辽宁省大连市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份辽宁省大连市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共42页。试卷主要包含了的图象如图所示，，其中50≤x≤80，，与y轴相交于点C，连接AC，已知函数y＝，记该函数图象为G等内容，欢迎下载使用。

辽宁省大连市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2022•大连）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
二．动点问题的函数图象（共1小题）
2．（2023•大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线y＝x相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D．设点P的横坐标为t．△DPA与△COA重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同）．
（1）点A的坐标是 　 　，△COA的面积是 　 　．
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2023•大连）某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了80m时，男子组恰好跑了50m．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为4.5m/s．男、女两组队员跑步的路程y（单位：m）与匀速跑的时间x（单位：s）的图象如图所示．
（1）此次跑步训练的全程是 　 　m．
（2）求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程．

四．二次函数的应用（共1小题）
4．（2021•大连）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中50≤x≤80．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？

五．二次函数综合题（共3小题）
5．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝x2与抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为﹣2和1．过点A作AC∥x轴，与抛物线C1相交于点C，分别以AC，AC的长为边长向AC上方作矩形ACDE．
（1）求抛物线C2的解析式．
（2）将矩形ACDE先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′在抛物线C1上．
①求n关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；
②直线A′E′与C1相交于点P，与C2相交于点Q，当E′是PQ的中点时，求m的值；
③抛物线C2与边E′D′，A′C′分别相交于点M，N，点M，N在抛物线C2对称轴的同侧，当MN＝时，求点C′的坐标．

6．（2022•大连）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S＝S1+S2，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2021•大连）已知函数y＝，记该函数图象为G．
（1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．
六．勾股定理（共2小题）
8．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．
（1）求AC的长；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．


9．（2021•大连）如图，矩形ABCD中，BC＝4cm，CD＝3cm，P，Q两动点同时从点B出发，点P沿BC→CD以1cm/s的速度向终点D匀速运动，点Q沿BA→AC以2cm/s的速度向终点C匀速运动．
设点P的运动时间为t（s），△BPQ 的面积为S （cm2）．
（1）求AC的长；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

七．三角形综合题（共2小题）
10．（2021•大连）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．
（1）找出与∠DBF相等的角并证明；
（2）求证：∠BFD＝∠AFB；
（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求（用含k的代数式表示）．

11．（2022•大连）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC＝∠ACB．求证∠ACD＝∠ABC．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，延长CA至点E，使CE＝BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC＝90°时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的长．”


八．切线的性质（共1小题）
12．（2023•大连）如图1，点A，B，C在O上，AC是⊙O的直径，AD平分∠BAC，与⊙O相交于点D．连接OD，与BC相交于点E．
（1）求∠OEC的度数．
（2）如图2，过点A作⊙O的切线，与CB的延长线相交于点F，过点D作DG∥FA，与AC相交于点G．若AD＝2，DE＝4，求DG的长．

九．几何变换综合题（共1小题）
13．（2023•大连）综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．
如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．
如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．
……
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD．
（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．
（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的面角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．
一十．解直角三角形（共1小题）
14．（2022•大连）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．

一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
15．（2023•大连）图1是小明家在利用车载云梯搬运装修垃圾，将其抽象成如图2所示的示意图．已知AB⊥BE，CE⊥BE，垂足分别为B，E，CD∥EB，测得∠ACD＝70°，CE＝1.25m，AC＝10.4m．求云梯顶端A到地面的距离AB的长．（结果取整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
16．（2022•大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 　 　米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

一十三．折线统计图（共1小题）
17．（2023•大连）某射击队进行射击训练，甲、乙、丙三名射击运动员分别射击10次，射击队记录他们的成绩（单位：环），并对数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
Ⅰ．甲运动员的射击成绩是：7 9 8 7 8 9 9 9 8 10；
Ⅱ．乙运动员的射击成绩是：
成绩/环
6
7
8
9
10
次数
1
2
2
2
3
Ⅲ．丙运动员射击成绩的折线统计图为：

Ⅳ．分析上述数据，得到下表：

平均数
众数
中位数
方差
甲
8.4
a
8.5
0.84
乙
b
10
c
1.84
丙
8.2
d
8
1.56
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　．
（2）射击队准备从甲、乙、丙三名运动员中选取一名参加比赛，你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？

