湘教版八年级上册2.1 三角形教案

这是一份湘教版八年级上册2.1 三角形教案，共84页。教案主要包含了教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论等内容，欢迎下载使用。

第2章 三角形
2.1 三角形
第1课时 三角形的有关概念及三边关系

1.理解三角形的有关概念.
2.掌握三角形的三边关系，并运用三角形的三边关系解决相关问题.
3.通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力.
4.学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.
【教学重点】
三角形的有关概念.
【教学难点】
三角形三条边关系的应用.

一、情景导入，初步认知
观察下列图片，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来.你还能列举生活中的一些实例吗？

【教学说明】通过观察图片、找三角形、举例等活动，为认识三角形概念、表示法、三要素、边的关系的学习奠定了基础.
二、合作探究，探索新知
1.什么样的图形是三角形？
【归纳结论】不在同一直线上的三角形线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.
三角形可用符号“△”来表示，如图：

这个三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.其中，点A,B,C叫作△ABC的顶点；∠A,∠B,∠C叫作△ABC的内角（简称△ABC的角）；线段AB,BC,CA叫作△ABC的边.通常∠A,∠B,∠C的对边BC,AC,AB可分别用a,b,c来表示.
2.三角形从“角”的角度来看，可分为哪些三角形？三角形从“边”的角度来看，有哪些特殊的三角形呢？
【归纳结论】两条边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.等边三角形是特殊的等腰三角形.
3.警察抓劫匪（一名罪犯实施抢劫后，经AB——BC的路线往山上逃窜.警察为了能尽快抓到逃犯，经路线AC追赶，终于在山顶上将罪犯捉拿归案.）

警察为什么能在这么短的时间内抓到罪犯呢？（学生各抒已见）
【归纳结论】三角形两边之和大于第三边.
4.做一做：有三根木棒，其长度分别为2 cm,3 cm,6 cm,它们能否首尾相接构成一个三角形？
三、运用新知，深化理解
1.教材P43例1.
2.三条线段的长度分别为：
(1)3cm、4cm、5cm ； (2)8cm、7cm、15cm；
(3)13cm、12cm、20cm; (4)5cm、5cm、11cm；
能组成三角形的有（B）组.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（B）.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知三条线段的比是:①1∶3∶4;②1∶2∶3;③1∶4∶6;④3∶3∶6;⑤6∶6∶10;⑥3∶4∶5.其中可构成三角形的有(B)
A.1 个 B.2 个 C.3 个 C.4 个
5.已知等腰三角形的两边长分别为 3 和 6,则它的周长为(C)
A.9 B.12 C.15 D.12 或 15
6.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是1 7.已知一个三角形的两边长分别是4cm、7cm，则这个三角形的周长的取值范围是什么？
解：根据三角形三边的关系可知，
3<第三条边<11
所以三角形的周长大于：4+7+3
三角形的周长小于：4+7+11
即三角形的周长的取值范围是大于14小于22.
8.已知等腰三角形的两边长分别为 4,9,求它的周长.
解：因为三角形是等腰三角形，
所以，当腰长为4时，三角形的三边分别为：4、4、9，而4+4<9
所以不能构成一个三角形，应舍去.
当腰长为9时，三角形的三边分别为：9、9、4，
4+9>9
所以能构成一个三角形.
即周长为22.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充
布置作业:教材“习题2.1”中第1、2、6 题.

我在练习设计上主要采用了层层深入的原则，先是基础知识的练习；然后用三角形的知识解决实际问题；最后增加拓展延伸题，让优等生在这个知识点上的学习更进一步.而每一道题都运用了本节课的知识，每一道题目的呈现方式又都不同.这样既能让后进生跟得上，又能让优等生吃得饱，从而让全班同学共同进步.
从练习反馈中发现学生易错点，犯错的原因主要是学生未能认真审题.所以在以后审题教学中要重视抓关键词、培养审题习惯，提高解题效率.
第2课时 三角形的高、中线、角平分线

1.掌握三角形有关的线段的概念及定理.
2.会画出任意三角形的角平分线、中线、高线，特别注意钝角三角形高的画法.
3.通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力.
4.学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.
【教学重点】
三角形有关线段的概念及画法.
【教学难点】
结合三角形有关线段的定义探索相应的规律结论.

一、创设情境，导入新课
如图，试画出图中△ABC边上的高.

二、合作探究，探索新知
三角形中还有哪些特殊的线段呢？
①从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如下图：

线段AH是△ABC的BC边上的高.
做一做：试画出△ABC的BC边上的高.

想一想：一个三角形有几条高？你能画出其它的高吗？
②在三角形中，一个角的角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.如下图：

∠BAD=∠CAD,则线段AD是△ABC的一条角平分线.想一想：一个三角形有几条角平分线？你能画出其它的角平分线吗？
③在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.如下图：

BE=EC，则线段AE是△ABC的BC边上的中线.
做一做：任意画出一个三角形，画出三边上的中线.你发现了什么？
【归纳结论】三角形的三条中线相交于一点，我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.
【教学说明】使学生通过画、折等实践操作活动理解三角形的中线、角平分线、高的概念和交点情况，并培养学生动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得不是教师传授的，而是学生自己探索得到的.
三、运用新知，深化理解
1.教材P45例2.
2.三角形的角平分线是（ C ）
A.直线 B.射线 C.线段 D.不确定
3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
4.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC是（ D ）
A.边BB′上的中线 B.边BB′上的高
C.∠BAB′的角平分线 D.以上答案都正确

5.如图，∠ACE=∠BCE.BD=CD，指出图中三角形的特殊线段.
解：CE是△ABC的角平分线.
AD是△ABC的中线.
ED是△EBC的中线.
CF是△ACD的角平分线.
6.如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，指出图中相等的线段和相等的角.
解：相等的线段有：AE=CE.
相等的角有：∠BAD=∠DAC.
【教学说明】通过练习及解决课前问题，进一步提高学生知识应用的能力.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.1”中第3、4题.

本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力．
第3课时 三角形的内角和与外角

1.掌握三角形内角和定理.
2.掌握三角形的内角与外角的关系.
3.通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力；通过小组合作学习，培养集体协作学习的能力及概括能力.
4.让学生在自主参与、合作交流的活动中，体验成功的喜悦，树立自信，激发学习数学的兴趣.
【教学重点】
三角形内角和定理.
【教学难点】
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

一、创设情境，导入新课
我们都知道一个三角形的三个内角的和为180°，你知道三角形的内角和为什么是180°呢？
【教学说明】通过问题，提高学生的学习兴趣.
二、合作探究，探索新知
1.每个学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，分小组做拼角实验，能否拼出一个角的和为180°.为什么是180°?通过小组合作交流，讨论有几种拼合方法？
开展小组竞赛（看哪个小组的发现多？说明清楚.），各小组派代表展示拼图，并说出理由.

2.你能运用几何证明的方法证明三角形的三个内角的和为180°吗？试一试.
【教学说明】学生通过动手拼图，再通过证明，总结出三角形的三个内角和是180°，能够加深理解.
3.议一议：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？
4.直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”,在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角边的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.
5.三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ACB的一个外角，它与内角∠ACB相邻.
6.探究：在图中，外角∠ACD和∠A、∠B之间有什么大小关系？

【归纳结论】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【教学说明】通过证明，加深对定理的理解.
三、运用新知，深化理解
1.判断：
（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°.（ × ）
（2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角. （ √ ）
2.已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（C）
A.60° B.25° C.35° D.45°

第2题图
3.如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（B）
A.50° B.40° C.70° D.35°
第3题图
4.观察三角形，并把它们的标号填入相应的括号内：

锐角三角形（3 、5）
直角三角形（1、4、6）
钝角三角形（2、7）
5.在△ABC中：
①∠A=35°∠C=90° 则∠B=55°
②∠A=50°∠B=∠C 则∠B=65 °
③∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1
则△ABC是直角三角形 .
④∠A－∠C =35°，∠B－∠C =10°， 则∠B =55° .
6.在△ABC中∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.
解：△ABC中,设∠A=x,则∠C=∠ABC =2x
x+2x+2x=180°(三角形内角和为180°)
∴得∠C=2x=72°
在△BCD 中,∠BDC=90°
则∠DBC =90°-∠C=18°
7. 如图，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2为多少度？

解：∵△ABC中，∠A=50°，
∴∠AED+∠ADE=130°，
∴∠1+∠2=360°-（∠AED+∠ADE）=230°.
8.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为多少度？

【分析】如图连接CE，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，在△DCE中有∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，即可得∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．
解：如图连接CE，根据三角形的外角性质得
∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，
在△DCE中有，
∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．
【教学说明】通过练习巩固本节课所学的内容.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.1”中第4、5、7 题.

