新高考数学一轮复习课时跟踪检测（二十三）三角函数图象与性质的综合问题（含解析）

课时跟踪检测（二十三）  三角函数图象与性质的综合问题

一、综合练——练思维敏锐度

1．已知函数y＝sin在[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为(　　)

A．6　　　　　　　　　　 B．7

C．8  D．9

解析：选B　函数y＝sin的周期T＝6，当x＝0时，y＝，当x＝1时，y＝1，所以函数y＝sin在[0，t]上至少取得2次最大值，有t－1≥T，即t≥7，所以正整数t的最小值为7.故选B.

2．已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f＝(　　)

A．2   B．－2

C.  D．－

解析：选B　因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝，所以f(x)＝－4sin ωx，又A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是1，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sin πx，所以f＝－4sin ＝－2.故选B.

3．(2021·武昌调研)已知函数f(x)＝2sin－1(ω>0)的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)

A．3  B．

C.  D．

解析：选A　将f(x)的图象向右平移个单位后所得到的图象对应的函数解析式为y＝2sin－1＝2sin－1，由题意知＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝3k(k∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为3.故选A.

4．若函数f(x)＝sin x＋cos x在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，则函数g(x)＝cos x－sin x在区间[a，b]上(　　)

A．是增函数   B．是减函数

C．可以取得最大值2  D．可以取得最小值－2

解析：选D　f(x)＝2sin，g(x)＝2cos＝2sin，

则g(x)的图象是由f(x)的图象向左平移个单位得到的．

f(x)在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，

令x＋＝t，则可取t∈，

将y＝2sin t的图象向左平移个单位，即个周期，

可得g(t)＝2sin的图象．

g(t)在t∈时的最小值为－2，

即g(t)可以取得最小值－2.故选D.

5．直线y＝a与函数f(x)＝tan(ω>0)的图象的相邻两个交点的距离为2π，若f(x)在(－m，m)(m>0)上是增函数，则m的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　∵直线y＝a与函数f(x)的图象的相邻两个交点的距离是一个周期，

∴ω＝，∴f(x)＝tan.

由kπ－<x＋<kπ＋(k∈Z)，

得2kπ－π<x<2kπ＋(k∈Z)．

∴f(x)在上是增函数．

∴(－m，m)⊆.

解得0＜m≤.故选B.

6．已知函数f(x)＝asin x－cos x的一条对称轴为x＝－，且f(x1)·f(x2)＝－4，则|x1＋x2|的最小值为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　f(x)＝asin x－cos x＝sin(x＋φ)，

由于函数的对称轴为x＝－，

所以f＝－－为最大值或最小值，

即＝，解得a＝1.

所以f(x)＝2sin.

由于f(x1)·f(x2)＝－4，

所以函数必须在x1，x2处分别取得最大值和最小值，

所以不妨设x1＝2k1π＋，

x2＝2k2π－，k1∈Z，k2∈Z，

则|x1＋x2|＝2(k1＋k2)π＋，k1∈Z，k2∈Z，

所以|x1＋x2|的最小值为.

7．如果圆x2＋(y－1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2－cos(x＋) (m>0)的一个最大值点和一个最小值点，那么m的取值范围是(　　)

A．[2，＋∞)  B．

C.  D．

解析：选D　化简f(x)＝2sin2－cos(x＋)得f(x)＝2sin＋1，所以，函数f(x)靠近圆心(0,1)的最大值点为，最小值点为，

所以只需

解得m≥.故选D.

8．设函数f(x)＝sin(2x＋)，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x1<x2<x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　画出函数f(x)在x∈上的大致图象，如图所示，由图知，当≤a<1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，

由2x＋＝得x＝.

结合题意得x1＋x2＝，π≤x3<，

则≤x1＋x2＋x3<，即x1＋x2＋x3的取值范围是.故选B.

9．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)的图象经过点和，当x∈时，方程f(x)＝2a－有两个不等的实根，则实数a的取值范围是________．

解析：∵点在函数图象上，∴Asin [2×＋φ]＝0.∵0<φ<π，∴φ＝.又点在函数图象上，∴Asin＝，∴A＝，∴f(x)＝sin(2x＋).∵x∈，∴2x＋∈，当方程f(x)＝2a－有两个不等的实根时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝2a－有两个不同的交点，由图象可知≤2a－<，∴≤a<.

答案：

10．已知定义在R上的函数f(x)，恒有f＝f，当x∈[0，π)时，f(x)＝       sin x．若∀x∈(－∞，a]，恒有f(x)<4，则a的取值集合为________．

解析：由f＝f得f(x)＝f(x＋π)，

则函数f(x)＝

易知当x∈(－∞，0)时f(x)≤.