辽宁省大连市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2022•大连）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
【答案】冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元．
【解答】解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元．
二．动点问题的函数图象（共1小题）
2．（2023•大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线y＝x相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D．设点P的横坐标为t．△DPA与△COA重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同）．
（1）点A的坐标是 　（4，0）　，△COA的面积是 　4　．
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

【答案】（1）（4，0），4；
（2）．
【解答】解：（1）过点C作CE⊥x轴于点E，设PD与OC交于点H，如图：

∵直线OC为函数y＝x的图象，
∴∠COA＝45°，
∵DP⊥x轴，
∴△OPH和△OCE均为等腰直角三角形，
∴OP＝PH＝t，OE＝CE，
∵当0≤t＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同，
∴由图2可知：m＝OE，OA＝4，当点P与点E重合时，S＝S△ACE＝2，
∴点A的坐标为（4，0），，
∵OE＝CE＝m，AE＝4﹣m
∴，
整理得：m2﹣4m+4＝0，
解得：m＝2，
∴OE＝CE＝2，
∴．
故答案为：（4，0），4．
（2）由（1）可知：OE＝CE＝m＝2，OP＝PH＝t，OA＝4，
①当0≤t＜m时，点P在线段OE上运动，S＝S△COA﹣S△OPH，
∴，
②当m≤t＜4时，点P在线段EA上运动时，点D在CA上运动，则S＝S△APD，如图：

∵OE＝CE＝m＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
将点A（4，0），点C（2，2）代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4
∴点B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∵OA＝4，OD＝t，
∴AP＝4﹣t，
又∵DP⊥x轴，
∴PD∥OB，
∴△APD∽△AOB，
∴PD：OB＝AP：OA，
即：PD：4＝（4﹣x）：4，
∴PD＝4﹣x，
∴S＝S△APD＝AD•PD＝（4﹣x）•（4﹣x）＝（x﹣4）2．
综上所述：．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2023•大连）某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了80m时，男子组恰好跑了50m．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为4.5m/s．男、女两组队员跑步的路程y（单位：m）与匀速跑的时间x（单位：s）的图象如图所示．
（1）此次跑步训练的全程是 　500　m．
（2）求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程．

【答案】（1）500；
（2）男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为315米．
【解答】解：（1）100×4.5+50＝500（米），
故答案为：500；
（2）女子组的速度为：（500﹣80）÷120＝3.5m/s，
则男子组队员跑步的路程：y＝4.5x+50，
女子组队员跑步的路程：y＝3.5x+80，
解，
解得：，
∴500﹣185＝315（米），
所以男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为315米．
四．二次函数的应用（共1小题）
4．（2021•大连）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中50≤x≤80．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）y＝﹣2x+200 （50≤x≤80）；
（2）该电商售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（50，100）、（80，40）代入，得：，
解得：
∴y＝﹣2x+200 （50≤x≤80）；

（2）设电商每天获得的利润为w元，
则w＝（x﹣40）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+280x﹣8000
＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵﹣2＜0，且对称轴是直线x＝70，
又∵50≤x≤80，
∴当x＝70时，w取得最大值为1800，
答：该电商售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．
五．二次函数综合题（共3小题）
5．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝x2与抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为﹣2和1．过点A作AC∥x轴，与抛物线C1相交于点C，分别以AC，AC的长为边长向AC上方作矩形ACDE．
（1）求抛物线C2的解析式．
（2）将矩形ACDE先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′在抛物线C1上．
①求n关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；
②直线A′E′与C1相交于点P，与C2相交于点Q，当E′是PQ的中点时，求m的值；
③抛物线C2与边E′D′，A′C′分别相交于点M，N，点M，N在抛物线C2对称轴的同侧，当MN＝时，求点C′的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+4．
（2）①n＝﹣m2+4m（0＜m＜4）；
②m＝；
③点C′的坐标为：（，）或（﹣，）．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝x2＝4，当x＝1时，y＝x2＝1，
即点A、B的坐标分别为：（﹣2，4）、（1，1），
则AC＝4，AE＝2，则点E（﹣2，6），
将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+4；

