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辽宁省本溪市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
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这是一份辽宁省本溪市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共39页。试卷主要包含了，点E在抛物线上等内容，欢迎下载使用。
辽宁省本溪市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一元一次不等式的应用（共1小题）
1．（2023•辽宁）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元．
（1）求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4），点E在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；
（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．
3．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
4．（2021•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
三．四边形综合题（共1小题）
5．（2021•辽宁）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．
（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．
四．切线的判定与性质（共2小题）
6．（2023•辽宁）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若BF＝1，sin∠AFE＝，求BC的长．
7．（2021•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．
五．几何变换综合题（共2小题）
8．（2022•辽宁）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．
（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是 ；
（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE＝AE；
（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．
9．（2023•辽宁）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．
（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；
（2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD＝BC；
（3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF：BC＝1：3时，请直接写出的值．
六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
10．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
七．列表法与树状图法（共2小题）
11．（2023•辽宁）6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A（优秀）；B（良好）；C（中）；D（合格）．并将统计结果绘制成如图两幅统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生共有 名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
12．（2021•辽宁）为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举革命先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生共有 名；
（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为 ，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
辽宁省本溪市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一元一次不等式的应用（共1小题）
1．（2023•辽宁）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元．
（1）求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
【答案】（1）购买每盒A种礼品盒要100元，每盒B种礼品盒要120元；
（2）最少需要购买15个A种礼品盒．
【解答】解：（1）设购买每盒A种礼品盒要x元，每盒B种礼品盒要y元，由题意得，
，
解得：，
答：购买每盒A种礼品盒要100元，每盒B种礼品盒要120元；
（2）设需要购买m个A种礼品盒，则购买（40﹣m）个B种礼品盒，由题意得，
100m+120（40﹣m）≤4500，
解得：m≥15，
答：最少需要购买15个A种礼品盒．
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4），点E在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；
（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）见解答．
（2）EH＝4，
（3）点N的坐标为（4，4）或（﹣，）或（，）或（，）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和C（0，4），
∴
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）∵点B（4，0）和C（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+4，则0＝4k+4，
解得k＝﹣1．
直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设E（x，﹣x2+x+4），且0＜x＜4，则F（x，﹣x+4），
GH＝EF＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴H（2﹣x，﹣x2+x+4），
∴GF＝EH＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，
依题意得2（﹣x2+2x+2x﹣2）＝11．
解得x＝5（舍去）或x＝3．
∴EH＝4，
（3）令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
解得x＝﹣2或x＝4．
∴A（﹣2，0）．
设直线AC的解析式为y＝px+q，将A（﹣2，0），C（0，4）代入，
解得p＝2，q＝4，
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
∵四边形OENM是正方形，
∴OE＝OM，∠EOM＝90°，分别过点M、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
∠OPM＝∠EQO＝90°，∠OMP＝90°﹣∠MOP＝∠EOQ．
∴△OMP≌Δ EOQ（AAS）．
∴PM＝OQ，PO＝EQ．
设E（m，﹣m2+m+4），
：∴PO＝EQ＝﹣m，PM＝OQ＝m2﹣m﹣4．则M（m2﹣m﹣4，m），
∵点M在直线AC上，
∴m＝2（﹣m﹣4）+4．
解得m＝4或m＝﹣1，
当m＝4时，M（0，4），E（4，0），