由x∈[0，π)上的图象可先作出[0,4π)上的图象，如图．

当3π≤x＜4π时，

由f(x)＝4得

8sin(x－3π)＝4，

∴sin(x－3π)＝，

解得x1＝π，x2＝π.

要使∀x∈(－∞，a]，恒有f(x)＜4，

则根据图象知a的取值范围为.

答案：

11．已知函数f(x)＝a(2cos2＋sin x)＋b.

(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．

解：已知函数f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b

＝asin＋a＋b.

(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，

由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

∴f(x)的单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋] (k∈Z)．

(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，

∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.

①当a>0时，得∴a＝3－3，b＝5；

②当a<0时，得∴a＝3－3，b＝8.

综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.

12．已知函数f(x)＝1＋cos 2x－2sin2.

(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)若方程f(x)－m＝0在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．

解：(1)∵f(x)＝1＋cos 2x－2sin2

＝cos 2x＋cos＝cos 2x＋sin 2x

 ＝2sin，

∴最小正周期T＝＝π.

由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，

得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．

∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．

(2)由题意知，函数y＝f(x)在区间上的图象与直线y＝m有两个不同的交点．

由(1)知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，

∴f(x)min＝f＝－2，又f＝1，f(π)＝，

∴当－2＜m≤1时，函数y＝f(x)在区间上的图象与直线y＝m有两个不同的交点，

即方程f(x)－m＝0在区间上有两个不同的实数解．

∴实数m的取值范围为(－2,1]．

二、自选练——练高考区分度

1.如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 图象的一部分，对任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝1，则φ的值为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　由题图可得A＝2，x1，x2关于函数f(x)图象的对称轴对称，即直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，且f＝2，可得2sinω＋φ＝2，可得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，①

∵f(x1＋x2)＝1，∴2sin[ω(x1＋x2)＋φ]＝1，

可得ω(x1＋x2)＋φ＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)，②

令k＝0，由①②得φ＝或，

∵|φ|<，∴φ＝.

2．已知函数f(x)＝(1－2cos2x)sin－2sin xcos x·cos在上单调递增．若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．

解析：∵f(x)＝(1－2cos2x)sin－2sin xcos x·cos＝－cos 2x(－cos θ)－   sin 2xsin θ＝cos(2x＋θ)，当x∈时，－＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，∴由函数递增知解得－≤θ≤.∵f＝cos，0≤＋θ≤，

∴f≤1.∵f≤m恒成立，∴m≥1.

答案：[1，＋∞)

3．已知函数f(x)＝sin－cos ωx (ω＞0)．若函数f(x)的图象关于直线x＝2π对称，且在区间上是单调函数，则ω的取值集合为________．

解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝sin，

因为f(x)的图象关于直线x＝2π对称，

所以f(2π)＝±1，

则2πω－＝kπ＋(k∈Z)，

所以ω＝＋(k∈Z)．

因为函数f(x)在区间上是单调函数，

所以最小正周期T≥2，

即≥π，解得0＜ω≤2，

所以ω＝或ω＝或ω＝或ω＝.

当ω＝时，f(x)＝sin，

x∈时，x－∈，

此时f(x)在区间上为增函数；

当ω＝时，f(x)＝sin，

x∈时，x－∈，

此时f(x)在区间上为增函数；

当ω＝时，f(x)＝sin，

x∈时，x－∈，

此时f(x)在区间上为增函数；

当ω＝时，f(x)＝sin，

x∈时，x－∈，

此时f(x)在区间上不是单调函数．

综上，ω∈.

答案：

4．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx(ω>0)，周期是.

(1)求f(x)的解析式以及x∈时f(x)的值域；

(2)将f(x)图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数g(x)的图象，若|g(x)－m|<2成立的充分条件是≤x≤ π，求m的取值范围．

解：(1)f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx

＝sin 2ωx－(1＋cos 2ωx)

＝sin－.

由T＝＝，解得ω＝2.

∴函数f(x)＝sin－.

∵0≤x≤，∴－≤4x－≤π，

结合函数y＝sin－的图象及性质得，

－≤sin≤1，∴－1≤sin－≤，

即函数f(x)在上的值域是.

(2)依题意g(x)＝sin＋1.

∵|g(x)－m|<2，∴g(x)－2<m<g(x)＋2.

∵当x∈时，g(x)－2<m<g(x)＋2恒成立，

∴只需[g(x)－2]max<m<[g(x)＋2]min，

转化为求g(x)的最大值与最小值．

当x∈时，2x＋∈，

∴g(x)max＝1＋1＝2，g(x)min＝－1＋1＝0，

从而[g(x)－2]max＝0，[g(x)＋2]min＝2，

∴0<m<2，∴m的取值范围是(0,2)．