精品解析：广东省深圳市海湾中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题

2022-2023学年海湾中学初二（上）数学中期教学反馈

一、单选题（30分）

1. 在，3.14，0，0.313 113 111…，0.43五个数中，无理数有（　　）个.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．

【详解】解：3.14，0.43是有限小数，属于有理数；

0是整数，属于有理数；

无理数有，0313 113 111…，共有2个．

故选：B．

【点睛】此题主要考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

2. 在平面直角坐标系中，点位于（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．

【详解】解：点位于第二象限，故B正确．

故选：B．

【点睛】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标象限的符合特征：第一象限为“”，第二象限为“”，第三象限为“”，第四象限为“”是解题的关键．

3. 一组数据1，2，3，5，3，4，10的极差、众数分别是（    ）

A. 3，3 B. 9，3 C. 5，4 D. 6，10

【答案】B

【解析】

【分析】根据众数和极差的概念求解．

【详解】解：3出现的次数最多，故众数为3，
极差为：10-1=9．
故选B．

【点睛】本题考查众数和极差的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．

4. 如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面9米处折断，树的顶端落在离树杆底部12米处，那么这棵树折断之前的高度是（    ） 

A. 9米 B. 12米 C. 15米 D. 24米

【答案】D

【解析】

【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．

【详解】解：如图，AB=9米，AC=12米，

根据勾股定理得BC==15（米），

于是折断前树的高度是15+9=24（米）．

故选D．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．

5. 已知：如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=∠3，则∠2的度数为（　　）

A 50° B. 60° C. 65° D. 75°

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行线的性质，即可得到∠1+∠2+∠3=180°，再根据∠2=∠3，∠1=50°，即可得出∠2的度数．

【详解】∵a∥b，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
又∵∠2=∠3，∠1=50°，
∴50°+2∠2=180°，
∴∠2=65°，
故选：C．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．

6. 已知是方程的一组解，那么a的值为（　　）

A. 1 B. 3 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以求出a的值．

详解】解：把代入方程，

得，

解得．

故选：A．

【点睛】此题考查了二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程．一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．

7. 在函数中，的值是（    ）

A. 3 B.  C. 6 D.

【答案】D

【解析】

【分析】形如 这样的函数是一次函数，根据函数的定义可得答案．

【详解】解：函数中，值是-6，

故答案为：D

【点睛】本题考查的是一次函数的定义，掌握“一次函数的定义”是解本题的关键．

8. 如图所示，圆柱的高，底面周长为8，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（    ）

A. 6 B. 5 C.  D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．

【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段的长．过C作，此时．

在中，，，为底面半圆弧长，，

所以，

它爬行的最短距离是5，

故选：B．

【点睛】此题主要考查了勾股定理，平面展开图---最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题．

9. 如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（    ）

A. A，O之间 B. B，C之间 C. C，D之间 D. O，B之间

【答案】D

【解析】

【分析】先估算出的值，再确定出其位置即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴，即，

∴表示数的点应在O，B之间．

故选：D．

【点睛】本题考查的是实数与数轴．熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，能够正确估算出的值是解答此题的关键．

10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论是（    ）

A. ①②③

B. ①②④

C. ②③④

D. ①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根据平行线性质和角平分线的定义可得，，再根据等腰三角形的判定可得，，故①正确；由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形的内角和定理，即可求得②正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得，故④错误．

【详解】解：∵在中，和的平分线相交于点，

∴，，

∵，

∴，，

∴，，

∴，，

∴，则结论①正确；

∵在中，和的平分线相交于点，

∴，，，

∴，

∴，则结论②正确；

如图，过点作于，作于，连接，

∵在中，和的平分线相交于点，，

∴，

即点到各边的距离相等，则结论③正确；

，，

∴，则结论④错误；

综上，正确的结论是①②③，

故选：A．

【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．

二、填空题（15分）

11. 81的算术平方根是 _____．

【答案】9

【解析】

【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．

【详解】解：81的算术平方根是：．

故答案为：9．

【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，正确把握算术平方根的定义是解题关键．

12. 某校规定学生的数学学期综合成绩由平时、期中和期末三项成绩按3∶3∶4的比计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是70分、85分和90分，则他本学期数学学期综合成绩是___分．

【答案】82.5

【解析】

【分析】按3：3：4的比例算出本学期数学学期综合成绩即可．

【详解】解：本学期数学学期综合成绩=90×30%+90×30%+85×40%=88（分）．

故答案为：88．

【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．

13. 如图，在数轴上点A表示的实数是______．

【答案】

【解析】

【分析】如图，利用勾股定理求出，即可得解．

【详解】解：如图，，

∴，

∴，

∴点表示的实数是：．

故答案为：．

【点睛】本题考查实数与数轴．熟练掌握实数和数轴上的点一一对应，是解题的关键．本题还考查了勾股定理．

14. 如图所示，将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是_______________．

【答案】75°

【解析】

【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质确定∠ABC=∠ACB，再根据三角形内角和定理即可求解．

【详解】如下图所示，设该矩形纸片为矩形DEFG，四边形BCGD沿BC翻折后得到四边形BCNM．

∵四边形BCGD沿BC翻折后得到四边形BCNM，

∴∠DBC=∠ABC．

∵四边形DEFG是矩形，

∴．

∴∠DBC=∠ACB．

∴∠ABC=∠ACB．

∵∠CAB=30°，

∴∠ACB=∠ABC=．

故答案为：75°．

【点睛】本题考查矩形的性质，平行线的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题关键．

15. 如图，如果四边形中，，，，且，，，则______．

【答案】7

【解析】

【分析】如图：在DC上取一点G，使，然后证明可得，；然后再证明可得，设，即，，最后在运用勾股定理列方程求解即可．

【详解】解：如图：在DC上取一点G，使，

∵，

∴，

∵，

∴，

又∵，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴

设，即，

在中，

∴，解得：．

∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．

三、解答题

16. 计算题

（1）

（2）

【答案】（1）1    （2）

【解析】

【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；

（2）根据零指数幂以及二次根式的混合运算法则计算即可．

【小问1详解】

；

【小问2详解】

．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，绝对值的意义，零指数幂等知识，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．

17. 解下列方程或方程组

（1）

（2）解方程组：

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求得的值，然后再求其立方根即可；

（2）先②×3，然后再运用加减消元法解答即可.