（2）①由（1）知，点C（2，4），则平移后点C′为（2﹣m，4﹣n），
将点C′的坐标代入抛物线表达式得：4﹣n＝（2﹣m）2，
即n＝﹣m2+4m，
∵AC＝4，若m＞4，点C不在抛物线上，则C′也不在抛物线上，故0＜m＜4，
∴n＝﹣m2+4m（0＜m＜4）；

②由①知，点A′的坐标为（﹣2﹣m，4﹣n）即（﹣2﹣m，m2﹣4m+4），同样点E′的坐标为：（﹣2﹣m，m2﹣4m+6），

则点P、Q的坐标分别为（﹣2﹣m，m2+4m+4），点Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+4），
则点PQ中点的坐标为：（﹣2﹣m，m+4），
当E′是PQ的中点时，则m2﹣4m+6＝m+4，
解得：m＝（由0＜m＜4，不合题意的值已舍去）；

③过点N作NG⊥D′E′，则NG＝2，
而MN＝，
则MG＝＝，
设点N（a，﹣a2﹣2a+4），则点M（a﹣，﹣a2﹣2a+6），
将点M的坐标代入抛物线C2的表达式得：﹣a2﹣2a+6＝﹣（a﹣）2﹣2（a﹣）+4，
解得：a＝，
则点N的坐标为：（，），
当y＝x2＝时，x＝，
则点C′的坐标为：（，）或（﹣，）．
6．（2022•大连）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S＝S1+S2，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）B（3，0），C（0，﹣3）；
（2）当S取最大值时，m的值为1；
（3）存在，点P的坐标为（4，5）．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）；
当x＝0时，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
（2）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴OA＝1，OB＝OC＝3．
∵点E的坐标为（m，0），OE＝OF，
∴OE＝OF＝m，BE＝CF＝3﹣m，
∴S＝S1+S2
＝•CF•OA+•BE•OF
＝×（3﹣m）×1+×（3﹣m）×m
＝﹣m2+m+
＝﹣（m﹣1）2+2．
∵﹣＜0，
∴当m＝1时，S取得最大值，
即当S取最大值时，m的值为1．
（3）存在，设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）．
在图（2）中，连接BD，过点Q作QM⊥x轴于点M，过点D作DN∥x轴，过点P作PN∥y轴交DN于点N．
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，BC＝3．
∵抛物线的顶点为D，
∴点D的坐标为（1，﹣4），
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴BD＝＝2，CD＝＝，
∵BC2+CD2＝（3）2+（）2＝20＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝45°+90°＝135°．
∵QM∥OC，
∴∠CQM＝180°﹣∠OCB＝180°﹣45°＝135°．
∵∠PQC＝∠ACD，∠PQC＝∠PQM+∠CQM，∠ACD＝∠ACO+∠OCD，
∴∠PQM＝∠ACO．
又∵QM∥PN，
∴∠DPN＝∠PQM＝∠ACO．
又∵∠AOC＝∠DNP＝90°，
∴△AOC∽△DNP，
∴＝，即＝，
解得：n1＝1（不合题意，舍去），n2＝4，
∴点P的坐标为（4，5）．

7．（2021•大连）已知函数y＝，记该函数图象为G．
（1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当m＝2时，y＝，
①∵M（4，n）在该函数图象上，
∴n＝42﹣2×4+2＝10；
②当0≤x＜2时，y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+2，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，y有最大值是2，
当x＝2时，y＝22﹣2×2+2＝2，
∵2＜2，
∴当0≤x≤2时，函数G的最大值是2；
（2）分两种情况：
①如图1，当Q在x轴上方时，由题意得：OP＝m，

∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝90°，
∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OP＝PQ，
∴m＝﹣+m+m，
解得：m1＝0，m2＝6，
∵m＞0，
∴m＝6；
②当Q在x轴下方时，同理得：m＝﹣﹣m
解得：m1＝0，m2＝14，
∵m＞0，
∴m＝14；
综上，m的值是6或14；
（3）分两种情况：
①如图2，当0≤m≤3时，过点C作CD⊥y轴于D，