在教学过程中学生在教师创设的情境下，自己动手操作、动脑思考、动口表达、探索未知领域、寻找客观真理、成为发现者，学生自始至终地参与这一探索过程，发展了学生的创新精神和实践能力．通过有条理的表达“三角形内角和为180°”的拼图及“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的证明过程，为今后的几何证明打下基础．
2.2命题与证明
第1课时 定义、命题

1.了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解.会区分命题的条件和结论.
2.学生通过本节课内容的学习,使学生经历定义的产生过程,感受定义的必要性.同时对命题的含义有初步的体验.体验区分命题的条件和结论的重要性和必要性.
3.通过与学生的交流互动,营造愉快、和谐的课堂氛围,积极鼓励学生参与活动,使学生感受到学习数学的快乐,培养学生主动探索数学知识的积极态度.
【教学重点】
找出命题的条件（题设）和结论.
【教学难点】
命题概念的理解.

一、情景导入，初步认知
父子对话
子：爸爸，什么是法律？
父：法律就是法国的律师.
子：那什么是法盲呢？
父：法盲就是法国的盲人.
（学生听后，大笑）
同学们为什么笑呢？
［生］父子俩对概念理解不清.
［师］同学们说得都很好，由于父子俩对法律、法盲的定义不理解，因而闹出了笑话，所以对某些特殊名称或术语，我们需要给出它们的定义. 这节课我们就要共同来研究“定义与命题”.
【教学说明】巧设现实情境，引入新课.
二、思考探究，获取新知
1.我们学习了许多有关三角形的概念，你能列举出一些与三角形有关的概念吗？
【归纳结论】对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.如“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是代数式的定义.
【教学说明】教给学生获取知识的方法和途径,让学生的学习可持续发展.
2.说一说“方程”、“三角形的角平分线”的定义.
3.下列叙述事情的语句中，哪些对事情作出了判断？
（1）三角形的内角和等于180°；
（2）如果|a|=3，那么a=3;
（3）1月份有31天；
（4）作一条线段等于已知线段；
（5）一个锐角与钝角互补吗？
【归纳结论】一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.
4.观察：下列命题的表述形式有什么共同点？
（1）如果a=b,且b=c,那么a=c;
（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.
在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果……，那么……”的形式.用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论.
5.做一做,指出下列命题的条件与结论，并改写成“如果…，那么…”的形式：
①能被2整除的数是偶数.
②有公共顶点的两个角是对顶角.
③两直线平行，同位角相等.
④同位角相等，两直线平行.
上述命题③与④的条件与结论之间有什么关系？
【归纳结论】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.
【教学说明】学生感受命题中条件和结论的存在.使学生心中的命题结构化.为后面的题设、结论的认识、区分,更为命题的改写作铺垫.
三、运用新知，深化理解
1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）对顶角相等；
（2）画一个角等于已知角；
（3）两直线平行，同位角相等；
（4）a、b两条直线平行吗？
（5）高个的李明明;
（6）玫瑰花是动物;
（7）若a2＝4，求a的值;
（8）若a2＝b2，则a＝b.
2.下列语句中，哪些是命题?哪些不是命题?
(1)若a (2)三角形的三条高交于一点；
(3)在ΔABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗?
(4)两点之间线段最短；
(5)解方程x2-2x-3=0；
(6)1＋2≠3.
3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
（1）三条边对应相等的两个三角形全等；
解：条件是：两个三角形的三条边对应相等；结论是：这两个三角形全等.
改写成：如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
（2）在同一个三角形中，等角对等边；
解：条件是：同一个三角形中的两个角相等；结论是：这两个角所对的两条边相等.
改写成：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
（3）对顶角相等.
解：条件是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等.
改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
(4)同角的余角相等；
解：条件是：两个角是同一个角的余角；结论是：这两个角相等.
改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.
(5)三角形的内角和等于180°；
解：条件是：三个角是一个三角形的三个内角；结论是：这三个角的和等于180°.
改写成：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°.
(6)角平分线上的点到角的两边的距离相等．
解：条件是：一个点在一个角的平分线上；结论是：这个点到这个角的两边距离相等.
改写成：如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等.
4.写出下列命题的逆命题.
（1）直角三角形两个锐角互余.
（2）两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
【教学说明】巩固所学知识，培养学生独立思考的习惯.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材P52“练习”.

在教学中，学生对定义与命题的把握还是比较清楚的.大部分学生可以口头完成导学案设计的题目.能够迅速地把一个命题转化成“如果……那么……”的形式.利用疑问句和祈使句的特点,判定二者不是命题的语句.学生的掌握情况还是比较可观的.
第2课时 真命题、假命题与定理

1.了解命题、公理 、定理的含义；理解证明的必要性.
2.通过对真假命题的判断，培养学生科学严谨的学习方法.
3.初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值.
【教学重点】
判断一个命题的真假.
【教学难点】
正确认识公理、定理、命题（真命题）和定义的区别.

一、创设情境，导说新课
将“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.
【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备.
二、思考探究，获取新知
1.议一议：下列命题中，哪些正确？哪些错误？并说明理由.
（1）每一个月都有31天；
（2）如果a是有理数，那么a是整数；
（3）同位角相等；
（4）同角的补角相等.
【归纳结论】我们把正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.
要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理，得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.
要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例，它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.我们把这种方法称为“举反例”.
2.以学生同桌为单位进行操练，一人负责说命题，然后另一个人来回答是真命题还是假命题，并要有适当的理由，然后反过来.
【教学说明】当遇到有不能解决的问题，或产生争论的时候，可以请老师裁决.
3.说一说:判断下列命题为真命题的依据是什么？
（1）如果a是整数，那么a是有理数.
（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形.
【归纳结论】人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公理.
我们把经过证明为真的命题叫做定理.定理也可以作为判断其他命题真假的依据.由某些定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
4.“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题吗？它的逆命题是什么？其逆命题是真命题吗？
【归纳结论】如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原命题的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.
5.你能举出一对互逆定理吗？
【教学说明】学生小组合作交流、回答.
三、练习反馈，巩固提高
1.下列的命题中，哪些是真命题?哪些是假命题?请说明理由：
(1)对顶角相等；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
(3)三条直线两两相交，必有三个交点；
(4)若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等；
(5)“-a”是负数.
解：略.
2.“两点之间，线段最短”这个语句是（A）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
3.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（C）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
4.下列命题中，属于定义的是（D）
A.两点确定一条直线
B.同角的余角相等
C.两直线平行，内错角相等
D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
5.下列句子中，是定理的是（E），是公理的是（B ），是定义的是（D）.
A.若a=b，b=c，则a=c；
B.对顶角相等；
C.全等三角形的对应边相等，对应角相等；
D.有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形；
E.两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
6.下面命题中：
（1）旋转不改变图形的形状和大小.
（2）轴反射不改变图形的形状和大小.
（3）连接两点的所有线中，线段最短.
（4）三角形的内角和等于180°.
属于公理的有（C）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.下面关于公理和定理的联系说法不正确的是（B）
A.公理和定理都是真命题.
B.公理就是定理，定理也是公理.
C.公理和定理都可以作为推理论证的依据.
D.公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明.
8.仔细观察下面推理，填写每一步用到的公理或定理.
如图：在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠A=125°，求∠BCE.

解：∵四边形ABCD是平行四边形(已知)
∴AD∥BC（ ）
∵∠A=125°（已知）
∴∠B=180°-125°=55°（ ）
∵△BEC是直角三角形（已知）
∴∠BCE=90°-55°=35°( )
答案：平行四边形对边平行；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形两锐角互余.
【教学说明】学生尝试解题，师生共同评价，巩固所学知识.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材P55“练习”.

新课程的教学告诉我们，在学生进行数学学习的过程中，要对学生进行合理的评价，这就是要关注学生数学学习的水平，更要关注它们在数学学习过程中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心.
第3课时 证明与反证法

1.了解证明的含义.
2.通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力.
3.让学生体验从实验几何向推理几何的过渡.
【教学重点】
证明的含义和表述格式.
【教学难点】
如何构造一个反例去证明一个命题是错误的.

