新教材数学苏教版必修第一册第7章 7.2 7.2.2　同角三角函数关系 课件

7.2.2　同角三角函数关系

知识点　同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．

(2)商数关系：tan α＝．

1．sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？

[提示]　不一定．

2．对任意角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？

[提示]　成立，平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．

思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立． (　　)

(2)对任意角α，＝tan 都成立． (　　)

(3)sin α＝是cos α＝的充分条件． (　　)

[提示]　(1)符合同角三角函数的关系．

(2)等式＝tan 的条件是

即α≠π＋2kπ，k∈Z．

(3)因为α的范围不明确，故cos α＝±＝±，由sin α＝不能推出cos α＝．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

类型1　利用同角三角函数基本关系式求值

【例1】　(1)已知sin α＝－，求cos α，tan α的值；

(2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos2α的值．

[解]　(1)因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．

由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－＝．

如果α是第三象限角，那么cos α＜0．

于是cos α＝－＝－，

从而tan α＝＝×＝．

如果α是第四象限角，那么cos α＝，tan α＝－．

(2)法一：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2．

所以2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝－1．

法二：由sin α＋2cos α＝0得2cos α＝－sin α，

所以2sin αcos α－cos2α＝－sin2α－cos2α＝－(sin2α＋cos2α)＝－1．

1．求三角函数值的方法

(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解

(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解

当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．

2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法

(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．

(2)若关于sin α，cos α的二次齐次式无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．

1．已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．

[解]　法一：∵tan α＝－2<0，

∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2cos α， ①

又sin2α＋cos2α＝1，  ②

由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝．

当α为第二象限角时，cos α＝－，代入①得sin α＝；

当α为第四象限角时，cos α＝，代入①得sin α＝－．

法二：∵tan α＝－2<0，

∴α为第二或第四象限角．

由tan α＝，

两边分别平方，得tan2α＝，

又sin2α＋cos2α＝1，

∴tan2α＋1＝＋1＝＝，

即cos2α＝．

当α为第二象限角时，cos α<0，

∴cos α＝－＝－＝－，

∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×＝．

当α为第四象限角时，cos α>0，

∴cos α＝＝＝，

∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×＝－．

类型2　三角函数式的化简、求值

【例2】　(1)化简：；

(2)若角α是第二象限角，化简：tan α．

[解]　(1)原式＝

＝＝＝1．

(2)原式＝tan α＝tan α＝×，

因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，

所以原式＝×＝×＝－1．

化简三角函数式的常用方法

1切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.

2对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.,3对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.

提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.

2．化简：

(1)已知α是第一象限角，－；

(2)·．

[解]　(1)原式＝－

＝－

＝－．

因为α是第一象限角，所以0<sin α<1,0<cos α<1，

所以原式＝－＝＝－．

(2)原式＝·

＝·＝·＝·＝±1．

类型3　三角函数式的证明

【例3】　求证：＝．

[证明]　法一：左边＝＝，

右边＝＝，

因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，

所以＝，所以左边＝右边，

所以原等式成立．

法二：因为右边＝

＝

＝

＝

＝

＝左边．

所以原等式成立．

1．在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用．

2．利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有：

(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．

(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．

(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．

(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等．

(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．

3．证明：＝．

[证明]　左边＝

＝

＝

＝＝

＝

＝＝＝右边．

所以原等式成立．

类型4　“sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系

【例4】　已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π．

求：(1)sin αcos α的值；

(2)求sin α－cos α的值．

[解]　(1)∵sin α＋cos α＝，

∴(sin α＋cos α)2＝，

∴1＋2sin αcos α＝，

即sin αcos α＝－．

(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α

＝1＋＝，

又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，

∴sin α＞0，cos α＜0，

∴sin α－cos α＞0，

∴sin α－cos α＝．

1．已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可．

2．已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负．

4．已知△ABC中，sin A＋cos A＝，则A的值为________．

　[∵A∈(0，π)，

sin Acos A＝＝－<0，

∴A∈，

则sin A－cos A>0，(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝＝，

所以sin A－cos A＝，解得sin A＝，cos A＝－，

又A∈，所以A＝．]

1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)

A．　 　　B．－　 　　C．　 　　D．－

B　[∵sin α＝－，且α为第四象限角，

故cos α＝，∴tan α＝－．]

2．已知tan α＝－，则的值是(　　)

A．     B．3   

C．－     D．－3

A　[因为tan α＝－，所以＝＝＝．]

3．sin α＝，且α∈，则sin α－2cos2α＝________．

－　[由已知得cos α＝－＝－，

所以sin α－2cos2α＝－2×＝－．]

4．已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为________．

　[∵cos α－sin α＝－，∴(cos α－sin α)2＝，

即1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝．]

5．已知tan α＝，则cos α－sin α等于________．

　[由tan α＝，

得

解得

∴cos α－sin α＝．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．应用三角函数关系求值时应注意什么问题？

[提示]　判断角α所在象限，分类讨论求值，注意三角函数值的符号．

2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值应注意什么问题？

[提示]　要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．

3．证明三角恒等式常用哪些方法？

[提示]　(1)从右到左或从左到右　(2)左右归一　(3)化异为同法　(4)变更命题法　(5)比较法

4．本节课的易错点是什么？

[提示]　本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin α，cos α的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sin α，cos α漏解或多解的错误．