当x＝0时，y＝m，
∴OB＝m，
∵CD＝m，
∴CD＝OB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD，
∵∠AOB＝∠CDB＝90°，
∴△ABO≌△BCD（ASA），
∴OA＝BD，
当x＜m时，y＝0，即﹣x2+x+m＝0，
x2﹣x﹣2m＝0，
解得：x1＝，x2＝，
∴OA＝，且﹣≤m≤3，
∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，
∴OD＝c＝﹣a，
∴BD＝m﹣OD＝m+a，
∵OA＝BD，
∴＝m+，
解得：m1＝0（此时，A，B，C三点重合，舍），m2＝；
②当m＜0时，如图3，过点C作CD⊥y轴于D，

同理得：OA＝BD，
当x≥m时，y＝0，则x2﹣mx+m＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍），
∴OA＝＝a，
∴＝c﹣m＝﹣a﹣m，
解得：m1＝0，m2＝﹣；
综上，m的值是或﹣．
六．勾股定理（共2小题）
8．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．
（1）求AC的长；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．


【答案】（1）AC＝8；
（2）当0＜x＜5时，S＝﹣x2+x；当5＜x＜8时，S＝﹣x2+x﹣．
【解答】解：（1）在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝3，
∴BD＝＝5，
又∵AD＝BD，
∴AC＝AD+CD＝5+3＝8；
（2）当点P在点D的左侧时，即0＜x＜5，如图1，此时重叠部分的面积就是△PQD的面积，
∵PQ⊥AC，BC⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△ABC∽△AQP，
∴＝＝＝2，
设AP＝x，则PQ＝x，PD＝AD﹣AP＝5﹣x，
∴S重叠部分＝S△PQD＝（5﹣x）×x
＝﹣x2+x；
当点P在点D的右侧时，即5＜x＜8，如图2，
由（1）得，AP＝x，PQ＝x，则PD＝x﹣5，
∵PQ∥BC，
∴△DPE∽△DCB，
∴＝＝，
∴PE＝（x﹣5），
∴QE＝PQ﹣PE＝x﹣（x﹣5）＝﹣x+，
∴S重叠部分＝S△DEQ
＝（x﹣5）×（﹣x+）
＝﹣x2+x﹣；
答：S关于x的函数解析式为：当0＜x＜5时，S＝﹣x2+x；当5＜x＜8时，S＝﹣x2+x﹣．

9．（2021•大连）如图，矩形ABCD中，BC＝4cm，CD＝3cm，P，Q两动点同时从点B出发，点P沿BC→CD以1cm/s的速度向终点D匀速运动，点Q沿BA→AC以2cm/s的速度向终点C匀速运动．
设点P的运动时间为t（s），△BPQ 的面积为S （cm2）．
（1）求AC的长；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

【答案】（1）5cm；（2）S＝．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝（cm），
∴AC的长为5cm；
（2）当0＜t≤1.5时，如图，

S＝；
当1.5＜t≤4时，如图，作QH⊥BC于H，

∴CQ＝8﹣2t，
∵sin∠BCA＝，
∴，
∴QH＝，
∴S＝＝﹣；
③当4＜t≤7时，

CP＝t﹣4，BQ＝BC＝4，
∴S＝S△BPQ＝＝＝2t﹣8，
综上所述：S＝．
七．三角形综合题（共2小题）
10．（2021•大连）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．
（1）找出与∠DBF相等的角并证明；
（2）求证：∠BFD＝∠AFB；
（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求（用含k的代数式表示）．

【答案】（1）∠BAE＝∠DBF，证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）k﹣1．
【解答】解：（1）如图1，∠BAE＝∠DBF，
证明：∵∠DBF+∠ABF＝∠ABD，∠ABD＝∠AEF，
∴∠DBF+∠ABF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BAE+∠ABF，
∴∠BAE+∠ABF＝∠DBF+∠ABF，
∴∠BAE＝∠DBF．
（2）证明：如图2，连接AD交BF于点G，
∵AB＝BD，AE＝EF，
∴，
∵∠ABD＝∠AEF，
∴△ABD∽△AEF，
∴∠BDG＝∠AFB，
∵∠BGD＝∠AGF，
∴△BGD∽△AGF，
∴，
∴，
∵∠AGB＝∠FGD，
∴△AGB∽△FGD，
∴∠BAD＝∠BFD，
∵∠BAD＝∠BDG＝∠AFB，
∴∠BFD＝∠AFB．
（3）如图3，在FA上取一点D′，使D′F＝DF，连接D′M，作EH∥MD′交AC于点H，
∵∠MFD＝∠MFD′，FM＝FM，
∴△D′MF≌△DMF，
∴∠EHF＝∠MD′F＝∠MDF，
∵∠EDF+∠MDF＝180°，∠EHA+∠EHF＝180°，
∴∠EDF＝∠EHA，
∵∠EFD＝∠AFB＝∠EAH，EF＝AE，
∴△EFD≌△EAH（AAS），
∴DF＝AH，
∵，D′F＝DF，
∴，
∵AF＝kDF，
∴，
∴．