一、情景导入，初步认知
1.一般地，判断一件事情正确或不正确的句子叫做命题，命题分为真命题与假命题.
2.说明一个命题是假命题，通常只用找出一个反例，但要说明一个命题是真命题，就必须用推理的方法，而不能光凭一个例子.
3.判断下列命题的真假
（1）有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形.（真命题）
（2）素数不可能是偶数.（假命题）
（3）黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人.（假命题）
（4）有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形.（假命题）
（5）若y(1-y)=0，则y=0.（假命题）
【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备.
二、思考探究，获取新知
1.做一做：采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.
此时，猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题，要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.
【教学说明】在实验几何中，常让学生通过观察、实验和归纳得出结论.增加学生的感官感受.使学生感受到凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确，使学生感受到直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，从而让学生理解证明的必要性.
2.证明命题“三角形的外角和等于360°”是真命题.
已知：如图，∠BAF,∠CBD,∠ACE分别是△ABC的三个外角.

求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°
证明：由题意得，在△ABC中
∠1+∠2+∠3＝180°
∵∠BAF+∠1=180°
∠CBD+∠2=180°
∠ACE+∠3=180°
故
∠BAF+∠CBD+∠ACE+∠1+∠2+∠3=180°+180°+180°＝540°
则
∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°
【教学说明】引导学生写出证明过程.
【归纳结论】证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
①画出图形；
②写出已知、求证；
③写出证明的过程.
3.已知：∠A,∠B,∠C是△ABC的内角.求证：∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.
分析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况，如果直接证明，比较困难，因此，我们将从另外一个角度来证明.
证明：假设∠A,∠B,∠C中没有一个角大于或等于60°.
则∠A+∠B+∠C<180°
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.
因此，∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.
【归纳结论】先假设命题不成立，然后利用命题的条件或结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.
三、运用新知，深化理解
1.教材P57例1.
2.如图，BC⊥ AC于点C，CD⊥AB于点D，E是AC延长线上一点，连接BE，∠EBC=∠A，求证：BE∥CD
证明：∵BC⊥AC(已知)
∴∠ACD+∠BCD=90°(垂直的定义)
∵CD⊥AB (已知)
∴∠A+∠ACD=90°（直角三角形的两锐角和为90°）
∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）
又∵∠EBC=∠A（已知）
∴∠ EBC=∠BCD
∴BE∥CD（内错角相等，两直线平行）
3.已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分线，BH是∠ABC的角平分线, ∠A=58°.求∠H的度数.

解：∵∠A=58°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-58°=122°…①，
∵BH是∠ABC的角平分线，
∴∠HBC=12∠ABC，
∵∠ACD是△ABC的外角，CH是外角∠ACD的角平分线，
∴∠ACH=12（∠A+∠ABC），
∴∠BCH=∠ACB+∠ACH=∠ACB+
12（∠A+∠ABC），
∵∠H+∠HBC+∠ACB+∠ACH=180°，
∴∠H+12∠ABC+∠ACB+12（∠A+∠ABC）=180°，即∠H+（∠ABC+∠ACB）+12∠A=180°…②，
把①代入②得，∠H+122°+12×58°=180°，
∴∠H=29°.
4.已知：三条直线a、b、c，其中a∥b，b∥c，求证：a∥c.

解：假设a与c不平行，那么就会相交.因为a∥b，
所以a，b永不相交，
同理，b，c也永不相交，
又因为a、b、 c在同一平面内，且互不重合，
所以a与c不会相交，即假设不成立.
所以a∥c.
5.已知：如图，P是△ABC内任一点，求证：∠BPC＞∠A．

证明：如图，延长BP交AC于D．
∵∠BPC＞PDC，
∠PDC＞∠A，
∴∠BPC＞∠A．
6.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°.
则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°，
∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，
即∠A+∠B+∠C>180°，
这与三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
【教学说明】巩固本节课所学的内容.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.2”中第6、7、9题.

反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后续的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理地去运用.
整节课的教学设计适合学生学习，切合教材与新课程要求，教学流程设计清晰流畅，教学效果良好.
但课堂容量较大，学生预习不够充分，时间不够用，学生没有足够的时间去思考，在一些环节的处理上存在粗糙的问题，有些问题还没有进行深层次地挖掘，下一节课还需进一步巩固提高.
2.3 等腰三角形
第1课时 等腰（边）三角形的性质

1.能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理.
2.经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生初步的演绎逻辑推理的能力.
3.启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系.
【教学重点】
探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.
【教学难点】
明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.

一、情景导入，初步认知
我们在前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些性质呢？
【教学说明】明确本节课所要学习的内容，提高学生学习的兴趣.
二、合作探究，探索新知
1.探究：任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC,如图，
作△ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：
射线AB的像是射线AC,射线AC的像是射线AB ；
线段AB的像是线段AC,线段AC的像是线段AB ；
点B的像是点C，点C的像是点B ；
线段BC的像是线段CB.
从而等腰三角形ABC关于直线AD 对称.
由于点D的像是点D,因此线段DB的像是线段DC ，从而AD是底边BC上的中线 由于射线DB的像是射线DC ，射线DA的像是射线AD ，因此∠BDA = ∠CDA=90° °,从而AD是底边BC上的垂线 .
由于射线BA的像是射线CA,射线BC的像是射线CB ，因此∠B= ∠C.
由此，你能得到等腰三角形的哪些性质？
【归纳结论】等腰三角形的性质：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角角平分线所在的直线.
等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合（简称“三线合一”).
等腰三角形的两个底角相等（简称为“对边对等角”）.
【教学说明】让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足.
2.如图，△ABC是等边三角形，那么∠A,∠B,∠C的大小之间有什么关系呢？



【归纳结论】等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
【教学说明】引导学生证明.
3.议一议：如图，在三角测平架中，AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上.

（1）AD与BC是否垂直，试说明理由；
（2）这时处于水平位置，为什么？
【教学说明】通过本题的探究，使学生明白数学来源于生活，并运用于生活.
三、运用新知，深化理解
1.教材P62例1.
2.（1）等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是10 cm ；
（2）等腰三角形底角为75°,它的另外一个角为30° ；
（3）等腰三角形顶角为65°,它的另外两个角为57.5°57.5° ；
（4）等腰三角形一个角为70° ,它的另外两个角为70°40°或55°55° ；
（5）等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为35°35° .
（6）在△ABC中，AB＝AC， ∠A＝50°，求∠B，∠C的度数.
【分析】 根据等腰三角形的性质：两底角相等.结合三角形的内角和等于180°来计算.
解：（6）在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（在一个三角形中等边对等角）
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°
∴∠B＝∠C＝65°
3.如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC∠BAC = 100°.
求∠1、∠3、∠B的度数.
解：∵在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC
∴∠1=12∠BAC =50°
∠3=90°(等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合)
在△ABD中,AB = AC
∴∠B=∠C=40°
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°．求∠ADC和∠BAD的度数．
解：∵AB=AC，
D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，又∠B=30°，∴∠BAD=60°
5.如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，且ED⊥BC于D，求证：AE=AF.

证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵ED⊥BC
∴∠B+∠BFD=90°
∠C+∠E=90°
∵∠BFD=∠EFA
∴∠B+∠EFA=90°
∵∠C+∠E=90°
∠B=∠C
∴∠EFA=∠E
∴AE=AF
6.如图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.
解：∵AD=DC
∴∠ACD=∠A=20°
∵∠ACD∶∠BCD=2∶3
∴∠BCD=30°
∴∠ACB=50°
∴∠ABC=110°
【教学说明】在此练习过程中，一定要注意学生的书写格式，必要时教师要在黑板上板书几何过程.
五、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.3”中第1、2、3 题.

在本节课的教学中，要采用小组合作的方式教学，在小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上几个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板书证明,其余学生挑选其证明过程的书写是否规范.然后，教师补充强调.
第2课时 等腰（边）三角形的判定

1.探索等腰三角形的判定定理.
2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.
3.通过探索一个三角形是等腰三角形的条件，培养学生的探索能力.
【教学重点】
理解等腰三角形的判定定理.
【教学难点】
理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.

