（2）在点从点运动到点的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；
（3）若将沿直线折叠后，点与点重合，请求出的长为多少？
【答案】（1）；（2）的值不发生变化，其值为，理由见解析；（3），
【解析】
【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=OA=8，AB=OC=4，
在Rt△ABC中，，
故答案为：；
（2）的值不发生变化，其值为，
理由：如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，
∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，
∴EF＝OC＝4，
设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝4﹣a，
在Rt△CEP中，，
∴CE＝2PE＝2a，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣2a＝2（4﹣a），
∵PQ⊥PB，
∴∠BPE+∠FPQ＝90°，
∵∠BPE+∠PBE＝90°，
∴∠FPQ＝∠EBP，
∵∠BEP＝∠PFQ＝90°，
∴△BEP∽△PFQ，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，
∵将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，
∴BQ⊥AC，，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝8，根据勾股定理得，，
∵∠BAC＝∠DAB，∠ADB＝∠ABC＝90°，
∴△ABC∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，构造出相似三角形表示出BP和PQ是解本题的关键．
22. 如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于、两点（、不与重合），沿着将矩形折叠使、两点重合．
（1）____________（用含有代数式表示）；
（2）如图2，当点恰好落在矩形的对角线上时，求的长度；
（3）若折叠后，是等腰三角形，请直接写出此时点的坐标．
【答案】（1）；（2）2；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据点A的坐标可得点E的纵坐标为3，所以得CE=，从而得AE的长；
（2）如图2中，连接AD交EF于M，想办法证明△AEF∽△ACB，推出EF∥BC，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明AE=EC=2即可；
（3）分三种情况讨论：①AD=BD，②AD=AB，③AB=BD，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答．
【详解】解：（1）∵四边形ABOC是矩形，且A（4，3），
∴AC=4，OC=3，
∵点E在反比例函数y=上，
∴E（，3），
∴CE=，
∴AE=4-；
故答案为：4-；
（2）如图2，∵A（4，3），
∴AC=4，AB=3，
∴，
∴点F在y=上，
∴F（4，），
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF=∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠FED=∠CDE，
连接AD交EF于M点，
∴△AEF≌△DEF，
∴∠AEM=∠DEM，AE=DE，
∴∠FED=∠CDE=∠AEF=∠ACB，
∴CE=DE=AE=AC=2；
（3）过D点作DN⊥AB，
∵AE=2，AF=，
∴EF=，
①当BD=AD时，如图3，有∠AND=90°，AN=BN=AB=，
∴∠DAN+∠ADN=90°，
∵∠DAN+∠AFM=90°，
∴∠ADN=∠AFM，
∴tan∠ADN=tan∠AFM=，
∴，
∵AN=，
∴DN=，
∴D（4-，），即D（，）；
②当AB=AD=3时，如图4，
在Rt△ADN中，sin∠ADN=sin∠AFM=，
∴，
∴AN=AD=×3=，
∴BN=3-AN=3-=，
∵DN=AN=×=，
∴D（4-，），即D（，）；
③当AB=BD时，△AEF≌△DEF，
∴DF=AF，
∴DF+BF=AF+BF，即DF+BF=AB，
∴DF+BF=BD，
此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，
∴AB≠BD，
综上所述，所求D点坐标为（，）或（，）．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
深圳实验学校初中部2021－2022学年第一学期
九年级期中考试数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图即可得到答案．
【详解】解：它的左视图是．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图-左视图，理解左视图的定义“从左边看得到的图形是左视图”是解题关键，注意看不到但存在的线段要画成虚线．
2. 下列各组线段中，成比例的一组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例线段的定义：（a、b、c、d分别是4条线段的长）就称这组线段成比例，进行判断求解即可.
【详解】解：A、，，，，不成比例，故此选项错误；
B、，，，，可以得到，成比例，故此选项正确；
C、，，，，不成比例，故此选项错误；
D、，，，，不成比例，故此选项错误；
故选B.
【点睛】本题主要考查了比例线段的定义，解题的关键在于能够熟练掌握比例线段的定义.
3. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. 2x2﹣x＝1 C. 3x3＝1 D. xy＝4
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义要求，含有一个未知数，未知数的最高指数是2，并且是整式方程，逐一判断即可．
【详解】解：A、分式方程，不是整式方程，选项错误；
B、是一元二次方程，选项正确；
C、未知数的指数是3，不是一元二次方程；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程
故选：B
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，牢记定义是解题关键．
4. 如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理逐项判定即可．
【详解】解：A、∵DF∥AC，
∴，所以A选项错误，不符合题意；
B、∵DE∥BC，
∴，而，
∴，
∵DE∥CF，DF∥CE，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴CF=DE，
∴，即，所以B选项错误，不符合题意；
C、∵DE∥BC，
∴，所以C选项错误，不符合题意；
D、∵DE∥BC，
∴，即，所以D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例的性质．
5. 如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数和图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
【详解】解：A、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确；
B、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误；
C、由函数y=的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误；
D、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 有三个角为直角的四边形为矩形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，正方形的判定定理逐个分析即可求解.
【详解】A. 有三个角为直角的四边形为矩形，正确；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，因此B错误；
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此C错误；
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，因此D错误；
故选A.
【点睛】本题主要考查平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理.
7. 如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A. 9.3m B. 10.5m C. 12.4m D. 14m
【答案】B
【解析】
【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出CD即可．
【详解】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴，即，
∴CD=10.5（米）．
故选B．
【点睛】考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
8. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，先利用图中格点，求出BD、AB的长，最后在直角三角形ABD中求出∠A的正弦值．
【详解】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．
则：AB，BD3．
在Rt△ABD中
∴sinA
．
故选：C
【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，直角三角形的边角间关系，牢记概念知识解决本题的关键．
9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，设BN＝x，则FN＝2x，则AN＝4−x，由对称的性质得出DE＝EF，DA＝AF＝4，证明△ADE≌△AFE（SSS），得∠D＝∠AFE＝90°，由勾股定理求出x，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【详解】解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴∠FME＝90°，
∵tan∠ABF＝2，
∴＝2，
设BN＝x，则FN＝2x，
∴AN＝4﹣x，
∵点F是点D关于直线AE对称的点，
∴DE＝EF，DA＝AF＝4，
∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（SSS），
∴∠D＝∠AFE＝90°，
∵AN2＋NF2＝AF2，
∴（4﹣x）2＋（2x）2＝42，
∴x1＝0（舍），x2＝，
∴AN＝4﹣x＝4﹣＝，MF＝4﹣2x＝4﹣＝，
∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠FAN＝90°，
∴∠EFM＝∠FAN，
∴cos∠EFM＝cos∠FAN，
∴＝，即，
∴EF＝，
∴DE＝EF＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数以及对称的性质，熟练掌握对称的性质是解题的关键．
10. 在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①tan∠GFB＝；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM＝．正确的个数是（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数求得①正确；证明△DEC≌△FEM（AAS）得DM=FC，再证△DMN≌△FCN，得②正确；由三角形全等，勾股定理得③错误；BE=EC=1，CF=5-1，由三角函数，得④正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵AB＝2，点E是BC边的中点，
∴CE＝1，
∵∠DNM＝∠FNC，
∵FG⊥DE，
∴∠DMN＝90°，
∴∠DMN＝∠NCF＝90°，∠GFB＝∠EDC，
，①正确；
②∵∠DMN＝∠NCF＝90°，∠MND＝∠FNC，
∴∠MDN＝∠CFN
∵∠ECD＝∠EMF，EF＝ED，∠MDN＝∠CFN
∴△DEC≌△FEM（AAS）
∴EM＝EC，
∴DM＝FC，
∠MDN＝∠CFN，∠MND＝∠FNC，DM＝FC，
∴△DMN≌△FCN（AAS），
∴MN＝NC，故②正确；
③∵BE＝EC，ME＝EC，
∴BE＝ME，
在Rt△GBE和Rt△GME中，BE＝ME，GE＝GE，
∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL），
∴∠BEG＝∠MEG，