11．（2022•大连）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC＝∠ACB．求证∠ACD＝∠ABC．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，延长CA至点E，使CE＝BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC＝90°时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的长．”


【答案】（1）证明见解析部分；
（2）结论：BH＝EF．证明见解析部分；
（3）．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵∠ADC＝∠ACB，
∴∠B+∠DCB＝∠DCB+∠ACD，
∴∠ACD＝∠B；

（2）解：结论：BH＝EF．
理由：如图2中，在CB上取一点T，使得GH＝CT．

在△BGH和△DCT中，
，
∴△BGH≌△DCT（SAS），
∴BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，
∵∠CDT+∠FDT＝180°，
∴∠GBH+∠FDT＝180°，
∴∠BFD+∠BTD＝180°，
∵∠CFE+∠BFD＝180°，
∴∠CFE＝∠BTD，
在△CEF和△BDT中，
，
∴△CEF≌△BDT（AAS），
∴EF＝DT，
∴EF＝BH；

（3）解：如图3，过点E作EM∥AD交CE的延长线于点M．

∵AD∥EM，
∴＝，
∴＝．
∴EM＝，
∵＝＝，
∵tan∠ACD＝tan∠ABC＝，
∴＝，
∵AC＝2，AB＝4，
∴AD＝1，BD＝CE＝3，
∴AE＝1，
∴BE＝＝＝＝，
∴EF＝BE＝．
八．切线的性质（共1小题）
12．（2023•大连）如图1，点A，B，C在O上，AC是⊙O的直径，AD平分∠BAC，与⊙O相交于点D．连接OD，与BC相交于点E．
（1）求∠OEC的度数．
（2）如图2，过点A作⊙O的切线，与CB的延长线相交于点F，过点D作DG∥FA，与AC相交于点G．若AD＝2，DE＝4，求DG的长．

【答案】（1）90°；
（2）2．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠OAD，
∵OAD＝∠ODA，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴AB∥OD，
∴∠B＝∠OEC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠B＝90°，
∴∠OEC＝90°；
（2）连接DC，如图：

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
设半径为r，则OA＝OD＝OC＝r，
OE＝r﹣4，AB＝2OE＝2r﹣8，AC＝2r，
在Rt△ADC中，DC2＝AC2﹣AD2＝CE2+DE2＝OC2﹣OE2+DE2，
∴（2r）2﹣（2）2＝r2﹣（r﹣4）2+42，
解得r＝7或﹣5（舍去），
∴AC＝14，DC＝，
∵AF是切线，
∴AF⊥AC，
∵DG∥FA，
∴DG⊥AC，
∴S△ADC＝＝，
∴＝，
解得DG＝2．
九．几何变换综合题（共1小题）
13．（2023•大连）综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．
如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．
如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．
……
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD．
（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．
（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的面角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．
【答案】问题1，
（1）证明过程详见解答；
（2）；
问题2，
．
【解答】问题1，
（1）证明：∵将△ABD沿BD翻折得到△EBD，
∴∠BED＝∠A，
∵∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠A+∠DEC＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°，
∴∠DEC＝2∠ACB；
（2）解：如图1，

作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，
∴∠AGD＝∠DFC＝90°，
由折叠得，
AD＝DE，∠ADB＝BDE，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝AD，
∴DE＝CD，
∴∠DEC＝∠DCE，CF＝EF＝CE＝
∴DF2＝CD2﹣CF2＝22﹣（）2＝，
∵∠ADB+∠BDE+∠EDC＝180°，
∴2∠ADB+∠EDC＝180°，
∵∠AEC+∠DCE+∠EDC＝180°，
∴2∠DCE+∠EDC＝180°，
∴∠ADB＝∠DCE，
∴△ADG≌△DFC（AAS），
∴AG＝DF，DG＝CF＝，
在Rt△ABG中，由勾股定理得，
BG＝＝，
∴BD＝BG+DG＝；
问题2，
解：如图2，

