新高考数学一轮复习讲练教案4.6 三角函数图象与性质的综合问题（含解析）

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第六节　三角函数图象与性质的综合问题
三角函数的图象与性质是每年高考命题的热点，除考查基本问题外，还常涉及求参数范围问题，多为压轴小题；在综合问题中，常考查三角函数图象的变换和性质、三角恒等变换、零点、不等式等的交汇创新问题．
题型一　三角函数图象与性质中的参数范围问题

策
略
一
针对选择题特事特办，选择题中关于三角函数的图象和性质的问题是多年来高考的热点，三角函数试题常涉及函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象的单调性、对称性、周期性等问题．一般来说：
(1)
若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两条对称轴x＝a，x＝b，则有|a－b|＝＋(k∈Z)
(2)
若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两个对称中心M(a,0)，N(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈Z)
(3)
若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有一条对称轴x＝a，一个对称中心M(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈Z)
策
略
二
研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决
　　[典例]　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11　　　　　　　　　 B．9
C．7 D．5
[解题观摩]
法一：排除法
由f＝0得，－ω＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝kπ＋ω.
当ω＝5时，k只能取－1，φ＝，f(x)＝sin，则f＝－1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，5x＋∈，这个区间不含π(n∈Z)中的任何一个，函数f(x)在上单调，符合题意．
当ω＝7时，k只能取－2，φ＝－，f(x)＝sin，则f＝－1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，7x－∈，这个区间含有，则函数f(x)在上不可能单调，不符合题意．
当ω＝9时，k只能取－2，φ＝，f(x)＝sin，则f＝1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，9x＋∈，这个区间不含π(n∈Z)中的任何一个，函数f(x)在上单调，符合题意．
当ω＝11时，k只能取－3，φ＝－，f(x)＝sin，则f＝1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，11x－∈，这个区间含有，则函数f(x)在上不可能单调，不符合题意．
综上，ω的最大值为9.故选B.
法二：特殊值法
从T＝，ω＝2k＋1(k∈N)来思考，ω需要最大值，只有从选项中的最大数开始，即从前往后一一验证：当ω＝11时，T＝，从单调区间的一个端点x＝往前推算，靠近的单调区间为，，容易看出<<，不合题意；当ω＝9时，T＝，从单调区间的一个端点x＝往前推算，靠近的单调区间为，，容易看出⊆，符合题意．故选B.
法三：综合法
由题意得且|φ|≤，则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝ －.对比选项，将选项值分别代入验证：若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝sin，
f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；若ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin，满足f(x)在区间上单调递减．
[答案]　B
[归纳总结]
(1)本题条件较多，事实上从题型特征的角度来看，若选择题的已知条件越多，那么意味着可用来排除选项的依据就越多，所谓正面求解也是在不断缩小的范围内与条件进行对比验证．
(2)上述法一和法二的本质是一样的，都是针对选择题的做法，逐一验证，目标明确，不同的是验证的角度．法二直接利用y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的单调区间的特征，每个区间长度为，从靠近区间的特殊极值点开始把可能出现的单调区间找出来比较，只要“所求区间包含在单调区间内”即可．　　
[针对训练]
1．若函数f(x)＝2sin在区间和上都是单调递增函数，则实数x0的取值范围为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，在原点附近的递增区间为[－，]，，因此解得≤x0≤.
2．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称，若对于任意的x∈，都有m2－3m≤f(x)，则实数m的取值范围为(　　)
A.　　　　　　　　 B．[1,2]
C. D．
解析：选B　∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，∴Asin φ－＝1，即Asin φ＝.∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象关于直线x＝对称， ∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，又0<φ<，∴φ＝，∴A·sin ＝，∴A＝，∴f(x)＝ sin－.对于任意的x∈，都有m2－3m≤f(x)，∴m2－3m≤f(x)min.∵x∈，∴2x＋∈，sin∈，sin2x＋∈，f(x)∈，∴m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.
题型二　三角函数图象与性质的综合问题
[典例]　已知函数f(x)＝sin(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间．
[解]　(1)由函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期T＝2×＝，解得ω＝1，故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)＝sin[2(x＋m)＋]＝ sin的图象，根据g(x)的图象恰好经过点，
可得sin＝0，即sin＝0，
所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，
因为m>0，所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.此时，g(x)＝sin.
因为x∈，所以2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增；
当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增．
综上，g(x)在区间上的单调递增区间是和.
[归纳总结]
解决三角函数综合问题的一般步骤
第一步：将f(x)化为asin ωx＋bcos ωx的形式．
第二步：构造f(x)＝(·sin ωx＋·cos ωx).
第三步：和角公式逆用，得f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中φ为辅助角)．
第四步：利用f(x)＝sin(ωx＋φ)研究三角函数的图象与性质．
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．　　
[针对训练]
已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f 2(x)在区间上的值域．
解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，
∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，
∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1.
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，
∴－2≤2sin－1≤1，
故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．



