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湘教版八年级上册2.1 三角形优秀一课一练
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这是一份湘教版八年级上册2.1 三角形优秀一课一练，文件包含课时练湘教版2023-2024学年初中数学八年级上册21三角形同步分层训练基础卷教师版docx、课时练湘教版2023-2024学年初中数学八年级上册21三角形同步分层训练基础卷学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
一、选择题
1．（2023八上·韩城期末）两根长度分别为2，10的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是（ ）
A．13B．10C．7D．6
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长度为x，
则10−2即8则x=10符合题意，
故答案为：B.
【分析】设第三边的长度为x，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式组，求解可得x的取值范围，从而一一判断即可得出答案.
2．（2023八上·南宁期末）若长度为x，2，3的三条线段能组成一个三角形，则x的值可能为（ ）
A．6B．5C．1D．3
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得：3−2则x的值可能是3，
故答案为：D.
【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可.
3．（2023八上·南充期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6B．5，8，13C．4，4，7D．3，4，8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵2+3＜6，∴2、3、6三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵5+8=13，∴5、8、13三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵4+4＞7，∴4、4、7三条线段能为围成三角形，故此选项符合题意；
D、∵3+4＜8，∴3、4、8三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由三角形三边关系，只需要判断较小两边的和是否大于最大边长即可，从而一一判断得出答案.
4．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．7cmB．8cm C．7cm或3cmD．3cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况，分别利用三角形的周长，等腰三角形的性质和三角形的三边关系进行讨论即可求解．
【解答】当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，底边长是13-3-3=7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系．
故底边长是3cm．
故选D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，正确理解题意，分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
5．（2023八上·江北期末）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F.若△ABE的面积为S1，△AFC的面积为S2，△EDC的面积为S3，只要知道下列哪个值就可以求出△DEF的面积（ ）
A．S1+S2B．S1+S2+S3C．S3D．S1+S2+2S3
【答案】C
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，
∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，
∴S△ADF=S△ADC，S△BEF=S△BEC，S△AEF=S△BEF−S△ABE=S△BEC−S△ABE=S△ABC
∴S△DEF=S△ADE+S△ADF+S△AEF=S△ABD+S△ADC+S△ABC=2S△ABC.
即S△DEF=2S△ABC.
∵S△EDC+S△EBD−S△AEB=S△ABC
即S3+S1−S1=12S△DEF
即S△DEF=2S3，
故答案为：C.
【分析】由题意可得S△ADF=S△ADC，S△BEF=S△BEC，S△AEF=S△BEF-S△ABE=S△BFC-S△ABE=S△ABC，进而推出S△DEF=2S△ABC，然后根据S△EDC+S△EBD-S△AEB=S△ABC进行解答.
6．（2023八上·西安期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边上的高为（ ）
A．132B．455C．302D．855
【答案】B
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵S△ABC=3×4−12×2×3−12×2×1−12×2×4=4，
又∵BC=22+42=25，
∴BC边长的高为：2×425=455，故B正确.
故答案为：B.
【分析】利用割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积，然后根据S△ABC=12BC·BC边上的高进行求解.
7．（2023八上·宁波期末）若三角形三个内角度数比为3：4：5，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵三角形三个内角度数比为3：4：5 ，
∴设这个三角形的三个内角的度数分别为3x，4x，5x，
∴3x+4x+5x=180°，
解之：x=15°，
∴3x=45°，4x=60°，5x=75°，
∴此三角形是锐角三角形.
故答案为：A
【分析】利用已知条件设这个三角形的三个内角的度数分别为3x，4x，5x，利用三角形的内角和定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出三角形的三个内角的度数，可得答案.
8．（2023八上·嘉兴期末）嘉兴某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为3cm、10cm，则该三角形的周长可能是（ ）
A．18cmB．19cmC．20cmD．21cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
10-3＜x＜10+3
∴7+3+10＜x+3+10＜13+3+10，
∴20＜x+3+10＜26，
∴三角形的周长可能是21.
故答案为：D
【分析】设第三边长为x，利用三角形的三边关系定理可求出x的取值范围，即可得到三角形的周长的取值范围，从而可得到符合题意的选项.