连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，
∵AB＝BD，
∴∠ABD＝2∠DBE，DE＝AE＝AD，
∵∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BDE＝∠BDC，
∴CD∥BE，
∴CD⊥AD，
∴∠BED＝∠EDC＝∠F＝90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE，DF＝BE，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝4，
∴AD＝＝，
∴BF＝DE＝，
在Rt△BDE中，BD＝4，DE＝，
∴DF＝BE＝＝，
∴CF＝DF﹣CD＝，
在Rt△BCF中，CF＝，BF＝，
∴BC＝＝．
一十．解直角三角形（共1小题）
14．（2022•大连）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．

【答案】（1）如解答过程．
（2）如解答过程．
【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A
∴AB⊥AE，
∴∠A＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠BDO＝∠A＝90°，
∵∠BOD＝∠AOE，
∴∠B＝∠E．
（2）如图2，连接AC，
∵OA＝2，OE＝3，
∴根据勾股定理得AE＝，
∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA，
∴△BOD∽△EOA，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝，
∴CD＝BD＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得AD＝
＝
＝．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
15．（2023•大连）图1是小明家在利用车载云梯搬运装修垃圾，将其抽象成如图2所示的示意图．已知AB⊥BE，CE⊥BE，垂足分别为B，E，CD∥EB，测得∠ACD＝70°，CE＝1.25m，AC＝10.4m．求云梯顶端A到地面的距离AB的长．（结果取整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

【答案】11米．
【解答】解：延长CD交AB于H，

∵AB⊥BE，CE⊥BE，CD∥EB，
∴四边形CHBE是矩形，
∴BH＝CE＝1.25m，
∵∠ACD＝70°，
∴AB＝BH+AH＝BH+AC•sin∠ACD≈1.25+10.4×0.94≈11（m），
即云梯顶端A到地面的距离AB的长大约11米．
一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
16．（2022•大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 　300　米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

【答案】（1）300；
（2）白塔BC的高度约为45米．
【解答】解：（1）由题意得：
5分钟＝300秒，
∴1×300＝300（米），
∴索道车从A处运行到B处的距离约为300米，
故答案为：300；
（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝150（米），
AD＝BD＝150（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD•tan37°≈150×0.75≈194.6（米），
∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣150≈45（米），
∴白塔BC的高度约为45米．
一十三．折线统计图（共1小题）
17．（2023•大连）某射击队进行射击训练，甲、乙、丙三名射击运动员分别射击10次，射击队记录他们的成绩（单位：环），并对数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
Ⅰ．甲运动员的射击成绩是：7 9 8 7 8 9 9 9 8 10；
Ⅱ．乙运动员的射击成绩是：
成绩/环
6
7
8
9
10
次数
1
2
2
2
3
Ⅲ．丙运动员射击成绩的折线统计图为：

Ⅳ．分析上述数据，得到下表：

平均数
众数
中位数
方差
甲
8.4
a
8.5
0.84
乙
b
10
c
1.84
丙
8.2
d
8
1.56
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝　9　，b＝　8.4　，c＝　8.5　，d＝　8和9　．
（2）射击队准备从甲、乙、丙三名运动员中选取一名参加比赛，你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？
【答案】（1）9，8.4，8.5，8和9；
（2）应该选择甲参赛，理由见解答．
【解答】解：（1）甲10次射击中，9环出现的次数最多，故众数a＝9，
乙的平均数b＝×（6×1+7×2+8×2+9×2+10×3）＝8.4，
把乙10次射击的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是8和9，故中位数c＝＝8.5，
丙10次射击中，8环和9环出现的次数最多，故众数d＝8和9，
故答案为：9，8.4，8.5，8和9；
（2）应该选择甲参赛，理由如下：
因为甲和乙的平均数相同，且比丙的高，所以在甲和乙中选其中一个参赛；又因为甲的方差比乙小，所以甲比乙稳定，故该选择甲参赛．