∵ME＝EC，∠EMC＝∠ECM，
∵∠EMC+∠ECM＝∠BEG+∠MEG，
∴∠GEB＝∠MCE，
∴MC∥GE，
∴，
∵EF＝DE＝，
CF＝EF﹣EC＝﹣1，
∴，故③错误；
④由上述可知：BE＝EC＝1，CF＝﹣1，
∴BF＝+1，
∵tanF＝tan∠EDC＝，
∴，故④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、解直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是(4，﹣2)，则点B的坐标是_______．
【答案】（-2，1）
【解析】
【分析】设点B的坐标为（x，y），根据根据位似变换的坐标特点得-2x=4，-2y=-2，由此求得点B的坐标．
【详解】解：设点B的坐标为（x，y），
∵点B的对应点B′的坐标是（4，-2），
∴根据位似变换的坐标特点得-2x=4，-2y=-2，即x=-2，y=1，
∴点B的坐标为（-2，1）．
故填（-2，1）．
【点睛】本题考查了位似变换的坐标特点．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或一k．
12. 如图，菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝______°．
【答案】110
【解析】
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，AB∥CD，∠ACB＝∠ACD，由等腰三角形的性质可求∠BAC＝∠BCA＝70°，∠CAE＝40°，即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，∠ACB＝∠ACD，
∵∠B＝40°，
∴∠BAC＝∠BCA＝70°，
∴∠ACD＝70°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝70°，
∴∠CAE＝40°，
∴∠BAE＝110°，
故答案为110．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、等腰三角形的性质，掌握这些性质是解决本题的关键．
13. 已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为_____．
【答案】-1
【解析】
【详解】试题分析：对于一元二次方程的两个根和，根据韦达定理可得：+=，即，解得：，即方程的另一个根为-1．
14. 如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，S△ADC：S△BDC＝5：4，CD＝4，则AC长为__．
【答案】6
【解析】
【分析】由∠A＝∠BCD，∠ABC＝∠CBD，可证明△ABC∽△CBD，进而根据面积比等于相似比的平方求得的长．
【详解】∵S△ADC：S△BDC＝5：4，
∴S△BCD：S△ABC＝4：9，
∵∠A＝∠BCD，∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴（）2，
∴，
∴AC＝6
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
15. 如图，A、B两点是反比例函数y1＝与一次函数y＝2x的交点，点C在反比例函数y2＝上，连接OC，过点A作AD⊥x轴交OC于点D，连接BD．若AD＝BD，OC＝3OD，则k＝__．
【答案】
【解析】
【分析】先联立方程求出点A坐标，由AD＝BD得CO⊥AB，由OC＝3OD得点C坐标，再通过tan∠OAH＝tan∠COH求出点C坐标而求解．
【详解】解：联立方程，
解得，，
∴点A坐标为（﹣，﹣2），点B坐标为（，2），
∵A，B关于原点对称，
∴O为AB中点，
又∵AD＝BD，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
∴CO⊥AB，
又∵AH⊥x轴，
∴∠AOH+∠OAH＝∠AOH+∠COH＝90°，
∴∠OAH＝∠COH，
作CE⊥x轴于点E，
∵OC＝3OD，点D横坐标为﹣，
∴点C横坐标为﹣3，
∵tan∠OAH＝tan∠COH＝＝＝ ，
∴CE＝OE＝ ，
∴点C坐标为（﹣3，），
∴k＝﹣3×＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，掌握相似三角形的性质及解直角三角形的方法．
三．解答题（共55分）
16. 解下列一元二次方程
（1）5x2＝4﹣2x；
（2）（x＋2）2＝3x＋6（提公因式法）
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）观察等号左右两边的式子，移项，提取公因式，求解即可．
【详解】解：（1），
，
∵
∴，
∴，
∴，；
（2）原方程可变形为：
，
或，
所以
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．
17. 计算：cos60°﹣2sin245°＋tan230°﹣sin30°．
【答案】﹣
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
18. 某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？
（2）请把图2的条形统计图补充完整；
（3）若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）12件；（2）作图见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图算出C班作品数量占整体的份数，然后再计算整体件数即可；
（2）由第一问知道作品总件数，算出B班件数，画图即可；
（3）画出表格或树状图，然后计算概率即可
【详解】解：（1）（件）
（2）12-2-5-2=3，补充作图如下：
（3）列表如下：
由列表知，共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的情况有8种，所以恰好抽到一男生一女生的概率为
【点睛】本题考查数据的收集处理，用列表和树状图计算概率等知识点，牢记相关内容是解题关键，
19. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为．
（1）求新传送带的长度；
（2）如果需要在货物着地点的左侧留出的通道，试判断距离点的货物是否需要挪走，并说明理由．
【答案】（1）新传送带长度为；（2）货物需要挪走，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求出AD的长，然后再根据直角三角形的性质求出AC即可；
（2）先根据余弦的定义求出CD，然后再根据题意求出PC的长，最后根据题意判断即可．
【详解】解：（1）在中，，
在中，，
，
答：新传送带的长度为；
（2）在中，，
，
在中，，
，
，
货物需要挪走．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的相关知识是解本题的关键．
20. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变
（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；
（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
【答案】（1）25%；（2）降价5元.