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形OENM是正方形，此时N（4，4）：
当m＝﹣1时，M（﹣，﹣1），E（﹣1，），
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
N（﹣1﹣，﹣1），即N（﹣，）．
当OM沿着点O逆时针旋转90°得到OE，如图：
设M（a，b），则点E（b，﹣a），
∵点M在y＝2x+4的图象上，
∴b＝2a+4，则点M（a，2a+4），
此时点E（2a+4，﹣a），
点E在y＝﹣x2+x+4的图象上，
∴，
解得a＝0或﹣，
∴M1 （0，4），E1 （4，0），M2（﹣，﹣1），E2（﹣1，），
当点E为点M绕点O逆时针旋转90°时，点E（﹣b，a），
M（a，2a+4），E（﹣2a﹣4，a），
点E在y＝﹣x2+x+4的图象上，
∴﹣（﹣2a﹣4）2﹣2a﹣4+4＝a，
解得a＝，
∴M1（，），E1（，），
M2（，），E2（，），
∴点N的坐标为（，）或（，），
综上，点N的坐标为（4，4）或（﹣，）或（，）或（，）．
3．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+4，
设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），
∴DH＝﹣n2﹣4n，
∵DH∥OC，
∴＝＝，
∵OC＝4，
∴DH＝3，
∴﹣n2﹣4n＝3，
解得n＝﹣1或n＝﹣3，
∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）设F（t，t+4），
当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，
∵∠DOF＝45°，
∴DF＝DO，
∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，
∴∠NDO＝∠MFD，
∴△MDF≌△NOD（AAS），
∴DM＝ON，MF＝DN，
∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），
∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，
∴D点纵坐标为2，
∴﹣x2﹣3x+4＝2，
解得x＝或x＝，
∴D点坐标为（，2）或（，2）；
当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，
∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，
∴∠LFO＝∠KDF，
∵DF＝FO，
∴△KDF≌△LFO（AAS），
∴KD＝FL，KF＝LO，
∴KL＝t+4﹣t＝4，
∴D点纵坐标为4，
∴﹣x2﹣3x+4＝4，
解得x＝0或x＝﹣3，
∴D（0，4）或（﹣3，4）；
综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．
4．（2021•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）点P的坐标为（1，）或（3，3）；（3）﹣＜n＜或＜n＜5．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，
故点A的坐标为（4，0），则PF＝2，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），
则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1，
解得x＝1或3，
故点P的坐标为（1，）或（3，3）；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，故点Q的坐标为（，n），
当∠ABQ为直角时，如图2﹣1，
设BQ交x轴于点H，
由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，则tan∠BHO＝，
故设直线BQ的表达式为y＝x+t，
该直线过点B（0，3），故t＝3，
则直线BQ的表达式为y＝x+3，
当x＝时，y＝x+3＝5，
即n＝5；
②当∠BQA为直角时，
过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，
∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，
∴∠BQN＝∠MAQ，
∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，
即，则，
解得n＝；
③当∠BAQ为直角时，
同理可得，n＝﹣；
综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，
故点Q纵坐标n的取值范围为﹣＜n＜或＜n＜5．
三．四边形综合题（共1小题）
5．（2021•辽宁）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．
（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．
【答案】（1）AP＝AC；
（2）AB2+AD2＝2AF2；理由见解答；
（3）或．
【解答】解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵α＝120°，即∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠BEP＝60°＝∠B，
由旋转知：EP＝EB，
∴△BPE是等边三角形，
∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，
∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴∠AEP＝∠CBP，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
∴△APE≌△CPB（SAS），
∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，
∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，
即∠APC＝∠BPE＝60°，
∴△APC是等边三角形，
∴AP＝AC；
方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵α＝120°，即∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠BEP＝60°＝∠B，
∴PE∥BC∥AD，
∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴四边形ADQE是菱形，
∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，
∴△AEQ是等边三角形，
∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，
∵四边形BCQE是平行四边形，
∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，
∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，
∴∠AEP＝∠AQC，
∴△AEP≌△AQC（SAS），
∴AP＝AC；
（2）AB2+AD2＝2AF2，
理由：如图2，连接CF，
在▱ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
∵BF⊥EP，
∴∠BFE＝90°，
∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，
∴∠EBF＝∠BEF＝45°，
∴BF＝EF，
∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，
∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，
∴∠CBF＝∠AEF，
∴△BCF≌△EAF（SAS），
∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，
∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，
∴∠ACF＝∠CAF＝45°，
∵sin∠ACF＝，
∴AC＝＝＝＝AF，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+AD2＝2AF2；
（3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，
∵BE＝AB，AB＝CD，
∴AB＝CD＝2BE，
设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，
①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，
过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，
当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，
∴GM＝GN，
∵S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，
＝＝＝＝2，
∴S△CDG＝2S△ADG，
∴S△CDG＝S△ACD＝a2，
由（1）知PE∥BC，
∴∠AEH＝∠B＝60°，
∵∠H＝90°，
∴AH＝AE•sin60°＝a，
∴S△APE＝PE•AH＝a•a＝a2，
∴＝＝．
②如图4，当点E在AB延长线上时，
由①同理可得：S△CDG＝S△ACD＝××2a××3a＝a2，
S△APE＝PH•AE＝×a×3a＝a2，
∴＝＝，
综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．
方法二：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴△AEG∽△CDG，
∴＝（）2，＝，
①当点E在AB上时，
∵BE＝AB，
∴AE＝BE＝AB＝CD，
∴＝（）2＝，
又∵＝＝，
∴＝，即＝3，
∴＝＝3，
当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∵EP＝EB＝AE，EP∥AD，
∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°，
∴△AED≌△EAP（SAS），
∴S△AED＝S△EAP，
∴＝•＝•＝3×＝；
②如图4，当点E在AB延长线上时，
∵BE＝AB，
∴AE＝AB＝CD，
由①知，AD＝AE＝CD，
∵EP＝BE＝AE＝AD，EP∥AD，
∴＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
∴＝＝，
∵＝（）2＝（）2＝，
∴＝••＝××＝；
综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．
四．切线的判定与性质（共2小题）
6．（2023•辽宁）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若BF＝1，sin∠AFE＝，求BC的长．
【答案】（1）详见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠FOE＝∠OAE+∠OEA＝2∠OAE，
∵∠CAB＝2∠EAB，
∴∠CAB＝∠FOE，
又∵∠AFE＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠FOE+∠AFE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°＝∠FOE+∠AFE，
∴∠OEF＝90°，
即OE⊥EF，
∵OE是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r+1，
∵sin∠AFE＝＝＝，
∴r＝4，
∴AB＝2r＝8，
在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝sin∠AFE＝，AB＝8，
∴AC＝×8＝，
∴BC＝＝．
7．（2021•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵BF＝EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠OAE＝∠BAC，
∴∠OEA＝∠BAC，
∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接DE，
∵OC＝9，AC＝4，
∴OA＝OC﹣AC＝5，
∵AD＝2OA，
∴AD＝10，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，
∵DE＝＝＝6，
∴cos∠DAE＝＝＝，
在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴＝，
∴AB＝5，
∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEO＝90°，
∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，
∴∠FEB＝∠OED，
∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，
∴△FBE∽△ODE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．
方法二：解：连接DE，
∵OC＝9，AC＝4，
∴OA＝OC﹣AC＝5，
∵AD＝2OA，
∴AD＝10，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，
∵DE＝＝＝6，
∴cos∠DAE＝＝＝，
在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴＝，
∴AB＝5，
∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，
过F作FH⊥BE于F，
则BH＝6.5，
∵∠B的余弦等于0.6，
∴BF＝6.5÷0.6＝．
五．几何变换综合题（共2小题）
8．（2022•辽宁）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．
（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是 45° ；
（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE＝AE；
（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．
【答案】（1）45°；
（2）证明见解析；
（3）2+2或2﹣2．
【解答】（1）解：∵线段AB绕点A逆时针旋转α至AD，α＝20°，
∴∠BAD＝20°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝×（180°﹣20°）＝80°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝70°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝35°，
∴∠AEB＝∠ADB﹣∠DAE＝80°﹣35°＝45°，
故答案为：45°；
（2）证明：延长DB到F，使BF＝CE，连接AF，
∵AB＝AC，AD＝AB，
∴AD＝AC，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE，
又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△ACE（SAS），
∴∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ADE+∠ADB＝180°，
