新高考数学一轮复习课时跟踪检测（二十）三角函数的图象与性质（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习课时跟踪检测（二十）三角函数的图象与性质（含解析），共9页。试卷主要包含了基础练——练手感熟练度，综合练——练思维敏锐度等内容，欢迎下载使用。
课时跟踪检测（二十）  三角函数的图象与性质一、基础练——练手感熟练度1．下列函数中，周期为2π的奇函数为(　　)A．y＝sincos　　　　 B．y＝sin2xC．y＝tan 2x  D．y＝sin 2x＋cos 2x解析：选A　y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A.2．(多选)关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　)A．是奇函数B．在区间上单调递减C.为其图象的一个对称中心D．最小正周期为解析：选CD　函数y＝tan是非奇非偶函数，A错；函数y＝tan在区间上单调递增，B错；最小正周期为，D对；由2x－＝(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．当k＝0时，x＝，所以它的图象关于对称，C对．故选C、D.3．函数y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　　)A.　　　　　　 B．[0，π]C.  D．解析：选D　将y＝cos x位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.4．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)A．3，－1  B．3，－2C．2，－1  D．2，－2解析：选D　y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x＝－sin2x－2sin x＋1，令t＝sin x，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2.5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为(　　)A．－   B.C.   D.解析：选D　∵f(x)的最小正周期是π，∴f＝f＝f，∵函数f(x)是偶函数，∴f＝f＝f＝sin ＝.故选D.二、综合练——练思维敏锐度1．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是(　　)A．y＝sin 2x　　　　　　　 B．y＝2|cos x|C．y＝cos   D．y＝tan(－x)解析：选D　A选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故排除A；B选项，函数在上单调递增，故排除B；C选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.2．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为(　　)A.   B.C.   D.解析：选A　由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，取k＝0，得|φ|的最小值为.3．同时满足f(x＋π)＝f(x)与f＝f的函数f(x)的解析式可以是(　　)A．f(x)＝cos 2x  B．f(x)＝tan xC．f(x)＝sin x  D．f(x)＝sin 2x解析：选D　由题意知所求函数的周期为π，且图象关于直线x＝对称．A．f(x)＝cos 2x的周期为π，f＝0不是函数的最值，∴其图象不关于直线x＝对称．B．f(x)＝tan x的周期为π，但图象不关于直线x＝对称．C．f(x)＝sin x的周期为2π，不合题意．D．f(x)＝sin 2x的周期为π，且f＝1为函数最大值，∴D满足条件．故选D.4．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为(　　)A．－  B．－C.   D.解析：选D　由题意得f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.因为函数f(x)为奇函数，所以θ＋＝kπ(k∈Z)，故θ＝－＋kπ(k∈Z)．当θ＝－时，f(x)＝2sin 2x，在上为增函数，不合题意；当θ＝时，f(x)＝－2sin 2x，在上为减函数，符合题意，故选D.5．(2021·惠州模拟)已知函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是(　　)A．1  B．C．2  D．π解析：选B　因为函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，所以ω＝3k－1(k∈Z)，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即＝＝.6．(多选)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f(x)在上为单调函数，则下述四个结论中正确的是(　　)A．满足条件的ω取值有2个B.为函数f(x)的一个对称中心C．f(x)在上单调递增D．f(x)在(0，π)上有一个极大值点和一个极小值点解析：选ABC　因为函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象关于直线x＝对称，所以ω＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝>0(k∈Z)，又f(x)在上为单调函数，所以≤，即ω≤2，所以ω＝或ω＝2，即f(x)＝sinx或f(x)＝sin 2x，所以总有f＝0，故A、B正确；由f(x)＝sinx或f(x)＝sin 2x图象知，f(x)在上单调递增，故C正确；当x∈(0，π)时，f(x)＝sinx只有一个极大值点，不符合题意，故D不正确．故选A、B、C.7．函数y＝sin x＋cos x＋3cos xsin x的最大值是________，最小值是________．解析：令t＝sin x＋cos x，则t∈[－，]．∵(sin x＋cos x)2－2sin xcos x＝1，∴sin xcos x＝，∴y＝t2＋t－，t∈[－， ]，∵对称轴t＝－∈[－， ]，∴ymin＝f＝×－－＝－，ymax＝f()＝＋.故函数的最大值与最小值分别为＋，－.答案：＋　－8．(2021年1月新高考八省联考卷)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________.解析：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sin x，∴此题可考虑在此基础上调整周期使其满足题意．由此可知f(x)＝sin ωx且T＝⇒f(x)＝sin πx.答案：sin πx9．(2020·全国卷Ⅲ)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：①f(x)的图象关于y轴对称．②f(x)的图象关于原点对称．③f(x)的图象关于直线x＝对称．④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是________．解析：由题意知f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称．又f(－x)＝     sin(－x)＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题．因为f＝sin＋＝cos x＋，f＝sin＋＝cos x＋，所以f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，③为真命题．当sin x<0时，f(x)<0，所以④为假命题．综上，所有真命题的序号是②③.答案：②③10．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)在上单调递增，若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：f(x)＝cos(2x＋θ)，当x∈时，－π＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，由函数f(x)在上是增函数，得(k∈Z)，则2kπ－≤θ≤2kπ＋(k∈Z)．又0≤θ≤，∴0≤θ≤.∵f＝cos，又≤θ＋≤π，∴fmax＝0，∴m≥0.答案：[0，＋∞)11．若函数y＝sin ωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：因为函数y＝sin ωx在区间上单调递减，所以ω＜0且函数y＝sin(－ωx)在区间上单调递增，则即解得－4≤ω＜0.答案：[－4,0)12．已知函数f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x，给出下列四个命题：①函数f(x)的图象关于直线x＝对称；②函数f(x)在区间上单调递增；③函数f(x)的最小正周期为π；④函数f(x)的值域为[－2,2]．其中是真命题的序号是________．解析：对于函数f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x，由于f＝－2，f＝0，所以f≠f，故f(x)的图象不关于直线x＝对称，故排除①.在区间上，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin 2x，2x∈，此时函数f(x)单调递增，故②正确．函数f＝，f＝0.所以f≠f，故函数f(x)的最小正周期不是π，故③错误．当cos x≥0时，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin xcos x＋sin 2x＝2sin 2x，故它的最大值为2，最小值为－2；当cos x<0时，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝－2sin xcos x＋sin 2x＝0.综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为－2，故④正确．答案：②④13．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．解：因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝＝π，即ω＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ)．(1)当f(x)为偶函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)，因为0<φ<，所以φ＝.(2)当f(x)的图象过点时，sin＝，即sin＝.又因为0<φ<，所以<＋φ<π.所以＋φ＝，即φ＝.所以f(x)＝sin.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．14．在①函数f(x)的图象关于点对称；②函数f(x)在上的最小值为；③函数f(x)的图象关于直线x＝对称．在这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，再解答这个问题．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋b，若满足条件________与________．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设g(x)＝f，求g(x)的单调区间．解：(1)选①②.∵为f(x)的对称中心，∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝.∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴－≤sin≤1.∴f(x)min＝－＋b＝，∴b＝1，∴f(x)＝sin＋1.选②③.∵x＝为f(x)的一条对称轴，∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝.∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴－≤sin≤1.∴f(x)min＝－＋b＝，∴b＝1，∴f(x)＝sin＋1.(2)由(1)知f(x)＝sin＋1，则g(x)＝f＝sin＋1＝－sin＋1，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴g(x)的单调递减区间为，k∈Z.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z.