一、综合练——练思维敏锐度
1．已知函数y＝sin在[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为(　　)
A．6　　　　　　　　　　 B．7
C．8 D．9
解析：选B　函数y＝sin的周期T＝6，当x＝0时，y＝，当x＝1时，y＝1，所以函数y＝sin在[0，t]上至少取得2次最大值，有t－1≥T，即t≥7，所以正整数t的最小值为7.故选B.
2．已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f＝(　　)
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选B　因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝，所以f(x)＝－4sin ωx，又A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是1，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sin πx，所以f＝－4sin ＝－2.故选B.
3．(2021·武昌调研)已知函数f(x)＝2sin－1(ω>0)的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)
A．3 B．
C. D．
解析：选A　将f(x)的图象向右平移个单位后所得到的图象对应的函数解析式为y＝2sin－1＝2sin－1，由题意知＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝3k(k∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为3.故选A.
4．若函数f(x)＝sin x＋cos x在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，则函数g(x)＝cos x－sin x在区间[a，b]上(　　)
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值2 D．可以取得最小值－2
解析：选D　f(x)＝2sin，g(x)＝2cos＝2sin，
则g(x)的图象是由f(x)的图象向左平移个单位得到的．
f(x)在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，
令x＋＝t，则可取t∈，
将y＝2sin t的图象向左平移个单位，即个周期，
可得g(t)＝2sin的图象．
g(t)在t∈时的最小值为－2，
即g(t)可以取得最小值－2.故选D.
5．直线y＝a与函数f(x)＝tan(ω>0)的图象的相邻两个交点的距离为2π，若f(x)在(－m，m)(m>0)上是增函数，则m的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　∵直线y＝a与函数f(x)的图象的相邻两个交点的距离是一个周期，
∴ω＝，∴f(x)＝tan.
由kπ－ 得2kπ－π ∴f(x)在上是增函数．
∴(－m，m)⊆.
解得0＜m≤.故选B.
6．已知函数f(x)＝asin x－cos x的一条对称轴为x＝－，且f(x1)·f(x2)＝－4，则|x1＋x2|的最小值为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　f(x)＝asin x－cos x＝sin(x＋φ)，
由于函数的对称轴为x＝－，
所以f＝－－为最大值或最小值，
即＝，解得a＝1.
所以f(x)＝2sin.
由于f(x1)·f(x2)＝－4，
所以函数必须在x1，x2处分别取得最大值和最小值，
所以不妨设x1＝2k1π＋，
x2＝2k2π－，k1∈Z，k2∈Z，
则|x1＋x2|＝2(k1＋k2)π＋，k1∈Z，k2∈Z，
所以|x1＋x2|的最小值为.
7．如果圆x2＋(y－1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2－cos(x＋) (m>0)的一个最大值点和一个最小值点，那么m的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．
C. D．
解析：选D　化简f(x)＝2sin2－cos(x＋)得f(x)＝2sin＋1，所以，函数f(x)靠近圆心(0,1)的最大值点为，最小值点为，
所以只需
解得m≥.故选D.
8．设函数f(x)＝sin(2x＋)，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x1 A. B．
C. D．
解析：选B　画出函数f(x)在x∈上的大致图象，如图所示，由图知，当≤a<1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，
由2x＋＝得x＝.
结合题意得x1＋x2＝，π≤x3<，
则≤x1＋x2＋x3<，即x1＋x2＋x3的取值范围是.故选B.
9．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)的图象经过点和，当x∈时，方程f(x)＝2a－有两个不等的实根，则实数a的取值范围是________．
解析：∵点在函数图象上，∴Asin [2×＋φ]＝0.∵0<φ<π，∴φ＝.又点在函数图象上，∴Asin＝，∴A＝，∴f(x)＝sin(2x＋).∵x∈，∴2x＋∈，当方程f(x)＝2a－有两个不等的实根时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝2a－有两个不同的交点，由图象可知≤2a－<，∴≤a<.
答案：
10．已知定义在R上的函数f(x)，恒有f＝f，当x∈[0，π)时，f(x)＝ sin x．若∀x∈(－∞，a]，恒有f(x)<4，则a的取值集合为________．
解析：由f＝f得f(x)＝f(x＋π)，
则函数f(x)＝
易知当x∈(－∞，0)时f(x)≤.
由x∈[0，π)上的图象可先作出[0,4π)上的图象，如图．