【小问1详解】

解：

【小问2详解】

解：

解②×3得③

①+③可得：，即

将代入②可得：，解得

所以该方程组的解为

【点睛】本题主要考查了立方根、加减消元法等知识点，灵活运用整体思想是解答本题的关键.

18. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．

（1）若△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，作出；

（2）若P为y轴上一点，使得△APC周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为______；

（3）计算△ABC的面积．

【答案】（1）见解析    （2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到；
（2）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，则可解答；
（3）依据割补法进行计算，即可得到△ABC的面积．

【小问1详解】

解：如图所示，

【小问2详解】

解：根据轴对称的性质，作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，点即为所求，

根据网格的特点，点在网格的对角线上则

故答案为：

【小问3详解】

△ABC的面积为：

【点睛】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质求线段和的最小值，坐标与图形，数形结合是解题的关键．

19. 某校在八年级开展环保知识问卷调查活动，问卷一共10道题，每题10分，八年级（三）班的问卷得分情况统计图如下图所示：

（1）扇形统计图中，a的值为 ________．

（2）根据以上统计图中的信息，求这问卷得分的众数和中位数分别是多少分？

（3）已知该校八年级共有学生600人，请估计问卷得分在80分以上（含80分）的学生约有多少人？

【答案】（1）；（2）90分，85分；（3）420

【解析】

【分析】（1）利用60分的百分比a等于1减去其他部分的百分比即可得到；

（2）先计算得出调查的总人数，找到这组数据从低到高排列的第25、26个得分，即可即可得到中位数；

（3）用600乘以80分及以上的百分比即可得到答案.

【详解】（1）；

（2）①问卷得分的众数是90分，

②问卷调查的总人数为： （人），

第25、26个人的得分分别为80分、90分，

问卷得分的中位数是（分）；

（3）（人）

答：估计问卷得分在80分以上（含80分）的学生约有420人.

【点睛】此题考查数据的整理计算，能正确计算部分的百分比，求数据的总数，中位数，利用样本的数据计算总体的对应数据.

20. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．

（1）求证：；

（2）若，连接，平分，平分，求的度数．

【答案】（1）见解析；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质以及平行线的判定即可求解；

（2）利用平分，得到，再利用，得到，进一步可求出．

【小问1详解】

证明：∵E为中点，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴．

【小问2详解】

解：∵平分，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

21. 如图1，在平面直角坐标系中点A坐标为，a、b满足

（1）直接写出点A的坐标______；______；

（2）x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形，请直接写出点P坐标；

（3）如图2，C为，若点B在x轴正半轴上，当的面积等于的面积一半时；

①点B坐标为______；

②求的大小，要有过程

【答案】（1）；；   

（2）P为、、或；   

（3）①；②．

【解析】

【分析】（1）因为，利用绝对值和二次根式的非负性求出，，即可求出点A坐标，进一步可求出；

（2）分情况讨论，作出图形，结合图形求解即可

（3）①利用，可求出；②作点B关于y轴的对称点，连接，，过点A作轴于H点，证明，进一步可求出．

【小问1详解】

解：∵，

∴，，

解得：，，

∴；

∴；

故答案为：；

【小问2详解】

解：当，为底边，如图：作交于点B，

∵，，

∴，

∴，即；

当，为底边，P在x轴的正半轴，如图：

∵，

∴，即；

当，为底边，P在x轴的负半轴，如图：

∵，

∴，即；

当，为底边，如图：作轴交于点C，

设，则，

∵，

∴由勾股定理得：，

解得：，即

综上所述：，，，；

【小问3详解】

解：①∵，，

∵的面积等于面积的一半，

∴，

∴，即；

②如图，作点B关于y轴的对称点，连接，，过点A作轴于H点，

∴，，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴．

【点睛】本题考查直角坐标系，等腰三角形的性质，三角形全等，解题的关键是熟练掌握以上相关知识，结合图形进行求解，对于第（2）问需要分类讨论，掌握分类讨论的思想．

22. 已知和都是等腰直角三角形，．

（1）【发现问题】

如图1，若D为内部一点，AE与BD的数量关系是______；

（2）【探索证明】

如图2，若D为AB边上一点，，，求DE的长．

（3）【学于致用】

运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知，，，，求AE的长．

【答案】（1）；理由见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）证明即可得；

（2）方法同（1）证明，从而，最后由勾股定理即可求得；

（3）根据（1）（2）的方法作点关于对称点，连接，，，证明=，通过证明得，在中用勾股定理求得的长．

【小问1详解】

如图

和都是等腰直角三角形，

．

【小问2详解】

如图

和都是等腰直角三角形，

,

，

在中，

．

【小问3详解】

如图：作点关于对称点，连接，，，

则,，

又

在与中

在中

=，

．

【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，找到三角形全等的条件或通过辅助线构造三角形全等的条件是解题的关键．