一、情景导入，初步认知
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边是什么关系？
【教学说明】由现实中的实际问题入手，设置问题情境，导入本课的主题，为学生提供参与活动的时间和空间，调动学生的主观能动性.
二、思考探究，获取新知
1.探究：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？

你能用什么方法得出你的结论？请相互交流，归纳、总结.
【归纳结论】有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.
【教学说明】培养学生的动手能力，探究归纳得出等腰三角形的判定定理.
2.动脑筋：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？
【教学说明】引导学生证明.
【归纳结论】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
三、运用新知，深化理解
1.教材P64例2、P65例3.
2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36，BD,CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中等腰三角形有（A）
A.5个B.4个C.3个D.2个

3.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 .
答案：∠BAD=∠CAD或∠ABD=∠ACD

4.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，则△ABC中是 三角形.
答案：等腰
5.已知，如图，等腰△ABC，AB=AC：
（1）若AB=BC，则△ABC为 等边 三角形；
（2）若∠A=60°，则△ABC为 等边 三角形；
（3）若∠B=60°，则△ABC为 等边 三角形.

第5题图 第6题图
6.如图，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为D，E为AC的中点，AD=DE=6 cm则∠ACD=（ ）°,AC= cm,∠DAC=( )°，△ADE是 三角形.
答案：30 12 60 等边
7.如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD = CE.求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵S△ABC=12(AB·CE)=12(AC·BD)
且BD = CE
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形.
8.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC=AB.
解：（1）∵AB=AC
∴∠B=∠C=30°
∵∠C+∠BAC+∠B=180°
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°
∵∠DAB=45°
∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°；
（2）∵∠DAB=45°
∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°
∴∠DAC=∠ADC
∴DC=AC
∴DC=AB.
【教学说明】及时巩固、反馈，开放式的变式训练，培养学生思维的发散性.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.3”中第4、6题.

学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识.初二学生在这个阶段逐渐在各方面开始成熟，思维深刻性有了明显提高，有着独特的认识问题和解决问题的思维方式. 因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算.培养学生的动手、归纳猜想的能力；培养学生证明用文字表述的几何命题的能力；使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分类思想、转化思想.再进一步培养学生独立思考、勇于探索的创新精神和关于数学内容间普遍存在的相互联系、相互转化的观点.
2.4线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质和判定

1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.
2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几何图形的认识.
3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.
【教学重点】
运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题.
【教学难点】
垂直平分线的性质与判定的运用.

一、情景导入，初步认知
如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.

（1）P1到端点A、B的距离是什么？分别表示为_______、_______.
（2）量一量这两个距离，你能猜想出什么结论？
（3）你能用什么方法来证明你的猜想，试写出论证(或说明).
二、思考探究，获取新知
1.观察：如图，人字形屋顶的框架中，点A与A′关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？
【归纳结论】垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.

2.探究：如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P,连接PA,PB，线段PA,PB之间有什么关系？

【归纳结论】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
3.动脑筋：如图，我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果一点P到线段AB两端的距离PA,PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？

【归纳结论】线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
【教学说明】引导学生分析证明过程.
三、运用新知，深化理解
1.教材P69例题.
2.已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．

证明：∵ AB = AC
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）
3.如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E， AC = 5，BC = 8，求△AEC的周长.

解：∵DE为△ABC的AB边的垂直平分线
∴AE=BE
∴C△AEC=AC+AE+CE=AC+BE+CE
=AC+BC=5+8=13
4.如图，已知：线段CD垂直平分AB，AB平分∠DAC. 求证：AD∥BC.

证明：∵CD是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
又∵∠CAB=DAB，
∴∠DAB=∠B，
∴AD∥BC.
5.如图，已知：AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=CE. 求证：△ABC是等腰三角形.

证明：∵BE=CE,AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
6.如图，已知：AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB=75°，∠DMC=45°，AM=DM. 求证：AB=BC.

证明：连接AC
∠AMD=180°-75°-45°=60°，且AM=DM，
∴△AMD是等边三角形
∴AM=AD.
又∵∠MDC=90°-45°=45°，
∴∠MDC=∠DMC，
∴CD=CM，
∴AC为DM的垂直平分线，
又∵CD=CM
∴CH是△CDM的角平分线
∴∠ACM=90°-45°=45°，
∴BC=AB.
【教学说明】学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.4”中第1、2、6题.

由于本节课是对垂直平分线的性质与判定的综合应用，学生掌握起来难度较大，所以要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.
第2课时 线段垂直平分线、垂线的作法

1.掌握线段垂直平分线、垂线的作法.
2.联系线段垂直平分线的知识，经历探索线段的垂直平分线的作画过程.
3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.
【教学重点】
掌握线段垂直平分线、垂线的作法.
【教学难点】
垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用.

一、情景导入，初步认知
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?

【教学说明】从实际问题入手，提高学生学习兴趣，使学生明白数学来源于生活，应用于生活.
二、思考探究，获取新知
1.作出线段AB的垂直平分线
作法：
（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；
（2）作直线CD
所以直线CD就是线段AB的垂直平分线.
问：（1）这样所作的直线为什么是线段的垂直平分线？
（2）你能作出线段AB的中点吗？
2.过一点作已知直线的垂线
问题1：过已知直线l外一点P你能做这条直线l的垂线CD吗？（只用圆规和直尺）
作法：（1）以P点为圆心，以大于点P到直线l的距离为半径画弧，交直线l于A、B两点；
（2）分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；
（3）作直线CD

所以直线CD就是直线l的垂线.
问题2：过已知直线l上一点P,你能做这条直线l的垂线CD吗？（只用圆规和直尺）

（类似问题2作法）
【教学说明】活动时可以先让学生讨论，然后点名学生板演，下面学生可以模仿着做，最后教师进行归纳和总结.
三、运用新知，深化理解
要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短.

解：作点A关于l（街道看成是一条直线）的轴对称点A′，连接A′B与l交于C点.奶站应建在C点处，才能使从A、B到它的距离之和最短.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.4”中第5题.

本课教学力求充分体现内容的基础性，方法的灵活性，学生学习的主体性和教学的主导性，在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察、动手交流和表述，并借助多媒体的手段辅助教学，增强直观性、激发学习兴趣，强调分组讨论，学生与学生之间很好的交流与合作，利用师生的双边活动，激发学生学习兴趣，教师从中发现、搜集学生的学习情况，查漏补缺，适时调度，从而顺利达到教学的目的.
2.5全等三角形
第1课时 全等三角形的概念和性质

1.借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作、重叠图形等过程，了解图形全等的意义和全等三角形的定义，了解图形全等的特征和全等三角形的性质.
2.经历“我实践，我发现”，“几何常识我知道”，“实践问题我创造”的教学活动由此“感悟图形的全等——应用图形的全等——创造图形的全等”，带动知识发生、发展的全过程.
3.学生积极参与图形全等的探究过程，从中体会合作与成功的快乐，建立学习好数学的自信心，体会图形全等在现实生活中的应用价值.
【教学重点】
全等图形的概念.
【教学难点】
全等三角形的性质.

一、情景导入，初步认知
请同学们观察这些图片有何特征?


【教学说明】设置有趣的生活图片，一组是实物图形，一组是几何图形.让学生通过观察，对全等图形有一个感性认识.
二、思考探究，获取新知
1.做一做：如图，是两组形状、大小完全相同的图形，用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？

【归纳结论】我们把能够完全重合的两个图形叫作全等图形.
2.动脑筋：如图，△ABC经过平移、旋转、轴反射后得到△A′B′C′,问△ABC与△A′B′C′能完全重合吗？

【归纳结论】能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角.
比如，在图中，△ABC与△A′B′C′能够完全重合，它们是全等的.其中顶点A与A′重合，它们是对应顶点；AB边与A′B′边重合，它们是对应边；∠A与∠A′重合，它们是对应角. △ABC与△A′B′C′全等，我们把它记作“△ABC≌△A′B′C′”. 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
3.思考：根据全等三角形的定义，你能得到全等三角形的性质吗？
【归纳结论】全等三角形的对应边相等，对应角相等.

【教学说明】让学生知道三角形的对应顶点、对应边和对应角，并指出其中的对应角和对应边.
三、运用新知，深化理解
1.教材P75例1.
2.下列说法正确的是（C）
①用一张相纸冲洗出来的10张1寸相片是全等形；
②我国国旗上的4颗小五角星是全等形；
③所有的正方形是全等形；
④全等形的面积一定相等.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，面积也相同．其中能获得这两个图形全等的结论共有（A）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.下列图形：①两个正方形；②每边长都是1cm的两个四边形；③每边都是2cm的两个三角形；④半径都是1.5cm的两个圆．其中是一对全等图形的有（B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.全等图形的 大小 和 形状 都相同．
6. 找出图中的全等图形:

解：（1）和（8），（2）和（6），
（3）和（9），（5）和（7），
（13）和（14）.
7. 下列图形中，哪些是全等图形？用线把它们连接起来．

解：略
8.如图:△ABC≌△AEC, ∠B=30°,∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数.


