精品解析：广东省深圳市高级中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

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广东省深圳高级中学2022-2023学年八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题只有一个选项，每小题3分，共计30分）
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 2与互为倒数 B. 2与互为相反数 C. 0的相反数是0 D. 2的绝对值是
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可．
【详解】解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确
B. 2与互为倒数，故选项B不正确；
C. 0的相反数是0，故选项C正确；
D. 2的绝对值是2，故选项D不正确．
故选C．
【点睛】本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键．
2. 电影《长津湖》备受观众喜爱，截止到2021年12月初，累计票房57.44亿元，57.44亿元用科学记数法表示为（　　）元
A. 5.744×107 B. 57.44×108 C. 5.744×109 D. 5.744×1010
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法，根据以上科学记数法的定义求解即可．
【详解】解：57.44亿元用科学记数法表示为5.744×109元
故选：C．
【点睛】此题考查了科学记数法的问题，解题的关键是掌握科学记数法的定义以及表示方法．
3. 下列计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用算术平方根的性质和立方根的性质依次分析即可．
【详解】A选项正确；
B选项的计算结果为4，所以错误；
C选项，所以错误；
D选项的计算结果为2，所以错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质和立方根的性质，解题关键是牢记概念．
4. 已知下列命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直；⑥若，则．其中真命题的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的性质对②进行判断；利用反例对③⑥进行判断；根据平行公理推论对④进行判断；根据邻补角和角平分线的定义对⑤进行判断；即可得到答案．
【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题；
③两个直角也可以互补，原命题是假命题；
④平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题；
⑤邻补角的平分线互相垂直，原命题是真命题；
⑥当时，，原命题是假命题，
真命题的个数为2，
故选B．
【点睛】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，熟练掌握对顶角、互补、邻补角和平行公理推论是解题关键．
5. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：
综上：，
故选：A
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
6. 在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有（ ）
A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种
【答案】C
【解析】
【分析】设可分成每小组5人的小组组，每小组4人的小组组，利用各组人数之和为43人，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出分组方案．
【详解】解：设可分成每小组5人的小组组，每小组4人的小组组，
依题意得：，
．
又，均为自然数，
当x=0，y= 不合题意，舍去；
当x=1，y=不合题意，舍去；
当x=2，y=不合题意，舍去；
当x=3，y=7成立；
当x=4，y=不合题意，舍去；
当x=5， 不合题意，舍去；
当x=6，y=不合题意，舍去；
当x=7，y=2成立；
当x=8，y=不合题意，舍去；
故共有2种分组方案．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
7. 如图，在△ABC中，，，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理求得，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：在中，∵，，
∴，
由作图可知，为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图和性质是解题的关键．
8. 如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）

A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．
【详解】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的面积求出AD的长度是解答本题的关键．
9. 如图1，四边形中，，°，，动点从点出发，沿折线方向以m单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中， 的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（ ）

A. 144 B. 134 C. 124 D. 114
【答案】A
【解析】
【分析】从图2看，，，过点作交于点，在Rt中，，则，当点在点处时，，解得，则四边形的面积，即可求解．
【详解】解：从图2来看，，
过点作交于点，

则

在中，，

当点在点处时，
解得
则四边形的面积
故选：A
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到等腰三角形性质和勾股定理的运用等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
10. 已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点P的坐标为其中正确的说法个数有　　

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；分别求出BD=3，,，然后利用勾股定理的逆定理即可判断②；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为．
【详解】解：直线：与直线：都经过，
方程组解为，
故①正确；
把，代入直线：，可得
，
解得，
直线：，
∴点B的坐标为（0，4），
又直线：经过点
，
∴ ，
∴直线：，
∴点D的坐标为（0，1），
∴BD=3，,，
∴，
∴△BCD是直角三角形
故②正确；
在直线：中，令，则，
，
，
，
故③正确；
点A关于y轴对称的点为，
设过点C，的直线为，则
，
解得，
，
令，则，
当的值最小时，点P的坐标为，
故④正确．
故选D．

【点睛】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 一块含角的直角三角尺与直尺的摆放位置如图所示，若，则的度数为__________.