∴∠ACE+∠ABD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BEC＝360°﹣（∠ACE+∠ABD）﹣∠BAC＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∵∠DEA＝∠CEA，
∴∠DEA＝∠CEA＝90°＝45°，
∵∠ABF+∠ABD＝180°，∠ACE+∠ABD＝180°，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，
∴∠FAE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△AFE中，∠FAE＝90°，
∵cos∠AEF＝，
∴EF＝，
∵EF＝BF+BD+DE＝CE+BD+CE＝BD+2CE，
∴BD+2CE＝AE；
（3）解：如图3，当0°＜α＜90°时，
由（2）可知BD+2CE＝AE，CE＝DE，
∵AE＝2CE，
∴BD+2DE＝2DE，
∴＝2；
如图4，当90°＜α＜180°时，
在BD上截取BF＝DE，连接AF，方法同（2）可证△ADE≌△ACE（SAS），
∴DE＝CE，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABF＝∠ADE，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
又∵∠DAE＝∠CAE，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴∠EAF＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AE，
∴BD＝BF+DE+EF＝2DE+AE，
∵AE＝2CE＝2DE，
∴BD＝2DE+2DE，
∴+2．
综上所述，的值为2+2或2﹣2．
9．（2023•辽宁）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．
（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；
（2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD＝BC；
（3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF：BC＝1：3时，请直接写出的值．
【答案】（1）AD＝EF，理由见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）的值为或．
【解答】（1）解：AD＝EF，理由如下：
连接BE，如图：
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠A＝45°，
∵线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠BCD＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，∠A＝∠CBE＝45°，
∵直线l⊥BC，
∴∠EBF＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BE＝EF，
∴AD＝EF；
（2）证明：如图，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点，
∴∠COB＝90°，AB＝BC，
∵∠BFG＝90°，
∴∠G＝360°﹣∠COB﹣∠OBF﹣∠BFG＝45°＝∠A，
∵BC⊥直线l，EF⊥直线l，
∴BC∥GF，
∴∠CEG＝∠BCE，
∵∠BCE＝90°﹣∠BCD＝∠ACD，
∴∠CEG＝∠ACD，
∵CE＝CD，
∴△CEG≌△DCA（AAS），
∴CG＝AD，
∵AD+BD＝AB，
∴CG+BD＝BC；
（3）解：由EF：BC＝1：3，设EF＝m，则BC＝AC＝3m，
当D在线段AB上时，延长AC交GF于K，如图：
由（2）知△CEG≌△DCA，
∴GE＝AC＝3m，
∵∠CBF＝∠BFE＝∠BCK＝90°，
∴四边形BCKF是矩形，
∴KF＝BC＝3m，∠CKG＝90°，
∴KE＝KF﹣EF＝2m，
∴GK＝GE﹣KE＝m，
∵∠G＝45°，
∴CK＝GK＝m，
∴CE2＝CK2+KE2＝m2+（2m）2＝5m2，
∴S1＝CD•CE＝CE2＝，
∵AC＝BC＝3m，
∴S2＝AC•BC＝，
∴＝；
当D在射线BA上时，延长EG交AC于T，如图：
同理可得BC＝AC＝EG＝3m，
∴FG＝EG﹣EF＝2m，
∵TF＝BC＝3m，
∴TG＝TF﹣FG＝m，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点，
∴∠AOC＝45°，
∵BC∥EF，
∴∠ETC＝90°，
∴CT＝TG＝m，
∴CE2＝CT2+TE2＝m2+（m+3m）2＝17m2，
∴S1＝，
∴＝；
综上所述，的值为或．
六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
10．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【答案】（1）450m；
（2）19.4min．
【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AF于点M，由题意可知，∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝600m，AB＝300m，
在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300m，
∴BM＝AB＝150m＝EF，
∴DE＝DF﹣EF＝600﹣150＝450（m），
答：登山缆车上升的高度DE为450m；
（2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝450m，
∴BD＝
≈
＝562.5（m），
∴需要的时间t＝t步行+t缆车
＝+
≈19.4（min），
答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟．
七．列表法与树状图法（共2小题）
11．（2023•辽宁）6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A（优秀）；B（良好）；C（中）；D（合格）．并将统计结果绘制成如图两幅统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生共有 60 名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）60；
（2）见解答；
（3）480名；
（4）．
【解答】（1）调查的学生共有＝＝60（名）；
故答案为：60；
（2）C合格的人数＝60﹣24﹣18﹣3＝15（名），
（3）1200×＝480（名），
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）画树状图如下：
∴一共有12中等可能的情况，其中一男一女的情况有8种，
∴所选2人恰好是一男一女的概率为＝．
12．（2021•辽宁）为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举革命先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生共有 60 名；
（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为 90° ，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
【答案】（1）60；
（2）90°，15人，补图见解答；
（3）．
【解答】解：（1）本次被调查的学生共有：9÷15%＝60（名）；
（2）B项目的人数有：60﹣9﹣12﹣24＝15（人），
图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝90°；
补全统计图如下：
（3）根据题意列表如下：
小华
小光
小艳
小萍
小华
（小光，小华）
（小艳，小华）
（小萍，小华）
小光
（小华，小光）
（小艳，小光）
（小萍，小光）
小艳
（小华，小艳）
（小光，小艳）
（小萍，小艳）
小萍
（小华，小萍）