解：在△ABC中, ∠B=30°,
∠ACB=85°∴∠BAC=180°-85°-30°=65°
∵△ABC≌△AEC
∴∠E=∠B=30°
∠ACE=∠ACB=85°
在三角形ACE中
∠CAE=180°-∠E-∠ACE=65°
即，△AEC各内角的度数分别为∠E=30°、∠ACE=85°、∠CAE=65°.
【教学说明】巩固新知.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.5”中第1题.

通过这节课的教学实践，使教师认识到；教学必须紧密联系学生的生活和实际，使学生对所学的内容兴趣盎然，乐于探究.教师最精彩的表现应该是高明的引导者、组织者、合作者，而不是舞台的主人——演员.全面的培养学生的创新意识与实践能力.
第2课时 SAS

1.能主动积极探索出三角形全等的条件“SAS”.
2.能熟练运用“SAS”判别方法来进行有条理的思考并进行简单的证明.
3.初步综合运用四种判别方法来判定三角形全等.
4.学生经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，由此带动知识发生、发展的全过程.
5.通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心.
【教学重点】
掌握三角形全等的条件“SAS”，并能利用它来判定三角形是否全等.
【教学难点】
探索三角形全等的条件“SAS”的过程及几种方法的综合应用.

一、情景导入，初步认知
1.什么叫全等图形？什么叫作全等三角形？
2.全等的符号是什么？
3.如何判定两个三角形全等呢？
【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的学习作铺垫.
二、思考探究，获取新知
1.探究：每位同学在纸上的两个不同位置分别画出一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm,2.5cm,将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？
2.换两条线段和一个角试试，你发现了什么？
【归纳结论】两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或简记为（SAS）.
【教学说明】通过学生实践,让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力，提高他们归纳知识的能力和组织语言能力、表达能力.
三、运用新知，深化理解
1.教材P78例2.
2.如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是（B）
Ａ．∠A=∠DＢ
B.∠B=∠E
Ｃ．∠C=∠FＤ．以上三个均可以

第2题图 第3题图

3.如图，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°,∠BAE=60°,则∠CAE= 20°.
4.如图，已知AC⊥BD，BC=CE，则∠B与∠D的关系是 互余 .

第4图 第5题图
5.如图，AC=AD，AB平分∠CAD，那么BC=BD吗?为什么?
解：BC=BD，
理由是：
∵AB平分∠CAD,∴∠CAB=∠DAB.
在△ABC和△ABD中，
∵ AC＝AD;
∠CAB＝∠DAB;
AB＝AB.
∴△ABC≌△ABD（SAS）
∴BC＝BD.
6.如图,AD∥CB，AD＝CB，那么∠B=∠D吗?为什么?

解：∠B=∠D，
理由是：
∵AD∥CB

∴∠DAC＝∠BCA.
在△ABC和△CDA中，
AD＝CB;
∠BCA＝∠DAC;
AC＝CA.
∴ ABC≌△CDA
∠B＝∠D.
7.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD

证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形.
∴∠ABE=∠CBD=60°
∵AB=CB, BE=BD
在△ABE与△CBD中，
AB=CB;
∠ABE=∠CBD;
BE=BD.
∴△ABE≌△CBD(SAS)
∴AE=CD
8.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2．
求证：AD⊥BC．

证明：在△ABD和△ACD中，
∵ AB=AC(已知)
∠1=∠2(已知)
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD=CD,∠3=∠4.
又∵∠3+∠4=180°，
即2∠3=180°，
∠3=90°，
∴AD⊥BC．
【教学说明】检验学生的掌握情况,培养学生的逻辑思维能力.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材P78“练习”.

本节在应用定理判定三角形全等时的练习有点多，可能有些学生思维有点跟不上，是本节课的一大遗憾. 另外，在小组交流时气氛不是很活跃. 最后，我考虑在这种情况下是否可以让一个小组展示，一个小组讲解可能会更好一些.
总之，从本节课的教学效果来看，学生能达到这个程度还算可以，实现了本节课的教学目标.自己以后要吸取教训.
第3课时 ASA

1.使学生理解ASA的内容，能运用ASA全等判定法来判定三角形全等进而说明对应线段或角相等.
2.通过画图、实验、发现、应用的过程教学，树立学生知识源于实践用于实践的观念.
3.通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心.
【教学重点】
掌握三角形全等的条件“ASA”，并能利用它来判定三角形是否全等.
【教学难点】
探索三角形全等的条件“ASA”的过程及几种方法的综合应用.

一、情景导入，初步认知
1.我们已学过判定两个三角形全等的简便方法是什么?判定三角形全等是不是还有其它方法呢？
2.有一块三角形纸片撕去了一个角,要去剪一块新的,如果你手头没有测量的仪器,你能保证新剪的纸片形状、大小和原来的一样吗?
【教学说明】既复习了全等三角形的“SAS”的判定方法，又唤起学生对新知识探索学习的渴望，激发学生的兴趣，从而提高学生学习的热情.
二、思考探究，获取新知
1.如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果BC=B′C′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,你能通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与△A′B′C′重合吗？

2.请同学们动手做一个实验：同桌两位同学为一组.
（1）共同商定画出任意一条线段AB，与两个角∠A、∠B（∠A+∠B<180°）
（2）两位同学各自在硬纸板上画线段A′B′的长等于商定的线段AB的长，在A′B′的同旁，画∠B′A′C′等于商定的∠A，画∠A′B′C′等于商定的∠B，设A′C′与B′C′相交于点C′，便得△A′B′C′.
（3）用剪刀各自剪出△A′B′C′，将同桌同学剪出的两个三角形重叠在一起发现了什么？其他各桌的同学是否也有同样的结论呢？
【归纳结论】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为“角边角”或为“ASA”.
【教学说明】通过学生实践,让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力，提高他们归纳知识的能力和组织语言的能力、表达能力.
三、运用新知，深化理解
1.教材P79例3、P80例4.
2.如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点，∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗？为什么？
解：△AOC≌△BOD
理由是：
∵O是AB的中点(已知）
∴AO=BO（线段中点定义）
又∵AB与CD相交于点O（已知）
∴ ∠1=∠2（对顶角相等）
在△AOC与△BOD中，
∠A=∠B（已知）；
AO=BO(已证）；
∠1=∠2（已证）.
∴△AOC≌△BOD（ASA)
3.如图，∠1=∠2，∠D=∠C，试说明△ADB ≌△ACB
证明：∵在△ADB中，
∠3=180°-∠1-∠D(三角形内角和定理）
∵在△ACB中，
∠4=180°-∠2-∠C(三角形内角和定理）
而∠1= ∠2，∠D=∠C（已知）
∴∠3=∠4（等量代换）
∴在△ADB和△ACB中
∠1= ∠2(已知）；
AB=AB（公共边）；
∠3=∠4（已证）.
∴△ADB ≌△ACB（ASA)
4.如图，AB＝AC，∠B＝∠C，你能证明△ABD≌△ACE吗？
证明： △ABD和△ACE中
∠B=∠C(已知)；
AB=AC(已知)；
∠A=∠A（公共角）.
∴△ABD≌△ACE(ASA)
5.求证“等腰三角形两底角的平分线相等”.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠2=∠4．
在△ABD和△ACE中，
∠2=∠4；
AB=AC；
∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE
【教学说明】使学生对三角形全等条件有了一个更清楚的理解——两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.在学生做题的过程中，学生还能体会到严谨的数学思想.
五、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材P80“练习”.

本节课从复习旧知识入手，把知识点问题化，在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养学生类比的思想方法，让学生学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学教材在内容安排上螺旋上升的特点.采用自主探究、合作学习、组内交流的学习方式，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣，让学生在经历知识产生发展的过程中，体会“学数学”的乐趣.
第4课时 AAS

1．知道“角角边”的内容.
2．利用“AAS”证明全等，为证明线段相等和角相等创造条件.
3.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力.
4.学生积极参与三角形全等条件的探究过程，从中体会证明与成功的快乐，增强学习好数学的自信心，体会三角形全等条件在现实生活中的应用价值.
【教学重点】
三角形“角角边”的全等条件.
【教学难点】
用三角形“角角边”的条件进行有条理的思考并进行简单的推理.