二、填空题
9．（2023八上·金东期末）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点O，若△ABC的面积为20，那么阴影部分的面积之和为 .
【答案】10
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD，BE，CF是△ABC的中线，
∴S△AOF=S△BOF，S△BOD=S△COD，S△AOE=S△COE，
∴阴影部分面积之和=S△BOF+S△COD+S△AOE=12S△ABC=12×20=10.
故答案为：10.
【分析】根据三角形中线的概念以及三角形的面积公式可得S△AOF=S△BOF，S△BOD=S△COD，S△AOE=S△COE，推出S阴影=12S△ABC，据此计算.
10．（2023八上·凤凰期末）如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是 .
【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：三角形结构具有稳定性.
故答案为：三角形具有稳定性.
【分析】根据三角形的稳定性进行解答.
11．（2023八上·凤凰期末）如图△ABC中，已知D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC=8，那么阴影部分的面积为 .
【答案】2
【知识点】三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∴S△ABD=S△ADC=12S△ABC=4，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴S△BED=12S△ABD=2，
S△DEC=12S△ADC=2，
∴S△BEC=S△BDE+S△DCE=4，
∵F是CE的中点，
∴EF=CF，
∴S△BEF=12S△BEC=2，
故答案为：2.
【分析】根据中点的概念以及三角形的面积公式可得S△ABD=S△ACD=12S△ABC=4，S△BED=12S△ABD=2，S△DEC=12S△ACD=2，则S△BEC=S△BDE+S△DCE=4，同理可得S△BEF=12S△BEC，据此计算.
12．（2023八上·嘉兴期末）一副三角尺，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为 .
【答案】15°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知∠C=45°，∠B=60°，∠ADB=∠BAE=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴∠DAE=90°-30°=60°，
∵∠DAE=∠C+α，
∴α=60°-45°=15°.
故答案为：15°
【分析】利用直角三角形的两锐角互余可得到∠BAD的度数，由此可求出∠DAE的度数；再利用三角形的外角的性质可求出α的度数.
三、解答题
13．（2023八上·汉阴期末）如图，点C为△ABF的边AB的延长线上一点，过点C作CE⊥AF于点E，CE交BF于点G，若∠F=40°，∠C=20°，求∠FBC的度数.
【答案】解：∵在△AEC中，FA⊥EC，
∴∠AEC=90°，
∴∠A=90°−∠C=70°，
∴∠FBC=∠A+∠F=70°+40°=110°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据垂直的定义得∠AEC=90°，根据直角三角形两锐角互余得∠A=70°，进而根据三角形外角性质得∠FBC=∠A+∠F，代入计算即可得出答案.
14．（2023八上·西安期末）如图，∠B=30°，∠CAD=65°，AD平分∠CAE，求∠ACD的度数.
【答案】解：∵∠CAD=65°，AD平分∠CAE，
∴∠EAC=2∠CAD=2×65°=130°，
∴∠BAC=180°−∠EAC=180°−130°=50°，
∵∠B=30°，
∴∠ACD=∠B+∠CAB=30°+50°=80°.
【知识点】三角形的外角性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠EAC=2∠CAD=130°，由邻补角的性质可得∠BAC=180°-∠EAC=50°，根据外角的性质可得∠ACD=∠B+∠CAB，据此计算.
四、作图题
15．（2023八上·如东期末）如图，在平面直角坐标系中，A(2，4)，B(3，1)，C(−2，−1).
（1）在图中作出ΔABC关于x轴的对称图形ΔA1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）求ΔABC的面积；
（3）点P(a，a−2)与点Q关于x轴对称，若PQ=8，直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：如图1
△A1B1C1就是求作的与△ABC关于x轴对称的三角形，点C1的坐标（−2，1）；
（2）解：如图2
由图知矩形CDEF的面积：5×5=25
△ADC的面积：12×4×5=10
△ABE的面积：12×1×3= 32
△CBF的面积：12×5×2=5
所以△ABC的面积为：25-10-32-5=8.5.