【答案】##32度
【解析】
【分析】如图，先根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据对顶角相等即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，

，
，
由对顶角相等得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题关键．
12. 现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有，则的值为________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据新运算要求可知两个数进行新运算等于这两个数和的算术平方根，再加上这两个数的乘积与1的和的立方根，再代入计算即可．
【详解】．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的计算，理解新定义是解题的关键．
13. 如图，在中，，，，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据三角形内角和可得，根据，可得，，即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据等腰三角形性质求出底角．
14. 勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则长方形内空白部分的面积之和是________．

【答案】60
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB,求出△ACB△BOG ，△MHG△GOB，求出AC= OB= HG = 4，BC= OG = MH=3，分别求出长方形FHNR，正方形BCDE，正方形ACQP，正方形ABGM的面积，即可求出答案．
【详解】解：如图，在Rt△ABC中，BC= 3，AC= 4 ，

则根据勾股定理得到AB=，
延长CB交FH于O，
∵四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，
∴BG=AB=GM，∠ACB=∠ABG=∠F=∠H=∠MGB= 90°，BC//DE，
∴∠BOG=∠F= 90°，
∴∠CAB+∠ABC= 90°，
∠ABC+∠GBO= 180°- 90°= 90°，
∴∠CAB=∠GBO，
在△ACB和△BOG中，

∴△ACB△BOG(AAS)，
∴AC= OB= 4，OG= BC= 3，
同理可证△MHG△GOB，
∴MH = OG=3，HG=OB= 4，
∴FR=4 +3+4= 11，FH=3+3+4= 10，
∴
；
故答案为：60．
【点睛】本题考查了正方形性质,全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出长方形HFRN的边长．
15. 如图所示，等腰与等腰中，，，，则__________.

【答案】10
【解析】
【分析】连接，，证明从而得到，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，

，
，
在和中，

，
；
，
，
，
，，
，，
，，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用，证明是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16. （1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算乘方和去绝对值符号、二次根式除法，再合并同类二次根式即可．
（2）用加减消元法求解即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）化简整理，得：，
，得，
解得，
将代入①，得：，
解得，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查实数混合运算，解二元一次方程组．熟练掌握实数运算法则和用加减法解二元一次方程组的方法是解题的关键．
17. 先化简再求值：其中a＝，b＝﹣2．
【答案】，3
【解析】
【分析】先利用整式的混合运算将中括号化简，再根据除法法则得出化简结果，最后将的值带入即可求解．
【详解】解：




当a＝，b＝﹣2时
原式．
【点睛】本题考查整式的化简求值，其中包含完全平方公式、平方差公式、去括号的法则、整式的除法等，灵活运用整式混合运算的法则是解题的关键．
18. 以2022年北京奥运会为契机，某校开展以“弘扬奥林匹克精神，感受冰雪运动魅力”为主题的冰雪实践课程．为了解学生掌握滑雪技巧等情况，教练从七年级和八年级各抽取了10名学生的训练成绩进行了统计，绘制如下统计图：