一、情景导入，初步认知
1.什么叫作全等三角形，如何判定两个三角形全等？
2.判定三角形全等是不是还有其它方法呢？
【教学说明】复习上节课的知识，同时为本节课的教学作铺垫.
二、思考探究，获取新知
1.如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,BC=B′C′,那么△ABC与△A′B′C′ 全等吗？

2.你能证明吗？
3.动手画一画：比如∠A=45°，∠C=60°，AB=3cm，你能画这个三角形吗？
提示：这里的条件与实验中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为实验中的条件吗？
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
【归纳结论】两个角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成：“角角边”或“AAS”.
【教学说明】通过学生实践,让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力，提高他们归纳知识的能力和组织语言能力.
三、运用新知，深化理解
1.教材P81例5、P82例6.
2.如图， 应填什么就有△AOC≌△BOD？
∠A=∠B（已知）；
AC=BD（已知）；
∠C=∠D（已知）.
所以△AOC≌△BOD（ ASA ）
如图， 应填什么就有△AOC≌△BOD？
∠A=∠B（已知）；
CO=DO（已知）；
∠C=∠D（已知）.
所以△AOC≌△BOD（ AAS ）
如图，应填什么就有△AOC≌△BOD？
∠A=∠B（已知）；
AO=BO（已知）；
∠C=∠D（已知）.
所以△AOC≌△BOD（AAS）
3.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∠1=∠2，OP=OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE
4.已知：如图，BC=DC，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADC．
证明：∵∠1=∠2
∴∠ACB=∠ACD
∵AC=AC,BC=DC
∴△ABC≌△ADC（SAS）.
5.如图，∠B＝∠C ，AD平分∠BAC，你能证明△ABD≌△ACD吗？
若BD＝3 cm，则CD有多长？

证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义）
在△ABD和△ACD中
∠B=∠C(已知)；
∠BAD=∠CAD；
AD=AD.
∴△ABD≌△ACD（AAS）
∴BD＝CD
∵BD＝3 cm（已知）
∴CD＝BD＝3 cm（等量代换)
6.如图，在△ABC中，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，且BE＝CF，那么BD与DC相等吗？你能说明理由吗？

解：BD＝DC.理由如下：
∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F.
在△BED与△CFD中，
∠BED＝∠CFD；
∠BDE＝∠CDF；
BE＝CF.
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BD＝DC
【教学说明】使学生对三角形全等条件有了一个更清楚的理解——两个角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.在学生证明的过程中，学生还能体会到严谨的数学思想.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材P82“练习”.

本节课从复习旧知识入手，把知识点问题化，培养学生类比的思想方法，让学生学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学教材在内容安排上螺旋上升的特点.采用自主探究、合作学习、组内交流的学习方式，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣.
第5课时 SSS

1.了解三角形的稳定性，三角形全等的条件“边边边”， 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
2.使学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、交流等过程，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验.
3.培养学生的空间观念以及推理能力，培养学生有条理的表达能力，积累数学活动经验.
【教学重点】
三角形的全等条件“边边边”.
【教学难点】
用三角形的全等条件“边边边”进行有条理地思考并进行简单的推理.

一、情景导入，初步认知
请问同学，老师在黑板上画的两个三角形，当△ABC与△A′B′C′满足什么条件时，这两个三角形全等.还有其它方法来判定它们全等吗？

【教学说明】既对上节课的知识复习，又为本节课的教学作铺垫.
二、合作探究，探索新知
1.探究：如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′,那么△ABC与△A′B′C′ 全等吗？

【教学说明】教师引导学生证明.
2.做一做：画一个三角形，使它 的三边的长度分别为3cm、4cm、5cm，你能画出这个三角形吗？
3.你所画的三角形与其他同学画的三角形全等吗？请你结合画图、对比，说说你发现了什么？
【归纳结论】三边分别相等的两个三角形全等.简写为“边边边”或“SSS”.
【教学说明】以问题串的形式引导学生逐步深入地思考可以使三角形全等的条件，问题的提出从条件的由少到多，由简到繁，一步步深入、引导，通过一系列的活动最终得出正确的结论.
4.探究：取三根长度适当的木条，用钉子钉成一个三角形的框架，你所得到的框架的形状固定吗？用四根木条钉成的框架的形状固定吗？

【归纳结论】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.
【教学说明】让学生感受实例，直观，生动，便于理解.
在此基础上，向学生提出：
（1）.你能举出一些生活中应用三角形的稳定性的例子吗？
（2）.图（2）的形状是可以改变的，它不具有稳定性.，你如何才能使图（2）的框架不能活动，也具有稳定性？
【教学说明】从理论上升到实践，将知识延伸开去，应用到生活实践，才真正做到学有所用.
5.根据下列条件，分别画出△ABC与△A′B′C′.
（1）AB=A′B′=3 cm，AC=A′C′=2.5 cm,∠B=∠B′=45°;
(2)∠A=∠A′=80°,∠B=∠B′=30°,∠C=∠C′=70°.
分别满足上述条件画出的△ABC与△A′B′C′一定全等吗？因此你能得出什么结论？
【归纳结论】两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等；三个对应角相等的两个三角形不一定全等.
三、运用新知，深化理解
1.教材P83例7、P84例8.
2.教材P85例9.
1.如图，已知AB=AC，BD=DC，那么下列结论中不正确的是（C）

A．△ABD≌△ACD
B．∠ADB=90°
C．∠BAD是∠B的一半
D．AD平分∠BAC
2.如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC= 76° .

3.如图，是一个风筝模型的框架，由DE=DF，EH=FH，就说明∠DEH=∠DFH.试用你所学的知识说明理由.

证明：由于已知DE=DF，EH=FH，连结DH，这是两个三角形的公共边，于是，
在△DEH和△DFH中，
DE=DF；
EH=FH；
DH=DH.
所以△DEH≌△DFH（SSS），
所以∠DEH=∠DFH（全等三角形的对应角相等）.
4.如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.
【分析】根据条件OA=OC,EA=EC，OA、EA和OC、EC恰好分别是△EAO和△ECO的两条边，故可以构造两个三角形，利用全等三角形解决.
解:连结OE
在△EAO和△ECO中，
OA=OC(已知);
EA=EC（已知）;
OE=OE(公共边).
∴△EOA≌△EOC（SSS）
∴∠A＝∠C（全等三角形的对应角相等）
5.如图,AD=BC,AB=DC. 求证：∠A+∠D=180°.

证明：连结AC
在△ABC和△ACD中，
∵ AD=BC;
AB=DC;
ＡＣ＝ＣＡ.
∴△ＡＢＣ≌△ＣＤＡ(SSS)
∴∠ＢＡＣ=∠ACD
∴ＡＢ∥ＣＤ
∴∠Ａ＋∠Ｄ＝180°
6.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD.
求证：∠C=∠A.
证明：连结BD.
在△ABD和△CBD中，
∵AB=CB；
AD=CD；
BD=BD.
∴△ABD≌△CBD.
∴∠C=∠A.
【教学说明】巩固练习，对课上的探索结论有更深一步的认识.

四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.5”中第3、5、9、10 题.

在课堂上要给予学生充分的时间去思考、动手实践，而不是使合作流于形式.要把合作交流的空间真正的还给学生.教师在课堂中还要照顾到每一名学生，让全体的学生都动起来.在把他们的结论互相比较之前，应该留给学生足够的时间，使大部分的学生都能完成画图的活动，不能以一些思维活跃的学生的完成时间作为标准，剥夺了其他学生的操作时间.教师还应对画图有困难的学生给予适当的指导.
第6课时 全等三角形的性质和判定的应用

1.会综合用各种方法判定两个三角形全等.
2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力.
3.学生积极参与三角形全等条件的探究过程，从中体会证明与成功的快乐，增强学习好数学的自信心，体会三角形全等条件在现实生活中的应用价值.
【教学重点】
三角形全等的判定方法的综合运用.
【教学难点】
作辅助线构建全等三角形.

一、情景导入，初步认知
如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地，若CE⊥AB，DF⊥AB，则C，D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？
二、合作探究，探索新知
如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
【归纳结论】（1）先证明BC=EF，再根据S.S.S.即可证明；（2）AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明.
三、运用新知，深化理解
1.教材P86例10.
2.将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连结D1B，求∠E1D1B的度数.