【解析】
【分析】（1）首先设四、五月份销售量平均增长率为x，然后列出方程即可得解；
（2）首先设商品降价m元，然后列出方程即可得解.
【详解】（1）设四、五月份销售量平均增长率为x，则128（1+x）2＝200
解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）
所以四、五月份销售量平均增长率为25%；
（2）设商品降价m元，则（40﹣m﹣25）（200+5m）＝2250
解得m1＝5，m2＝﹣30（舍去）
所以商品降价5元时，商场获利2250元．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系列出方程是解题关键.
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，，，点为对角线上一动点，过点作，交轴于点．
（1）_________；
（2）在点从点运动到点的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；
（3）若将沿直线折叠后，点与点重合，请求出的长为多少？
【答案】（1）；（2）的值不发生变化，其值为，理由见解析；（3），
【解析】
【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=OA=8，AB=OC=4，
在Rt△ABC中，，
故答案为：；
（2）的值不发生变化，其值为，
理由：如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，
∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，
∴EF＝OC＝4，
设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝4﹣a，
在Rt△CEP中，，
∴CE＝2PE＝2a，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣2a＝2（4﹣a），
∵PQ⊥PB，
∴∠BPE+∠FPQ＝90°，
∵∠BPE+∠PBE＝90°，
∴∠FPQ＝∠EBP，
∵∠BEP＝∠PFQ＝90°，
∴△BEP∽△PFQ，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，
∵将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，
∴BQ⊥AC，，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝8，根据勾股定理得，，
∵∠BAC＝∠DAB，∠ADB＝∠ABC＝90°，
∴△ABC∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，构造出相似三角形表示出BP和PQ是解本题的关键．
22. 如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于、两点（、不与重合），沿着将矩形折叠使、两点重合．
（1）____________（用含有代数式表示）；
（2）如图2，当点恰好落在矩形的对角线上时，求的长度；
（3）若折叠后，是等腰三角形，请直接写出此时点的坐标．
【答案】（1）；（2）2；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据点A的坐标可得点E的纵坐标为3，所以得CE=，从而得AE的长；
（2）如图2中，连接AD交EF于M，想办法证明△AEF∽△ACB，推出EF∥BC，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明AE=EC=2即可；
（3）分三种情况讨论：①AD=BD，②AD=AB，③AB=BD，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答．
【详解】解：（1）∵四边形ABOC是矩形，且A（4，3），
∴AC=4，OC=3，
∵点E在反比例函数y=上，
∴E（，3），
∴CE=，
∴AE=4-；
故答案为：4-；
（2）如图2，∵A（4，3），
∴AC=4，AB=3，
∴，
∴点F在y=上，
∴F（4，），
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF=∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠FED=∠CDE，
连接AD交EF于M点，
∴△AEF≌△DEF，
∴∠AEM=∠DEM，AE=DE，
∴∠FED=∠CDE=∠AEF=∠ACB，
∴CE=DE=AE=AC=2；
（3）过D点作DN⊥AB，
∵AE=2，AF=，
∴EF=，
①当BD=AD时，如图3，有∠AND=90°，AN=BN=AB=，
∴∠DAN+∠ADN=90°，
∵∠DAN+∠AFM=90°，
∴∠ADN=∠AFM，
∴tan∠ADN=tan∠AFM=，
∴，
∵AN=，
∴DN=，
∴D（4-，），即D（，）；
②当AB=AD=3时，如图4，
在Rt△ADN中，sin∠ADN=sin∠AFM=，
∴，
∴AN=AD=×3=，
∴BN=3-AN=3-=，
∵DN=AN=×=，
∴D（4-，），即D（，）；
③当AB=BD时，△AEF≌△DEF，
∴DF=AF，
∴DF+BF=AF+BF，即DF+BF=AB，
∴DF+BF=BD，
此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，
∴AB≠BD，
综上所述，所求D点坐标为（，）或（，）．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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