新高考数学一轮复习课时跟踪检测（二十一）函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用 （含解析）

课时跟踪检测（二十一）  函数y=A sin （ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用

一、基础练——练手感熟练度

1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)

A．2，，　　　　　　 B．2，，

C．2，，  D．2，，－

解析：选A　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.

2．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)

A．在上单调递增  B．在上单调递减

C．在上单调递增  D．在上单调递减

解析：选A　把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin＝sin 2x的图象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函数g(x)＝sin 2x的一个单调递增区间为.

3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)

A．－  B．

C．1  D．

解析：选D　由题意可知该函数的周期为，

∴＝，即ω＝2，∴f(x)＝tan 2x.

∴f＝tan ＝.

4.(2021·扬州检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)

A．－  B．

C．－  D．

解析：选B　由题图，得＝－＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝.

5．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为_______℃.

解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，所以y＝23＋5cos，当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.

答案：20.5

6．若将函数y＝sin 2x的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为________．

解析：平移后解析式为y＝sin(2x－2φ)，∵图象关于x＝对称，∴2·－2φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝－π－(k∈Z)，又∵φ>0，∴当k＝－1时，φ的值最小，为.

答案：

二、综合练——练思维敏锐度

1．(多选)要得到y＝sin的图象，可以将函数y＝sin x的图象上所有的点(　　)

A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍

B．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍

C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度

D．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度

解析：选AD　将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin的图象，故A正确；将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin的图象，故B错误；将函数y＝sin x的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin 2x的图象，再把所得各点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin的图象，故C错误；将函数y＝sin x的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin 2x的图象，再把所得各点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin的图象，故D正确．故选A、D.

2．在平面直角坐标系xOy中，将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象经过原点，则φ的最小值为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象对应的解析式为y＝sin[3(x＋φ)＋]，因为其图象经过原点，所以sin(3φ＋)＝0，所以3φ＋＝kπ(k∈Z)，解得φ＝－(k∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值为－＝，故选B.

3.函数f(x)＝cos(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则函数g(x)＝的最小正周期为(　　)

A．π  B．2π

C．4π  D．

解析：选A　根据函数f(x)＝cos(ωx＋φ) 的部分图象，

可得＝π－＝，

∴T＝π＝，∴ω＝2.

点是五点作图的第二个点，则2×＋φ＝，

∴φ＝－，∴f(x)＝cos.

∴g(x)＝＝，

易知y＝g(x)与y＝cos＋的最小正周期相同，均为T＝＝π.故选A.

4．(多选)将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有的性质为(　　)

A．最大值为1，图象关于直线x＝对称

B．为奇函数，在上单调递增

C．为偶函数，在上单调递增

D．周期为π，图象关于点对称

解析：选BD　将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝sin 2x的图象，则函数g(x)的最大值为1，其图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称，故选项A不正确；函数g(x)为奇函数，当x∈时，2x∈，故函数g(x)在上单调递增，故选项B正确，选项C不正确；函数g(x)的周期为π，其图象关于点(k∈Z)对称，故选项D正确．故选B、D.

5．(2021·大同一中质检)将函数f(x)＝tan(0<ω<10)的图象向右平移个单位长度之后与函数f(x)的图象重合，则ω＝(　　)

A．9  B．6

C．4  D．8

解析：选B　函数f(x)＝tan的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f(x)＝tan＝tan，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－6k(k∈Z)．又0<ω<10，∴ω＝6.故选B.

6．(多选)将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，若函数g(x)在区间上是单调增函数，则实数ω可能的取值为(　　)

A.  B．1

C.  D．2

解析：选ABC　由题意知g(x)＝sin ，

g(x)的一个增区间为，

要使g(x)在上单调递增，

只需，

解得0<ω≤，故选A、B、C.

7.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈)的部分图象如图所示，其中f(0)＝1，|MN|＝，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是(　　)

A．g(x)＝2cos x  B．g(x)＝2sin

C．g(x)＝2sin  D．g(x)＝－2cos x

解析：选A　设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|＝，得＝，则T＝6，ω＝.又由f(0)＝1，φ∈得sin φ＝，φ＝.所以f(x)＝2sin(x＋).则g(x)＝2sin＝2cos x.故选A.

8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时，x的集合为______________________．

解析：根据所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x)＝sin，∴f＝sin，当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．

答案：

9．将函数f(x)＝2sin x图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)＝________；若函数g(x)在区间，上单调递增，则实数a的取值范围是________．

解析：将函数f(x)＝2sin x图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝2sin 2x的图象；再向左平移个单位长度得到g(x)＝2sin的图象．

若函数g(x)在区间，上单调递增，

则

解得≤a≤，

所以实数a的取值范围是.