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE=60°，由旋转的性质可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，从而得到∠BCD1=∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根据∠E1D1B=∠BD1C-∠CD1E1计算即可得解．
解：∵∠CED=90°，∠D=30°，
∴∠DCE=60°，
∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，
∴∠BCE1=15°，
∴∠BCD1=60°-15°=45°，
∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△CD1B中，
AC=CB,
∠A=∠BCD1,
AB=CD1,
∴△ABC≌△CD1B（S.A.S.），
∴∠BD1C=∠ABC=45°，
∴∠E1D1B=∠BD1C-∠CD1E1=45°-30°=15°．
3.如图，已知BE与CD相交于点A，M为BC的中点，∠1=∠2，AB=AC，求证：∠DBM=∠ECM．

【分析】连结MA，可证得△ABM≌△ACM，可得出∠MAB=∠MAC，∠MAD=∠MAE，由题干中的条件可得∠AMD=∠AME，可证得△AMD≌△AME，得MD=ME，再证明△MBD≌△MCE即可得出结论．
证明：如图，连结MA.
∵AB=AC，M为BC中点.
在△ABM和△ACM中，
AB=AC,
BM=CM,
AM=AM,
∴△ABM≌△ACM(SSS),
∴∠MAB=∠MAC，∠AMB=∠AMC，
∴∠DAM=∠EAM，
∵∠1=∠2，∴∠AMD=∠AME.
在△AMD和△AME中，
∠DAM=∠EAM,
AM=AM,
∠AMD=∠AME,
∴△AMD≌△AME（ASA），
∴MD=ME，在△MBD和△MCE中，
MD=ME,
∠1=∠2,
MB=MC,
∴△MBD≌△MCE（SAS），
∴∠DBM=∠ECM．
4.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围.
【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BA，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出AE的取值范围，然后由AE=2AD即可求解．
解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连结CE.∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，在△ABD和△ECD中,
BD=CD，
∠ADB=∠EDC，
AD=ED，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，∵AB=3，AC=4，
∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，
∵AE=2AD，∴0.5＜AD＜3.5.
5.如图①，AB∥CD，BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．
求证：BC=AB+CD．
分析：有两种思路：① 截长：在BC上取点F，使BF=BA，连结EF，先证△ABE≌△FBE，得出∠A=∠BFE，再证△CDE≌△CFE，就可以得出CD=CF，即可证明结论．②补短：延长BA、CE交于F,证明△FBE≌△CBE,△FAE≌△CDE即可得出结论.

证明：方法一：截长.
如图②，在BC上取点F，使BF=BA，连结EF，
∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
在△ABE和△FBE中，
AB=FB，
∠1=∠2，
BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（S.A.S.），
∴∠A=∠5．∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠5+∠D=180．
∵∠5+∠6=180°，
∴∠6=∠D．在△CFE和△CDE中，
∠6=∠D，
∠3=∠4，
CE=CE，
∴△CFE≌△CDE（AAS），
∴CF=CD．
∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD．
方法二：补短.
如图③，延长BA、CE交于点F.
∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠BCD.
∴∠2+∠3=(∠ABC+∠BCD)=90°.∴∠BEC=90°.
在△BEC和△BEF中，
∠2=∠1，
BE=BE，
∠BEC=∠BEF=90°，
∴△BEC≌△BEF（A.S.A.），
∴BC=BF，EC=EF.
∵AB∥CD，∴∠7=∠D，∠F=∠4.
在△EAF和△EDC中，



∠7=∠D，
∠F=∠4，
EF=EC，
∴△EAF≌△EDC（A.A.S.），
∴FA=CD.
∴BC=BF=BA+AF=AB+CD.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.5”中第6、7题.

本课时教学应突出学生主体性原则，即通过探究学习，指引学生独立思考，自主得到结果，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验，激发学生探究的激情.
2.6用尺规作三角形
第1课时 已知三边作三角形

1.会利用尺规作三角形：已知三边作三角形.
2.会写出三角形的已知、求作和作法.
3.能对新作三角形给出合理的解释.
4.在用尺规作三角形与已知三角形的过程中，体会、思考作图的合理性及依据.
5.通过师生共同观察、探索、交流、操作，品尝成功的喜悦，形成良好的思维品质，养成科学严谨的学习态度.
【教学重点】
作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形.
【教学难点】
作图语言的准确应用，作图的规范与准确.

一、情景导入，初步认知
我们已经学会用尺规作一些基本图形，你会作哪些图形呢？动手试一试.
【教学说明】作基本图形，为本节课的教学作准备.
二、思考探究，获取新知
1.如图，已知线段a,b,c.求作△ABC，

使得AB=c，AC=b，BC=a.
如图：
作法：①作线段BC=a；
②以点C为圆心，以b为半径画弧，再以点B为圆心，以c为半径画弧，两弧相交于点A;
③连接AB和AC，则
△ABC为所求作的三角形.
2.已知线段a,h.求作△ABC，使AB=AC,且BC=a,高AD=h.

如图：

作法：①作线段BC=a；
②作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D;
③在射线DM（或DN）上截取线段DA，使DA=h;
④连接AB,AC,则△ABC为所求作的等腰三角形.
3.如图，已知∠AOB，求作∠AOB的角平分线.
如图：


作法：①在OA,OB上分别截取线段OD,OE,使OD=OE;
②分别以D，E为圆心，以大于DE的一半的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C;
③作射线OC，则射线OC为所求作∠AOB的角平分线.
【教学说明】在完成三个作图后，同学们要比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等.在此基础上，利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性.
三、运用新知，深化理解
1.下列各作图题中，可直接用“边边边”条件作出三角形的是（A）
A．已知腰和底边，求作等腰三角形
B．已知两条直角边，求作等腰三角形
C．已知高，求作等边三角形
D．已知腰长，求作等腰直角三角形
2.已知三边作三角形，用到的基本尺规作图为（B）
A．作一个角等于已知角
B．作一条线段等于已知线段
C．平分已知角
D．作已知直线的垂线
3.下列各题中，属于尺规作图的是（A ）
A．画一个40°的角
B．用直尺三角板画平行线
C．用直尺的边缘画垂线
D．用圆规在已知直线上截取一线段等于已知线段
4.已知线段a、b、c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c，下面作法的合理顺序为 ② ① ③
①分别以B、C为圆心，c、b为半径作弧，两弧交于点A；
②作直线BP，在BP上截取BC=a；
③连结AB、AC，△ABC为所求作三角形.
5.已知直角三角形的一条直角边和斜边，求作此直角三角形．(要求：写出已知，求作，结论，并用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明)

解：已知：线段m和n

求作：Rt△ABC，使∠ACB=90°，AB=n，AC=m

6.已知线段a，b，求作等腰△ABC，使AB=BC=a，AC=b．

解：如图：


作法：（1）作射线AC，在射线AC上截取AC=b；（2）分别以A、C为圆心，a为半径作弧，两弧交AC上方于点B；（3）连接AB、BC，△ABC即为所求．
【教学说明】对本节的知识进行巩固练习,考察学生的应变能力，培养学生的转换思想.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.6”中第1 、2 题.

本节课我将采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构.另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，直观地呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，提高教学效率.
第2课时 已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形

1.会利用尺规作三角形：已知两角及夹边作三角形，已知两边及夹角作三角形.
2.会写出三角形的已知、求作和作法.
3.能对新作三角形给出合理的解释.
4.在用尺规作三角形与已知三角形的过程中，体会、思考作图的合理性及依据.
5.通过师生共同观察、探索、交流、操作，品尝成功的喜悦，形成良好的思维品质，养成科学严谨的学习态度.
【教学重点】
作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形.
【教学难点】
作图语言的准确应用，作图的规范与准确.

一、情景导入，初步认知
1.已知：a
求作：AB，使AB=a

2.已知：∠α
求作：∠AOB，使∠AOB=∠α


【教学说明】通过作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角的复习，为本节课作三角形打好基础.
二、思考探究，获取新知
1、如图，已知∠AOB，求作一个角，使它等于∠AOB.


如图：

作法：①作射线O′A′;
②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D;
③以O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′，以OD的长为半径画弧;
④以C为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于D′；
⑤过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′为所求作的角.
2.已知∠α和线段a、c.求作△ABC,使∠B=∠α，BC=a,BA=c.