（3）解：∵点P（a，a−2）与点Q关于x轴对称，
∴Q（a，2−a），
∵PQ=8，
∴|（a-2）-（2-a）|=8，解得：a=6或a=−12，
∴P（6，4）或（−12，−52）.
【知识点】两点间的距离；三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此找出点A1、B1、C1的位置，顺次连接可得△A1B1C1，进而可得点C1的坐标；
（2）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接正方形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积；
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特征可得Q（a，2-a），根据PQ=8结合两点间距离公式就可求出a的值，进而可得点P的坐标.
五、综合题
16．（2023八上·桂平期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB=5，CD⊥AB，则CD的长为： .
（2）如图2，在△ABC中，AB=4，BC=2，则△ABC的高CD与AE的比是： .
（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°(∠A<∠ABC)，点D，P分别在边AB，AC上，且BP=AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为点E，F.若BC=10，求DE+DF的值.
【答案】（1）125
（2）1：2
（3）解：∵S△ABP=12AP⋅BC，S△ADP=12AP⋅DF，S△BDP=12BP⋅DE，
∵S△ABP=S△ADP+S△BDP，
∴S△ABP=12BP⋅DE+12AP⋅DF=12AP⋅BC，
又∵BP=AP，
∴12AP⋅DE+12AP⋅DF=12AP⋅BC，
即DE+DF=BC=10.
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CD，
∴CD=4×35=125；
故答案为：125；
（2）如图2中，∵S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AE
∴12×4×CD=12×2×AE，
∴2CD=AE，
∴CD：AE=1：2；
故答案为：1：2；
【分析】（1）根据S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CD即可求解；
（2）根据S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CD即可求解；
（3）由S△ABP=S△ADP+S△BDP，即得S△ABP=12BP⋅DE+12AP⋅DF=12AP⋅BC，结合BP=AP，代入相应数据即可求解.
17．（2023八上·宁波期末）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，△ABC的位置如图所示．
（1）试在网格图中画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称．
（2）求出△ABC的面积
【答案】（1）解：如图，
（2）解：S△ABC=4×3-12×2×2-12×2×3-12×1×4=5.
答：△ABC的面积为5
【知识点】三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用关于x轴对称的点的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，画出点A，B，C的对称点A1，B1，C1，然后画出△A1B1C1.
（2）利用△ABC的面积等于矩形的面积减去三个直角三角形的面积.
一、选择题
1．（2023八上·韩城期末）两根长度分别为2，10的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是（ ）
A．13B．10C．7D．6
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长度为x，
则10−2
故答案为：B.
【分析】设第三边的长度为x，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式组，求解可得x的取值范围，从而一一判断即可得出答案.
2．（2023八上·南宁期末）若长度为x，2，3的三条线段能组成一个三角形，则x的值可能为（ ）
A．6B．5C．1D．3
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得：3−2
故答案为：D.
【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可.
3．（2023八上·南充期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6B．5，8，13C．4，4，7D．3，4，8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵2+3＜6，∴2、3、6三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵5+8=13，∴5、8、13三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵4+4＞7，∴4、4、7三条线段能为围成三角形，故此选项符合题意；
D、∵3+4＜8，∴3、4、8三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由三角形三边关系，只需要判断较小两边的和是否大于最大边长即可，从而一一判断得出答案.
4．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．7cmB．8cm C．7cm或3cmD．3cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况，分别利用三角形的周长，等腰三角形的性质和三角形的三边关系进行讨论即可求解．
【解答】当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，底边长是13-3-3=7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系．
故底边长是3cm．
故选D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，正确理解题意，分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
5．（2023八上·江北期末）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F.若△ABE的面积为S1，△AFC的面积为S2，△EDC的面积为S3，只要知道下列哪个值就可以求出△DEF的面积（ ）
A．S1+S2B．S1+S2+S3C．S3D．S1+S2+2S3
【答案】C
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，
∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，
∴S△ADF=S△ADC，S△BEF=S△BEC，S△AEF=S△BEF−S△ABE=S△BEC−S△ABE=S△ABC
∴S△DEF=S△ADE+S△ADF+S△AEF=S△ABD+S△ADC+S△ABC=2S△ABC.
即S△DEF=2S△ABC.