答案：2sin　

10．已知函数f(x)＝cos ωx＋sin(ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是________．

解析：f(x)＝cos ωx＋sin＝cos ωx＋sin ωx＝sin，由x∈[0，π]，ω>0，得ωx＋∈.因为f(x)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，所以2π≤ωπ＋<，解得≤ω<，所以ω的取值范围是.

答案：

11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.

(1)求函数的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

解：(1)依题意得A＝5，周期T＝4＝π，

∴ω＝＝2.

故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点P，

∴5sin＝0，

由已知可得＋φ＝kπ(k∈Z)，

∵|φ|<，∴φ＝－，

∴y＝5sin.

(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，

得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

12.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；

(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．

解：(1)由图可得A＝2，＝－＝，

所以T＝π，所以ω＝2.

当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，

因为|φ|<，所以φ＝.

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.

令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，

所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．

(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，

则g(x)＝2sin＋2cos

＝2sin＋2[1－2sin2]，

令t＝sin，t∈[－1,1]，

记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋，

因为t∈[－1,1]，所以h(t)∈，

即g(x)∈，故a∈.

故a的取值范围为.

三、自选练——练高考区分度

1．(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)在上单调递增

B．函数f(x)的图象关于点成中心对称

C．函数f(x)的图象向右平移个单位长度后关于直线x＝成轴对称

D．若圆的半径为，则函数f(x)的解析式为f(x)＝sin

解析：选BD　由题图可知，C为函数f(x)图象的对称中心，且点C的横坐标为，所以f(x)的最小正周期T＝π，即＝π，所以ω＝2，由f＝0及0＜φ＜π，解得φ＝，所以f(x)＝Asin.

当x∈时，2x＋∈，显然f(x)不单调，所以A选项错误；f＝Asin(－π)＝0，所以函数f(x)的图象关于点成中心对称，所以B选项正确；将直线x＝向左平移个单位长度后得到直线x＝，sin＝sin＝－，所以C选项错误；若圆的半径为，则A＝，解得A＝π，故D选项正确．故选B、D.

2．(多选)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，F(x)＝f(x)＋f′(x)为奇函数，则下述说法中正确的是(　　)

A．tan φ＝

B．若f(x)在[－a，a]上存在零点，则a的最小值为

C．F(x)在上单调递增

D．f(x)在上有且仅有一个极大值点

解析：选BC　因为f(x)＝cos(2x＋φ)，所以f′(x)＝－2sin(2x＋φ)，所以F(x)＝f(x)＋ f′(x)＝cos(2x＋φ)－sin(2x＋φ)＝2cos，又F(x)为奇函数，所以F(0)＝0，即cos＝0，令φ＋＝kπ＋，k∈Z，得φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ＝.对于A，tan φ＝tan＝，故A错误；对于B，由f(x)＝cos＝0，得x＝＋，k∈Z，若f(x)在[－a，a]上存在零点，则a＞0且a的最小值为，故B正确；对于C，F(x)＝2cos＝－2sin 2x，当x∈时，2x∈，则F(x)在上单调递增，故C正确；对于D，由f′(x)＝－2sin＝0，x∈，可得x＝，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，故D错误，所以选B、C.

3．(多选)(2021·湖南六校联考)筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有    1 000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的筒车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒，经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是(　　)

A．φ＝－

B．当t∈[0,60]时，函数y＝f(t)单调递增

C．当t∈[0,60]时，|f(t)|的最大值为3

D．当t＝100时，|PA|＝6

解析：选AD　由题意可知y＝f(t)的最小正周期T＝120，所以＝120，即ω＝.如图，由题意原问题可转化为P从A出发，沿圆周按逆时针方向匀速运动，A(3，－3)，∠AOx∈，所以tan∠AOx＝＝，所以∠AOx＝，且R＝6，连接OP，则∠xOP＝ωt－＝t－.根据三角函数的定义可得＝sin∠xOP＝sin，即y＝Rsin＝6sin，所以φ＝－，故选项A正确；当0≤t≤60时，－≤t－≤，所以函数y＝f(t)＝6sin在t∈[0,60]时不单调递增，故选项B错误；当0≤t≤60时，－≤t－≤，所以当t－＝，即t＝50时，函数y＝f(t)＝6sin取得最大值6，所以|f(t)|的最大值为6，故选项C错误；当t＝100时，y＝6sin＝6sin＝－3，此时x＝6cos＝－3，即P(－3，－3)，所以|PA|＝6，故选项D正确．综上可知，选A、D.