如图：

作法：①作∠MBN=∠α;
②在射线BM,BN上分别截取BC=a,BA=c;
③连接AC,则△ABC为所求的三角形.
3.如图，已知∠α，∠β和线段a，求作△ABC,使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，BC=a,

如图：


作法：①作线段BC=a；
②在BC的同侧，作∠DBC=∠α，∠ECB=∠β，BD与CE相交于点A，则△ABC为所求作的三角形.
【教学说明】在完成三个作图后，同学们要比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等.在此基础上，利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性.
三、运用新知，深化理解
1.用尺规作图，下列已知条件：a、两边及夹角，b、三边，c、两角及夹边，d、两边及其中一边的对角.不能作出唯一三角形的是 d .（填序号）
2.已知：线段c，∠1.
求作：△ABC，使∠C=90°，∠A=∠1，AB=c.
作法：(1)作∠EAF=∠1.
(2)在射线AE上截取AB=c.
(3)过点B作BC⊥AF交AF于点C，则△ABC就是所求作的三角形.
3.已知两条直角边，求作直角三角形(要求写出已知、求作、作法).
解：已知：线段a、b，
求作：△ABC，使∠C=90°，AC=b，BC=a.
作法：提示，先作∠C=90°.
4.如图，已知线段a、b，求作：Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b(不写作法，保留作图痕迹)．

解：【分析】先作一个直角∠ACB=90°，再作BC=a，AC=b，连接AB就可以．
作图如下：

5.请你作出一个以线段a为底边，以∠α为底角的等腰三角形(要求：用尺规作图，并写出已知，求作，保留作图痕迹，不写作法和结论).

【分析】可先画线段BC=a，进而在BC的同侧作∠MBC=∠α，∠NCB=∠α，MB，CN交于点A，△ABC就是所求的三角形．
已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使BC=a，AB=AC，∠ABC=∠α．

△ABC就是所求作的三角形．
【教学说明】对本节的知识进行巩固练习.考察学生的应变能力，培养学生的转换思想.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.6”中第3、4、5 题.

通过练习情况来看，学生对于涉及到作角的作图题掌握的不够好，不知道该在什么地方作角，因此，对此类题型应多加练习.
章末复习

1.使学生进一步掌握三角形各部分名称与意义、三角形内角和、三角形分类的有关知识.
2.掌握全等三角形的性质和判定.
3.引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、合情推理能力和归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想.
4.在整理知识点的过程中培养学生独立思考的习惯，让学生感受成功，并找到解决三角形相关问题的一般方法.
【教学重点】
全等三角形的判定.
【教学难点】
三角形的应用.

一、知识框图，整体把握


【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.
二、释疑解惑，加深理解
1.三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边.
2.重心的概念：三角形的三条中线相交于一点，我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.
3.三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°.
4.三角形的内角与外角的关系：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
5.定义的概念：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.
6.命题的概念：一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.
我们把正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.
7.公理的概念：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公理.
8.定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原命题的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.
9.证明：证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：①画出图形；②写出已知、求证.③写出证明的过程.
10.反证法：先假设命题不成立，然后利用命题的条件或结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.
11.等腰三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角角平分线所在的直线；等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高三条线重合（简称“三线合一”)；等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）；
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
12.等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.
13.等边三角形的判定：三个角都是60°的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
14.垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
15.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
16.全等三角形的判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”.两个角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”.
三边分别相等的两个三角形全等.简写为“边边边”或“SSS”.
17.作三角形：熟练以下三种三角形的作法及依据.①已知三角形的两边及其夹角，作三角形.②已知三角形的两角及其夹边，作三角形.③已知三角形的三边，作三角形.
【教学说明】复习本章所学知识点，可采用提问的方式进行.
三、典例精析，复习新知
1.下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（D）
A.7cm 、5cm、12cm
B.6cm、8 cm、15cm
C.8cm、4 cm、3cm
D.4cm、6 cm、5cm
2.如图1，△AOB≌△COD，A和C，B和D是对应顶点，若BO=8，AO=10，AB=5，则CD的长为（ C ）
A.10 B.8 C.5 D、不能确定


3.如图2，已知∠1=∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（C ）
A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C
C.DB=DC D.AB=AC
4.生活中，我们经常会看到如图3所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（A）
A.稳定性B.全等性
C.灵活性D.对称性

5.下列说法错误的是（B）
A.任何命题都有逆命题
B.定理都有逆定理
C.命题的逆命题不一定是正确的
D.定理的逆定理一定是正确的
6.如图9，AB＝CD，BC＝AD，则∠B与∠D相等吗？试说明你的理由.
证明：连接AC，
在△ABC和△CDA中，
AB=CD；
AC=AC；
BC=AD.
故△ABC≌△CDA（SSS）
故∠B=∠D.
7.如图10，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB.求证：BC＝AC+AD.
证明：在BC上截取CE=CA，易证得△ADC≌△EDC，故∠A=∠DEC，从而∠DEC=2∠B，又∠DEC=∠B+∠BDE，故∠B=∠BDE，故BE=DE，于是BC=AC+AD.
四、复习训练，巩固提高
1.如果一个三角形三边上的高的交点在三角形的外部，那么这个三角形是（C ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
2.根据下列条件作三角形，不能唯一确定三角形的是（ A）
A.已知三个角 B.已知三条边
C.已知两角和夹边 D.已知两边和夹角
3.尺规作图：小明作业本上画的三角形被墨迹污染，他想画出一个与原来完全一样的三角形，请帮助小明想办法用尺规作图法画一个出来，并说明你的理由.
解：（1）.作线段DE，使DE=AB,
（2）.作∠EDF=∠BAC,∠DEF=∠ABC,两角在DE的同侧，交于F点.则，△DEF即为所求.
图形略.
4.已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．
求证：⑴△ABC≌△DEF；
⑵BE＝CF．
证明：(1)∵AC∥DF
∴∠ACB＝∠F
在△ABC与△DEF中
∠BAC=∠EDF;
∠ACB=∠DFE;
AB=DE.
∴△ABC≌△DEF（AAS）
(2)∵△ABC≌△DEF
∴BC=EF
∴BC-EC=EF-EC
即BE=CF
5.如图9，已知线段a，h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：
①以点B、C为圆心，以大于a2的长为半径画弧，两弧在BC两侧分别交于点D、M，连结DM交BC于点E.
②以E点为圆心，以h为半径画弧交直线MD延 长线MN于点A.
③连接AB、AC,△ABC即为所求.

6.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证△ABC≌△ADE.

证明：∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠BAC
∵AB=AD，AC=AE
∴△ABC≌△ADE（SAS）
7.已知：如图，点E、F在线段BD上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．
求证：（1）AE＝CF
（2）AF//CE
证明：(1)∵BF=DE,
∴BF+FE=DE+FE.
即BE=DF
又∵AB=CD,∠B=∠D,
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE=CF
（2）∵△ABE≌△CDF
∴∠AEB=∠CFD
∴AF//CE(内错角相等，两直线平行)

8.如图12，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，D为AB上一点，AD＝AC，AF平分∠CAE交CE于点F.请你猜想FD//BC有怎样的关系？并证明你的猜想.
证明：猜想FD∥BC
由AF平分∠CAE，得∠CAF=∠EAF.
又∵AC=AD，AF=AF，
∴△ACF≌△ADF（SAS）.
∴∠ACF=∠ADF.
又∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠CBE和∠ACE都是∠ECB的余角，
∴∠CBE=∠ACE，（同角的余角相等）
∴∠ADF=∠CBE，
∴FD∥BC.（同位角相等，两直线平行）
9.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高.
求证：AD垂直平分EF.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高
∴DE=DF
∴D在EF的垂直平分线上
在Rt△ADE与Rt△ADF中
DE=DF
AD=AD
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)
∴AE=AF
∴A在EF的垂直平分线上
∴AD垂直平分EF
【教学说明】利用习题巩固本章知识点，体验解决问题的方法，培养实践能力和创新意识.
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的复习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？

布置作业:教材“复习题”中第4、6、11、13、15、16题.

本节课是对三角形的相关知识和全等三角形进行复习，重心在后一板块，但是在实际课堂中，并没有达到复习课的有效性，导致前一个板块简单知识冗长且重复，而后一个板块没有得到充分地挖掘与展现，主题不鲜明，重点没有突出，有头重脚轻之嫌.