∵S△EDC+S△EBD−S△AEB=S△ABC
即S3+S1−S1=12S△DEF
即S△DEF=2S3，
故答案为：C.
【分析】由题意可得S△ADF=S△ADC，S△BEF=S△BEC，S△AEF=S△BEF-S△ABE=S△BFC-S△ABE=S△ABC，进而推出S△DEF=2S△ABC，然后根据S△EDC+S△EBD-S△AEB=S△ABC进行解答.
6．（2023八上·西安期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边上的高为（ ）
A．132B．455C．302D．855
【答案】B
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵S△ABC=3×4−12×2×3−12×2×1−12×2×4=4，
又∵BC=22+42=25，
∴BC边长的高为：2×425=455，故B正确.
故答案为：B.
【分析】利用割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积，然后根据S△ABC=12BC·BC边上的高进行求解.
7．（2023八上·宁波期末）若三角形三个内角度数比为3：4：5，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵三角形三个内角度数比为3：4：5 ，
∴设这个三角形的三个内角的度数分别为3x，4x，5x，
∴3x+4x+5x=180°，
解之：x=15°，
∴3x=45°，4x=60°，5x=75°，
∴此三角形是锐角三角形.
故答案为：A
【分析】利用已知条件设这个三角形的三个内角的度数分别为3x，4x，5x，利用三角形的内角和定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出三角形的三个内角的度数，可得答案.
8．（2023八上·嘉兴期末）嘉兴某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为3cm、10cm，则该三角形的周长可能是（ ）
A．18cmB．19cmC．20cmD．21cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
10-3＜x＜10+3
∴7+3+10＜x+3+10＜13+3+10，
∴20＜x+3+10＜26，
∴三角形的周长可能是21.
故答案为：D
【分析】设第三边长为x，利用三角形的三边关系定理可求出x的取值范围，即可得到三角形的周长的取值范围，从而可得到符合题意的选项.
二、填空题
9．（2023八上·金东期末）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点O，若△ABC的面积为20，那么阴影部分的面积之和为 .
【答案】10
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD，BE，CF是△ABC的中线，
∴S△AOF=S△BOF，S△BOD=S△COD，S△AOE=S△COE，
∴阴影部分面积之和=S△BOF+S△COD+S△AOE=12S△ABC=12×20=10.
故答案为：10.
【分析】根据三角形中线的概念以及三角形的面积公式可得S△AOF=S△BOF，S△BOD=S△COD，S△AOE=S△COE，推出S阴影=12S△ABC，据此计算.
10．（2023八上·凤凰期末）如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是 .
【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：三角形结构具有稳定性.
故答案为：三角形具有稳定性.
【分析】根据三角形的稳定性进行解答.
11．（2023八上·凤凰期末）如图△ABC中，已知D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC=8，那么阴影部分的面积为 .
【答案】2
【知识点】三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∴S△ABD=S△ADC=12S△ABC=4，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴S△BED=12S△ABD=2，
S△DEC=12S△ADC=2，
∴S△BEC=S△BDE+S△DCE=4，
∵F是CE的中点，
∴EF=CF，
∴S△BEF=12S△BEC=2，
故答案为：2.
【分析】根据中点的概念以及三角形的面积公式可得S△ABD=S△ACD=12S△ABC=4，S△BED=12S△ABD=2，S△DEC=12S△ACD=2，则S△BEC=S△BDE+S△DCE=4，同理可得S△BEF=12S△BEC，据此计算.
12．（2023八上·嘉兴期末）一副三角尺，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为 .
【答案】15°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知∠C=45°，∠B=60°，∠ADB=∠BAE=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴∠DAE=90°-30°=60°，
∵∠DAE=∠C+α，
∴α=60°-45°=15°.
故答案为：15°
【分析】利用直角三角形的两锐角互余可得到∠BAD的度数，由此可求出∠DAE的度数；再利用三角形的外角的性质可求出α的度数.
三、解答题
13．（2023八上·汉阴期末）如图，点C为△ABF的边AB的延长线上一点，过点C作CE⊥AF于点E，CE交BF于点G，若∠F=40°，∠C=20°，求∠FBC的度数.