（小光，小萍）
（小艳，小萍）
由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好小华和小艳被抽中的情况有2种．
则恰好小华和小艳被抽中的概率是＝．
辽宁省本溪市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一元一次不等式的应用（共1小题）
1．（2023•辽宁）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元．
（1）求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4），点E在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；
（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．
3．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
4．（2021•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
三．四边形综合题（共1小题）
5．（2021•辽宁）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．
（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．
四．切线的判定与性质（共2小题）
6．（2023•辽宁）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若BF＝1，sin∠AFE＝，求BC的长．
7．（2021•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．
五．几何变换综合题（共2小题）
8．（2022•辽宁）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．
（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是 ；
（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE＝AE；
（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．
9．（2023•辽宁）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．
（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；
（2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD＝BC；
（3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF：BC＝1：3时，请直接写出的值．
六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
10．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
七．列表法与树状图法（共2小题）
11．（2023•辽宁）6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A（优秀）；B（良好）；C（中）；D（合格）．并将统计结果绘制成如图两幅统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生共有 名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
12．（2021•辽宁）为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举革命先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生共有 名；
（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为 ，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
辽宁省本溪市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一元一次不等式的应用（共1小题）
1．（2023•辽宁）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元．
（1）求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
【答案】（1）购买每盒A种礼品盒要100元，每盒B种礼品盒要120元；
（2）最少需要购买15个A种礼品盒．
【解答】解：（1）设购买每盒A种礼品盒要x元，每盒B种礼品盒要y元，由题意得，
，
解得：，
答：购买每盒A种礼品盒要100元，每盒B种礼品盒要120元；
（2）设需要购买m个A种礼品盒，则购买（40﹣m）个B种礼品盒，由题意得，
100m+120（40﹣m）≤4500，
解得：m≥15，
答：最少需要购买15个A种礼品盒．
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4），点E在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；
（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）见解答．
（2）EH＝4，
（3）点N的坐标为（4，4）或（﹣，）或（，）或（，）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和C（0，4），
∴
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）∵点B（4，0）和C（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+4，则0＝4k+4，
解得k＝﹣1．
直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设E（x，﹣x2+x+4），且0＜x＜4，则F（x，﹣x+4），
GH＝EF＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴H（2﹣x，﹣x2+x+4），
∴GF＝EH＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，
依题意得2（﹣x2+2x+2x﹣2）＝11．
解得x＝5（舍去）或x＝3．
∴EH＝4，
（3）令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
解得x＝﹣2或x＝4．
∴A（﹣2，0）．
设直线AC的解析式为y＝px+q，将A（﹣2，0），C（0，4）代入，
解得p＝2，q＝4，
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
∵四边形OENM是正方形，
∴OE＝OM，∠EOM＝90°，分别过点M、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
∠OPM＝∠EQO＝90°，∠OMP＝90°﹣∠MOP＝∠EOQ．
∴△OMP≌Δ EOQ（AAS）．
∴PM＝OQ，PO＝EQ．
设E（m，﹣m2+m+4），
：∴PO＝EQ＝﹣m，PM＝OQ＝m2﹣m﹣4．则M（m2﹣m﹣4，m），
∵点M在直线AC上，
∴m＝2（﹣m﹣4）+4．
解得m＝4或m＝﹣1，
当m＝4时，M（0，4），E（4，0），
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形OENM是正方形，此时N（4，4）：
当m＝﹣1时，M（﹣，﹣1），E（﹣1，），
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
N（﹣1﹣，﹣1），即N（﹣，）．
当OM沿着点O逆时针旋转90°得到OE，如图：