根据以上信息，整理分析数据如下：

平均成绩/分
中位数/分
众数/分
方差/分
七年级
3
b
c
2
八年级
a
3
3
0.4

（1）a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　．
（2）填空：填“七年级”或“八年级”
①从平均数和众数的角度来比较，样本中成绩较好的是 　 　：
②从样本数据来看，成绩相对更加稳定的是 　 　．
（3）若规定4分及4分以上为优秀，该校八年级共200名学生参加了此次实践活动，估计八年级滑雪训练成绩优秀的学生人数是多少？
【答案】（1）3，3.5，4
（2）①七年级；②八年级
（3）60人
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图可分别得出七年级和八年级的10名学生的训练成绩，再分别根据平均数、中位数和众数的确定方法进行求解即可；
（2）比较得出相应数据即可求出结论；
（3）运用样本估计总体即可求解．
【小问1详解】
由扇形统计图可得，七年级训练得1分的人数为：10×30%=3（人）；
得3分的人数为：：10×20%=2（人）；
得4分的人数为：10×40%=4（人）；
得5分的人数为：10×10%=1（人）；
得分按大小顺序排列为：5，4，4，4，4，3，3，1，1，1
所以，中位数为（分）；众数为：c=4（分）；
从条形统计图可得出八年级训练得分为：2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，
所以，训练得分平均数为：（分）
故答案为：3；3.5；4；
【小问2详解】
①七年级和八年级训练成绩的平均数相等为3分，但七年级的成绩众数大于八年级训练成绩的众数，
所以，样本中成绩较好的是七年级，
故答案为：七年级；
②七年级和八年级训练成绩的平均数相等为3分，但七年级的成绩的方差大于八年级成绩的方差，故成绩相对更加稳定的是八年级，
故答案为：八年级；
【小问3详解】
200×=60（人）
答：估计八年级滑雪训练成绩优秀的学生有60人
【点睛】本题主要考查了中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，掌握中位数、众数、平均数的求法是解答本题的关键．
19. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）在图中画出关于轴对称的图形；
（2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为__________；
（3）在y轴上确定一点P（注：不写作法，只保留作图痕迹），使的周长最小，最小值为__________．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）见解析；
【解析】
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C使得对应点，依次连接即可；
（2）根据点B及其对应点可得其对称轴，继而得出点C的对称点的坐标；
（3）连接交y轴于点P，连接，点P即为所求．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
；
【小问2详解】
解：在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为；
故答案为：直线，；
【小问3详解】
解：如图，点P即为所求，
的周长最小．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，最短路径等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
20. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深遂起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元．
（1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店计划用4500元全部购进两类图书．进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元，设购进A类x本，B类y本，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）A类图书每本的进价是36元，B类图书每本的进价是45元；
（2）当购进A类图书60本，B类图书52本时，该书店所获利润最大，为380元
【解析】
【分析】（1）设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元． 根据购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元，再建立方程组作答即可；
（2）设购进A类x本，B类y本，可得；再列出一次函数解析式，结合函数性质可得答案．
【小问1详解】
解：设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元．
根据题意得：，
解得，
答：A类图书每本的进价是36元，B类图书每本的进价是45元；
【小问2详解】
设购进A类x本，B类y本，
根据题意得： ，
∴；
根据题意得：
，
∵，
∴W随x的增大而减小．
∵，且x为整数，
∴当时，W有最大值，最大值为，
∴．
∴当购进A类图书60本，B类图书52本时，该书店所获利润最大，为380元．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，确定相等关系列方程组与函数关系式是解本题的关键．
21. 已知：如图1，中，，点D是上一点，其中，将沿所在的直线折叠得到，交于F，连接．

（1）①当时，　　．
②当时，　　（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，当时，解决以下问题：
①已知，求的值；
②证明：．
【答案】（1）①；②a
（2）①4；②见解析
【解析】
【分析】（ 1）①②由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可得，即可求解；
（2 ）①由等腰直角三角形性质可求，由直角三角形的性质可求，由等腰直角三角形的性质可求；
②由“”可证，可得，可得结论．
【小问1详解】
解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵将沿所在的直线折叠得到，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵将沿所在的直线折叠得到，
∴,

∴；
故答案为：a；
【小问2详解】
①解：如图2，过点A作于H，

∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②证明：如图3，过点A作，交于G，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22. 【模型建立】
（1）如图1，等腰RtABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：BEC≌CDA．
模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l1则直线l2函数表达式为 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使的以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B(3，﹣4)，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）或；（4）或或
【解析】
【分析】（1）根据同角的余角相等可证，从而利用可证；
（2）过点作，交于，过作轴于，则是等腰直角三角形，由（1）同理可得，则，利用待定系数法即可求得函数解析式；
（3）由（1）得，得，分两种情况，可求出的值，即可得出点的坐标；
（4）分点为直角顶点或点为直角顶点时或点为直角顶点三种情况，分别画出图形，利用（1）中型全等可得点的坐标，即可解决问题．
【详解】解：证明：（1），，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）过点作，交于，过作轴于，
则是等腰直角三角形，

由（1）同理可证，
，，
直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
，，
，
设的函数解析式为，
将点，的坐标代入得，，
直线的函数解析式为，
故答案为：；
（3）由（1）得，
，，
，

，
，
，
；
当M点在x轴的负半轴上时，如下图，

，
，
，
；
故答案为：或；
（4）①若点为直角顶点时，如图，

设点的坐标为，则的长为，
，，，
，
又，
，
在与中，
，
△，
，，
点的坐标为，
又点在直线上，
，
解得：，
即点的坐标为；
②若点为直角顶点时，如图，

设点的坐标为，则的长为，，
同理可证明，
，，
点的坐标为，
又点在直线上，
，
解得：，
点与点重合，点与点重合，
即点的坐标为；
③若点为直角顶点时，如图，

设点的坐标为，则的长为，，
同理可证明，
，，
，
又点在直线上，
，
解得：，
点与点重合，点与点重合，
即点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，作辅助线构造模型，运用分类思想是解题的关键．