【答案】解：∵在△AEC中，FA⊥EC，
∴∠AEC=90°，
∴∠A=90°−∠C=70°，
∴∠FBC=∠A+∠F=70°+40°=110°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据垂直的定义得∠AEC=90°，根据直角三角形两锐角互余得∠A=70°，进而根据三角形外角性质得∠FBC=∠A+∠F，代入计算即可得出答案.
14．（2023八上·西安期末）如图，∠B=30°，∠CAD=65°，AD平分∠CAE，求∠ACD的度数.
【答案】解：∵∠CAD=65°，AD平分∠CAE，
∴∠EAC=2∠CAD=2×65°=130°，
∴∠BAC=180°−∠EAC=180°−130°=50°，
∵∠B=30°，
∴∠ACD=∠B+∠CAB=30°+50°=80°.
【知识点】三角形的外角性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠EAC=2∠CAD=130°，由邻补角的性质可得∠BAC=180°-∠EAC=50°，根据外角的性质可得∠ACD=∠B+∠CAB，据此计算.
四、作图题
15．（2023八上·如东期末）如图，在平面直角坐标系中，A(2，4)，B(3，1)，C(−2，−1).
（1）在图中作出ΔABC关于x轴的对称图形ΔA1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）求ΔABC的面积；
（3）点P(a，a−2)与点Q关于x轴对称，若PQ=8，直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：如图1
△A1B1C1就是求作的与△ABC关于x轴对称的三角形，点C1的坐标（−2，1）；
（2）解：如图2
由图知矩形CDEF的面积：5×5=25
△ADC的面积：12×4×5=10
△ABE的面积：12×1×3= 32
△CBF的面积：12×5×2=5
所以△ABC的面积为：25-10-32-5=8.5.
（3）解：∵点P（a，a−2）与点Q关于x轴对称，
∴Q（a，2−a），
∵PQ=8，
∴|（a-2）-（2-a）|=8，解得：a=6或a=−12，
∴P（6，4）或（−12，−52）.
【知识点】两点间的距离；三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此找出点A1、B1、C1的位置，顺次连接可得△A1B1C1，进而可得点C1的坐标；
（2）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接正方形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积；
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特征可得Q（a，2-a），根据PQ=8结合两点间距离公式就可求出a的值，进而可得点P的坐标.
五、综合题
16．（2023八上·桂平期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB=5，CD⊥AB，则CD的长为： .
（2）如图2，在△ABC中，AB=4，BC=2，则△ABC的高CD与AE的比是： .
（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°(∠A<∠ABC)，点D，P分别在边AB，AC上，且BP=AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为点E，F.若BC=10，求DE+DF的值.
【答案】（1）125
（2）1：2
（3）解：∵S△ABP=12AP⋅BC，S△ADP=12AP⋅DF，S△BDP=12BP⋅DE，
∵S△ABP=S△ADP+S△BDP，
∴S△ABP=12BP⋅DE+12AP⋅DF=12AP⋅BC，
又∵BP=AP，
∴12AP⋅DE+12AP⋅DF=12AP⋅BC，
即DE+DF=BC=10.
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CD，
∴CD=4×35=125；
故答案为：125；
（2）如图2中，∵S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AE
∴12×4×CD=12×2×AE，
∴2CD=AE，
∴CD：AE=1：2；
故答案为：1：2；
【分析】（1）根据S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CD即可求解；
（2）根据S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CD即可求解；
（3）由S△ABP=S△ADP+S△BDP，即得S△ABP=12BP⋅DE+12AP⋅DF=12AP⋅BC，结合BP=AP，代入相应数据即可求解.
17．（2023八上·宁波期末）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，△ABC的位置如图所示．
（1）试在网格图中画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称．
（2）求出△ABC的面积
【答案】（1）解：如图，
（2）解：S△ABC=4×3-12×2×2-12×2×3-12×1×4=5.
答：△ABC的面积为5
【知识点】三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用关于x轴对称的点的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，画出点A，B，C的对称点A1，B1，C1，然后画出△A1B1C1.
（2）利用△ABC的面积等于矩形的面积减去三个直角三角形的面积.
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