设M（a，b），则点E（b，﹣a），
∵点M在y＝2x+4的图象上，
∴b＝2a+4，则点M（a，2a+4），
此时点E（2a+4，﹣a），
点E在y＝﹣x2+x+4的图象上，
∴，
解得a＝0或﹣，
∴M1 （0，4），E1 （4，0），M2（﹣，﹣1），E2（﹣1，），
当点E为点M绕点O逆时针旋转90°时，点E（﹣b，a），
M（a，2a+4），E（﹣2a﹣4，a），
点E在y＝﹣x2+x+4的图象上，
∴﹣（﹣2a﹣4）2﹣2a﹣4+4＝a，
解得a＝，
∴M1（，），E1（，），
M2（，），E2（，），
∴点N的坐标为（，）或（，），
综上，点N的坐标为（4，4）或（﹣，）或（，）或（，）．
3．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+4，
设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），
∴DH＝﹣n2﹣4n，
∵DH∥OC，
∴＝＝，
∵OC＝4，
∴DH＝3，
∴﹣n2﹣4n＝3，
解得n＝﹣1或n＝﹣3，
∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）设F（t，t+4），
当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，
∵∠DOF＝45°，
∴DF＝DO，
∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，
∴∠NDO＝∠MFD，
∴△MDF≌△NOD（AAS），
∴DM＝ON，MF＝DN，
∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），
∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，
∴D点纵坐标为2，
∴﹣x2﹣3x+4＝2，
解得x＝或x＝，
∴D点坐标为（，2）或（，2）；
当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，
∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，
∴∠LFO＝∠KDF，
∵DF＝FO，
∴△KDF≌△LFO（AAS），
∴KD＝FL，KF＝LO，
∴KL＝t+4﹣t＝4，
∴D点纵坐标为4，
∴﹣x2﹣3x+4＝4，
解得x＝0或x＝﹣3，
∴D（0，4）或（﹣3，4）；
综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．
4．（2021•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）点P的坐标为（1，）或（3，3）；（3）﹣＜n＜或＜n＜5．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，
故点A的坐标为（4，0），则PF＝2，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），
则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1，
解得x＝1或3，
故点P的坐标为（1，）或（3，3）；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，故点Q的坐标为（，n），
当∠ABQ为直角时，如图2﹣1，
设BQ交x轴于点H，
由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，则tan∠BHO＝，
故设直线BQ的表达式为y＝x+t，
该直线过点B（0，3），故t＝3，
则直线BQ的表达式为y＝x+3，
当x＝时，y＝x+3＝5，
即n＝5；
②当∠BQA为直角时，
过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，
∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，
∴∠BQN＝∠MAQ，
∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，
即，则，
解得n＝；
③当∠BAQ为直角时，
同理可得，n＝﹣；
综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，
故点Q纵坐标n的取值范围为﹣＜n＜或＜n＜5．
三．四边形综合题（共1小题）
5．（2021•辽宁）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．
（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．
【答案】（1）AP＝AC；
（2）AB2+AD2＝2AF2；理由见解答；
（3）或．
【解答】解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵α＝120°，即∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠BEP＝60°＝∠B，
由旋转知：EP＝EB，
∴△BPE是等边三角形，
∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，
∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴∠AEP＝∠CBP，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
∴△APE≌△CPB（SAS），
∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，
∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，
即∠APC＝∠BPE＝60°，
∴△APC是等边三角形，
∴AP＝AC；
方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵α＝120°，即∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠BEP＝60°＝∠B，
∴PE∥BC∥AD，
∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴四边形ADQE是菱形，
∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，
∴△AEQ是等边三角形，
∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，
∵四边形BCQE是平行四边形，
∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，
∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，
∴∠AEP＝∠AQC，
∴△AEP≌△AQC（SAS），
∴AP＝AC；
（2）AB2+AD2＝2AF2，
理由：如图2，连接CF，
在▱ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
∵BF⊥EP，
∴∠BFE＝90°，
∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，
∴∠EBF＝∠BEF＝45°，
∴BF＝EF，
∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，
∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，
∴∠CBF＝∠AEF，
∴△BCF≌△EAF（SAS），
∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，
∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，
∴∠ACF＝∠CAF＝45°，
∵sin∠ACF＝，