当3π≤x＜4π时，
由f(x)＝4得
8sin(x－3π)＝4，
∴sin(x－3π)＝，
解得x1＝π，x2＝π.
要使∀x∈(－∞，a]，恒有f(x)＜4，
则根据图象知a的取值范围为.
答案：
11．已知函数f(x)＝a(2cos2＋sin x)＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
解：已知函数f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b
＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋] (k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.
①当a>0时，得∴a＝3－3，b＝5；
②当a<0时，得∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
12．已知函数f(x)＝1＋cos 2x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)若方程f(x)－m＝0在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝1＋cos 2x－2sin2
＝cos 2x＋cos＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，
∴最小正周期T＝＝π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由题意知，函数y＝f(x)在区间上的图象与直线y＝m有两个不同的交点．
由(1)知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x)min＝f＝－2，又f＝1，f(π)＝，
∴当－2＜m≤1时，函数y＝f(x)在区间上的图象与直线y＝m有两个不同的交点，
即方程f(x)－m＝0在区间上有两个不同的实数解．
∴实数m的取值范围为(－2,1]．

二、自选练——练高考区分度
1.如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 图象的一部分，对任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝1，则φ的值为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　由题图可得A＝2，x1，x2关于函数f(x)图象的对称轴对称，即直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，且f＝2，可得2sinω＋φ＝2，可得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，①
∵f(x1＋x2)＝1，∴2sin[ω(x1＋x2)＋φ]＝1，
可得ω(x1＋x2)＋φ＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)，②
令k＝0，由①②得φ＝或，
∵|φ|<，∴φ＝.
2．已知函数f(x)＝(1－2cos2x)sin－2sin xcos x·cos在上单调递增．若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝(1－2cos2x)sin－2sin xcos x·cos＝－cos 2x(－cos θ)－ sin 2xsin θ＝cos(2x＋θ)，当x∈时，－＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，∴由函数递增知解得－≤θ≤.∵f＝cos，0≤＋θ≤，
∴f≤1.∵f≤m恒成立，∴m≥1.
答案：[1，＋∞)
3．已知函数f(x)＝sin－cos ωx (ω＞0)．若函数f(x)的图象关于直线x＝2π对称，且在区间上是单调函数，则ω的取值集合为________．
解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝sin，
因为f(x)的图象关于直线x＝2π对称，
所以f(2π)＝±1，
则2πω－＝kπ＋(k∈Z)，
所以ω＝＋(k∈Z)．
因为函数f(x)在区间上是单调函数，
所以最小正周期T≥2，
即≥π，解得0＜ω≤2，
所以ω＝或ω＝或ω＝或ω＝.
当ω＝时，f(x)＝sin，
x∈时，x－∈，
此时f(x)在区间上为增函数；
当ω＝时，f(x)＝sin，
x∈时，x－∈，
此时f(x)在区间上为增函数；
当ω＝时，f(x)＝sin，
x∈时，x－∈，
此时f(x)在区间上为增函数；
当ω＝时，f(x)＝sin，
x∈时，x－∈，
此时f(x)在区间上不是单调函数．
综上，ω∈.
答案：
4．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx(ω>0)，周期是.
(1)求f(x)的解析式以及x∈时f(x)的值域；
(2)将f(x)图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数g(x)的图象，若|g(x)－m|<2成立的充分条件是≤x≤ π，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx
＝sin 2ωx－(1＋cos 2ωx)
＝sin－.
由T＝＝，解得ω＝2.
∴函数f(x)＝sin－.
∵0≤x≤，∴－≤4x－≤π，
结合函数y＝sin－的图象及性质得，
－≤sin≤1，∴－1≤sin－≤，
即函数f(x)在上的值域是.
(2)依题意g(x)＝sin＋1.
∵|g(x)－m|<2，∴g(x)－2 ∵当x∈时，g(x)－2 ∴只需[g(x)－2]max 转化为求g(x)的最大值与最小值．
当x∈时，2x＋∈，
∴g(x)max＝1＋1＝2，g(x)min＝－1＋1＝0，
从而[g(x)－2]max＝0，[g(x)＋2]min＝2，
∴0