新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测25《三角函数图象与性质的综合问题》(含解析)

课时跟踪检测（二十五）  三角函数图象与性质的综合问题

1．(2018·漯河高级中学二模)已知函数y＝sin在[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为(　　)

A．6　　　　　　　　　 B．7

C．8  D．9

解析：选B　函数y＝sin的周期T＝6，当x＝0时，y＝，当x＝1时，y＝1，所以函数y＝sinx＋在[0，t]上至少取得2次最大值，有t－1≥T，即t≥7，所以正整数t的最小值为7.故选B.

2．(2019·合肥高三调研)已知函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则ω的最小正值为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B　将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin的图象，因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以－＋＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝－3k－1.易知当k＝－1时，ω取最小正值2，故选B.

3．(2018·东北五校协作体模考)已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f＝(　　)

A．2  B．－2

C.  D．－

解析：选B　因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝，所以f(x)＝－4sin ωx，又A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是1，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sin πx，所以f＝－4sin ＝－2，故选B.

4．(2019·武昌调研)已知函数f(x)＝2sin－1(ω>0)的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)

A．3  B.

C.  D.

解析：选A　将f(x)的图象向右平移个单位后所得到的图象对应的函数解析式为y＝2sin－1＝2sin－1，由题意知＝2kπ，k∈Z，所以ω＝3k，k∈Z，因为ω>0，所以ω的最小值为3，故选A.

5．(2019·衡水中学月考)将函数f(x)＝sin 2x图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象．若g(x)在区间[0，a]上单调递增，则a的最大值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)＝sin2＝－cos 2x的图象．根据余弦函数的图象可知，当0≤2x≤π，即0≤x≤时，g(x)单调递增，故a的最大值为.

6．(2019·郴州一中月考)已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)的图象经过点和，当x∈时，方程f(x)＝2a－有两个不等的实根，则实数a的取值范围是(　　)

A．[，2]  B.

C．[1,2]  D.

解析：选D　∵点在函数图象上，∴Asin2×＋φ＝0.∵0<φ<π，∴φ＝.又点在函数图象上，∴Asin＝，∴A＝，∴f(x)＝sin.∵x∈，∴2x＋∈，当方程f(x)＝2a－有两个不等的实根时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝2a－有两个不同的交点，由图象可知≤2a－<，∴≤a<.故选D.

7．(2018·湖北部分重点中学第一次联考)已知函数f(x)＝，若存在φ∈，使f(sin φ)＋f(cos φ)＝0，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　由题意，＋＝0有解，∴sin φ＋a＋cos φ＋a＝0，∴－2a＝sin φ＋cos φ＝sin.∵φ∈，∴φ＋∈，∴sinφ＋∈，∴sin∈(1，)，∴－2a∈(1，)，∴a∈.当－<a<－时，∵sin φ>，∴sin φ＋a≠0.又∵(sin φ＋a)＋(cos φ＋a)＝0，∴cos φ＋a≠0.故当a∈时，方程＋＝0有解．故选B.

8．(2018·广雅中学、东华中学、河南名校第一次联考)已知函数f(x)＝(1－2cos2x)sin－2sin xcos xcos－θ在上单调递增．若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为(　　)

A.  B.

C．[1，＋∞)  D.

解析：选C　∵f(x)＝(1－2cos2x)sin－2sin x·cos xcos＝－cos 2x(－cos θ)－sin 2xsin θ＝cos(2x＋θ)，当x∈时，－＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，∴由函数递增知解得－≤θ≤.∵f＝cos，0≤＋θ≤，∴f≤1.∵f≤m恒成立，∴m≥1.故选C.

9．(2018·江西师大附属中学月考)已知函数f(x)＝sin，其中ω>0.若|f(x)|≤f对x∈R恒成立，则ω的最小值为________．

解析：由题意得ω＋＝2kπ＋(k∈Z)，即ω＝24k＋4(k∈Z)，由ω>0知，当k＝0时，ω取到最小值4.

答案：4

10．(2018·新余一中模拟)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为________．

解析：由0≤x≤1得≤ωx＋≤ω＋，若函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，根据正弦函数图象可知，应满足4π＋≤ω＋<6π＋，解得≤ω<.

答案：

11．(2018·山东、湖北部分重点中学联考)已知函数f(x)＝cos2＋sincos－(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值．

(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．求函数g(x)在[－π，π]上的单调递减区间和零点．

解：(1)f(x)＝cos2＋sincosωx－－＝cos＋sin2ωx－＝sin，由T＝＝π得ω＝1.

(2)∵f(x)＝sin，∴g(x)＝sin，

g(x)在[－π，π]上的单调递减区间为－π，－，，零点为x0＝kπ－(k∈Z)．

又∵x0∈[－π，π]，∴g(x)在[－π，π]上的零点是－，.

12．(2018·阳江调研)已知a，b∈R，a≠0，函数f(x)＝－(sin x＋cos x)＋b，g(x)＝asin xcos x＋＋＋2.

(1)若x∈(0，π)，f(x)＝－＋b，求sin x－cos x的值；

(2)若不等式f(x)≤g(x)对任意的x∈R恒成立，求b的取值范围．

解：(1)依题意得sin x＋cos x＝，∴sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＝，即2sin xcos x＝－，∴1－2sin xcos x＝，即sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝(sin x－cos x)2＝，由2sin xcos x＝－<0，x∈(0，π)，得x∈，∴sin x>0，cos x<0，∴sin x－cos x>0，∴sin x－cos x＝.

(2)不等式f(x)≤g(x)对任意的x∈R恒成立，即不等式b≤asin x·cos x＋(sin x＋cos x)＋＋＋2对任意的x∈R恒成立，

即b≤min.

设y＝asin xcos x＋(sin x＋cos x)＋＋＋2，

令t＝sin x＋cos x，则t＝sin∈[－，]，

且sin xcos x＝.

令m(t)＝＋t＋＋＋2＝t2＋t＋＋2＝＋＋2＝2＋2.

1°当－<－，即0<a<1时，m(t)在区间[－，]上单调递增，∴m(t)min＝m(－)＝a＋.

2°当－≤－<0，即a≥1时，m(t)min＝m＝2.

3°当0<－≤，即a≤－1时，m(t)min＝m＝a＋.

4°当－>，即－1<a<0时，m(t)min＝m(－)＝a＋.∴ymin＝

∴当a≥1时，b≤2；当a<0或0<a<1时，b≤a＋.