∴AC＝＝＝＝AF，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+AD2＝2AF2；
（3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，
∵BE＝AB，AB＝CD，
∴AB＝CD＝2BE，
设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，
①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，
过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，
当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，
∴GM＝GN，
∵S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，
＝＝＝＝2，
∴S△CDG＝2S△ADG，
∴S△CDG＝S△ACD＝a2，
由（1）知PE∥BC，
∴∠AEH＝∠B＝60°，
∵∠H＝90°，
∴AH＝AE•sin60°＝a，
∴S△APE＝PE•AH＝a•a＝a2，
∴＝＝．
②如图4，当点E在AB延长线上时，
由①同理可得：S△CDG＝S△ACD＝××2a××3a＝a2，
S△APE＝PH•AE＝×a×3a＝a2，
∴＝＝，
综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．
方法二：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴△AEG∽△CDG，
∴＝（）2，＝，
①当点E在AB上时，
∵BE＝AB，
∴AE＝BE＝AB＝CD，
∴＝（）2＝，
又∵＝＝，
∴＝，即＝3，
∴＝＝3，
当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∵EP＝EB＝AE，EP∥AD，
∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°，
∴△AED≌△EAP（SAS），
∴S△AED＝S△EAP，
∴＝•＝•＝3×＝；
②如图4，当点E在AB延长线上时，
∵BE＝AB，
∴AE＝AB＝CD，
由①知，AD＝AE＝CD，
∵EP＝BE＝AE＝AD，EP∥AD，
∴＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
∴＝＝，
∵＝（）2＝（）2＝，
∴＝••＝××＝；
综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．
四．切线的判定与性质（共2小题）
6．（2023•辽宁）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若BF＝1，sin∠AFE＝，求BC的长．
【答案】（1）详见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠FOE＝∠OAE+∠OEA＝2∠OAE，
∵∠CAB＝2∠EAB，
∴∠CAB＝∠FOE，
又∵∠AFE＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠FOE+∠AFE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°＝∠FOE+∠AFE，
∴∠OEF＝90°，
即OE⊥EF，
∵OE是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r+1，
∵sin∠AFE＝＝＝，
∴r＝4，
∴AB＝2r＝8，
在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝sin∠AFE＝，AB＝8，
∴AC＝×8＝，
∴BC＝＝．
7．（2021•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵BF＝EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠OAE＝∠BAC，
∴∠OEA＝∠BAC，
∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接DE，
∵OC＝9，AC＝4，
∴OA＝OC﹣AC＝5，
∵AD＝2OA，
∴AD＝10，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，
∵DE＝＝＝6，
∴cos∠DAE＝＝＝，
在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴＝，
∴AB＝5，
∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEO＝90°，
∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，
∴∠FEB＝∠OED，
∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，
∴△FBE∽△ODE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．
方法二：解：连接DE，
∵OC＝9，AC＝4，
∴OA＝OC﹣AC＝5，
∵AD＝2OA，
∴AD＝10，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，
∵DE＝＝＝6，
∴cos∠DAE＝＝＝，
在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴＝，
∴AB＝5，
∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，
过F作FH⊥BE于F，
则BH＝6.5，
∵∠B的余弦等于0.6，
∴BF＝6.5÷0.6＝．
五．几何变换综合题（共2小题）
8．（2022•辽宁）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．
（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是 45° ；
（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE＝AE；
（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．
【答案】（1）45°；
（2）证明见解析；
（3）2+2或2﹣2．
【解答】（1）解：∵线段AB绕点A逆时针旋转α至AD，α＝20°，
∴∠BAD＝20°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝×（180°﹣20°）＝80°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝70°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝35°，
∴∠AEB＝∠ADB﹣∠DAE＝80°﹣35°＝45°，
故答案为：45°；
（2）证明：延长DB到F，使BF＝CE，连接AF，
∵AB＝AC，AD＝AB，
∴AD＝AC，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE，
又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△ACE（SAS），
∴∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ADE+∠ADB＝180°，
∴∠ACE+∠ABD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BEC＝360°﹣（∠ACE+∠ABD）﹣∠BAC＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∵∠DEA＝∠CEA，
∴∠DEA＝∠CEA＝90°＝45°，
∵∠ABF+∠ABD＝180°，∠ACE+∠ABD＝180°，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，
∴∠FAE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△AFE中，∠FAE＝90°，
∵cos∠AEF＝，
∴EF＝，
∵EF＝BF+BD+DE＝CE+BD+CE＝BD+2CE，
∴BD+2CE＝AE；
（3）解：如图3，当0°＜α＜90°时，
由（2）可知BD+2CE＝AE，CE＝DE，
∵AE＝2CE，
∴BD+2DE＝2DE，
∴＝2；
如图4，当90°＜α＜180°时，
在BD上截取BF＝DE，连接AF，方法同（2）可证△ADE≌△ACE（SAS），
∴DE＝CE，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABF＝∠ADE，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
又∵∠DAE＝∠CAE，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴∠EAF＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AE，
∴BD＝BF+DE+EF＝2DE+AE，
∵AE＝2CE＝2DE，
∴BD＝2DE+2DE，
∴+2．
综上所述，的值为2+2或2﹣2．
9．（2023•辽宁）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．
（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；
（2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD＝BC；
（3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF：BC＝1：3时，请直接写出的值．
【答案】（1）AD＝EF，理由见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）的值为或．
【解答】（1）解：AD＝EF，理由如下：
连接BE，如图：
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠A＝45°，
∵线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠BCD＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，∠A＝∠CBE＝45°，
∵直线l⊥BC，
∴∠EBF＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BE＝EF，
∴AD＝EF；
（2）证明：如图，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点，
∴∠COB＝90°，AB＝BC，
∵∠BFG＝90°，
∴∠G＝360°﹣∠COB﹣∠OBF﹣∠BFG＝45°＝∠A，
∵BC⊥直线l，EF⊥直线l，
∴BC∥GF，
∴∠CEG＝∠BCE，
∵∠BCE＝90°﹣∠BCD＝∠ACD，
∴∠CEG＝∠ACD，
∵CE＝CD，
∴△CEG≌△DCA（AAS），
∴CG＝AD，
∵AD+BD＝AB，
∴CG+BD＝BC；
（3）解：由EF：BC＝1：3，设EF＝m，则BC＝AC＝3m，
当D在线段AB上时，延长AC交GF于K，如图：
由（2）知△CEG≌△DCA，
∴GE＝AC＝3m，
∵∠CBF＝∠BFE＝∠BCK＝90°，
∴四边形BCKF是矩形，
∴KF＝BC＝3m，∠CKG＝90°，
∴KE＝KF﹣EF＝2m，
∴GK＝GE﹣KE＝m，
∵∠G＝45°，
∴CK＝GK＝m，
∴CE2＝CK2+KE2＝m2+（2m）2＝5m2，
∴S1＝CD•CE＝CE2＝，
∵AC＝BC＝3m，
∴S2＝AC•BC＝，
∴＝；
当D在射线BA上时，延长EG交AC于T，如图：
同理可得BC＝AC＝EG＝3m，
∴FG＝EG﹣EF＝2m，
∵TF＝BC＝3m，
∴TG＝TF﹣FG＝m，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点，
∴∠AOC＝45°，
∵BC∥EF，
∴∠ETC＝90°，
∴CT＝TG＝m，
∴CE2＝CT2+TE2＝m2+（m+3m）2＝17m2，
∴S1＝，
∴＝；
综上所述，的值为或．
六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
10．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【答案】（1）450m；
（2）19.4min．
【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AF于点M，由题意可知，∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝600m，AB＝300m，
在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300m，
∴BM＝AB＝150m＝EF，
∴DE＝DF﹣EF＝600﹣150＝450（m），
答：登山缆车上升的高度DE为450m；
（2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝450m，
∴BD＝
≈
＝562.5（m），
∴需要的时间t＝t步行+t缆车
＝+
≈19.4（min），
答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟．
七．列表法与树状图法（共2小题）
11．（2023•辽宁）6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A（优秀）；B（良好）；C（中）；D（合格）．并将统计结果绘制成如图两幅统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生共有 60 名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）60；
（2）见解答；
（3）480名；
（4）．
【解答】（1）调查的学生共有＝＝60（名）；
故答案为：60；
（2）C合格的人数＝60﹣24﹣18﹣3＝15（名），
（3）1200×＝480（名），
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）画树状图如下：
∴一共有12中等可能的情况，其中一男一女的情况有8种，
∴所选2人恰好是一男一女的概率为＝．
12．（2021•辽宁）为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举革命先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生共有 60 名；
（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为 90° ，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
【答案】（1）60；
（2）90°，15人，补图见解答；
（3）．
【解答】解：（1）本次被调查的学生共有：9÷15%＝60（名）；
（2）B项目的人数有：60﹣9﹣12﹣24＝15（人），
图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝90°；
补全统计图如下：
（3）根据题意列表如下：
小华
小光
小艳
小萍
小华
（小光，小华）
（小艳，小华）
（小萍，小华）
小光
（小华，小光）
（小艳，小光）
（小萍，小光）
小艳
（小华，小艳）
（小光，小艳）
（小萍，小艳）
小萍
（小华，小萍）
（小光，小萍）
（小艳，小萍）
由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好小华和小艳被抽中的情况有2种．
则恰好小华和小艳被抽中的概率是＝．
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