辽宁省朝阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

辽宁省朝阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

一．分式的化简求值（共3小题）

1．（2022•朝阳）先化简，再求值：÷+，其中x＝（）﹣2．

2．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．

3．（2021•朝阳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝tan60°．

二．分式方程的应用（共2小题）

4．（2023•朝阳）某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用A，B两种机器人来搬运化工原料．其中A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1000千克所用时间相等．

（1）求A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；

（2）若每台A型，B型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进A，B两种机器人共12台，工厂现有资金45万元，则最多可购进A型机器人多少台？

5．（2021•朝阳）为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多25元，用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，求：每个篮球和足球的进价各多少元？

三．一元一次不等式的应用（共1小题）

6．（2022•朝阳）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．

（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；

（2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？

四．二次函数的应用（共2小题）

7．（2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．

（1）求y与x之间的函数关系式．

（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？

（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

8．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？

（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

五．相似三角形的判定与性质（共1小题）

9．（2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．

六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

10．（2022•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）

七．条形统计图（共1小题）

11．（2021•朝阳）“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，某校对全体学生进行了古诗词知识测试，将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：

（1）求本次抽样调查的人数；

（2）在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数是 　      　；

（3）将条形统计图补充完整；

（4）该校共有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生人数．

八．列表法与树状图法（共2小题）

12．（2022•朝阳）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．

（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 　                　．

（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．

13．（2021•朝阳）为了迎接建党100周年，学校举办了“感党恩•跟党走”主题社团活动，小颖喜欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．

（1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是 　                　；

（2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率．

辽宁省朝阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

参考答案与试题解析

一．分式的化简求值（共3小题）

1．（2022•朝阳）先化简，再求值：÷+，其中x＝（）﹣2．

【答案】x，4．

【解答】解：原式＝•+

＝+

＝

＝

＝x，

∵x＝（）﹣2＝4，

∴原式＝4．

2．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．

【答案】，1．

【解答】解：原式＝[+]•

＝•

＝，

当x＝3时，原式＝＝1．

3．（2021•朝阳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝tan60°．

【答案】；1+．

【解答】解：原式＝÷

＝×

＝．

x＝tan60°＝，代入得：原式＝＝1+．

二．分式方程的应用（共2小题）

4．（2023•朝阳）某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用A，B两种机器人来搬运化工原料．其中A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1000千克所用时间相等．

（1）求A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；

（2）若每台A型，B型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进A，B两种机器人共12台，工厂现有资金45万元，则最多可购进A型机器人多少台？

【答案】（1）A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料；

（2）最多可购进A型机器人4台．

【解答】解：（1）设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料，

根据题意得：＝，

解得：x＝60，

经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意，

∴x+30＝60+30＝90．

答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料；

（2）设购进m台A型机器人，则购进（12﹣m）台B型机器人，

根据题意得：5m+3（12﹣m）≤45，

解得：m≤，

又∵m为正整数，

∴m的最大值为4．

答：最多可购进A型机器人4台．

5．（2021•朝阳）为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多25元，用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，求：每个篮球和足球的进价各多少元？

【答案】每个足球的进价是75元，每个篮球的进价是100元．

【解答】解：设每个足球的进价是x元，则每个篮球的进价是（x+25）元，

依题意得：＝2×，

解得：x＝75，

经检验，x＝75是原方程的解，且符合题意，

∴x+25＝75+25＝100．

答：每个足球的进价是75元，每个篮球的进价是100元．

三．一元一次不等式的应用（共1小题）

6．（2022•朝阳）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．

（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；

（2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？

【答案】（1）每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；

（2）最多可以购买5个篮球．

【解答】解：（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，

根据题意得：，

解得，

∴每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；

（2）设购买m个篮球，

根据题意得：120m+100（10﹣m）≤1100，

解得m≤5，

答：最多可以购买5个篮球．

四．二次函数的应用（共2小题）

7．（2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．

（1）求y与x之间的函数关系式．

（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？

（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；

（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；

（3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．

【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，

由题意可知：，

解得：，

∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；

（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，

解得：x1＝13，x2＝25（舍去），

∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；

（3）w＝y（x﹣8），

＝（﹣5x+150）（x﹣8），

w＝﹣5x2+190x﹣1200，

＝﹣5（x﹣19）2+605，

∵8≤x≤15，且x为整数，

当x＜19时，w随x的增大而增大，

∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．

答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．

8．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？

（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）y＝﹣2x+60；

（2）18元；

（3）当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：

，

解得：，

故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；

（2）根据题意得：

（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，

解得：x1＝18，x2＝22

又∵10≤x≤19，

∴x＝18，

答：销售单价应为18元．

（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200

∵a＝﹣2＜0，

∴抛物线开口向下，

∵对称轴为直线 x＝20，

∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，

∴当 x＝19 时，w有最大值，W最大＝198．

答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．

五．相似三角形的判定与性质（共1小题）

9．（2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．

【答案】（1）见解析；

（2）．

【解答】（1）证明：∵AC是直径，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝90°，

∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠DAF，

∴∠DAF+∠DAC＝90°，

∴OA⊥AF，

∵OA是半径，

∴AF是⊙O的切线；

（2）解：作DH⊥AC于点H，

∵⊙O的半径为5，

∴AC＝10，

∵∠AHD＝∠ADC，∠DAH＝∠CAD，

∴△ADH∽△ACD，

∴，

∴AD2＝AH•AC，

∴AH＝，

∵AD是△AEF的中线，∠EAF＝90°，

∴AD＝ED，

∴AE＝2AH＝．

六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

10．（2022•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）

【答案】旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．

【解答】解：延长DF交AB于点G，

由题意得：

DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，

设AG＝xm，

在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，

∴FG＝＝x（m），

∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，

在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，

∴tan30°＝＝＝，

∴x＝4+4，

经检验：x＝4+4是原方程的根，

∴AB＝AG+BG≈12（m），

∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．

七．条形统计图（共1小题）

11．（2021•朝阳）“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，某校对全体学生进行了古诗词知识测试，将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：

（1）求本次抽样调查的人数；

（2）在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数是 　90°　；

（3）将条形统计图补充完整；

（4）该校共有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生人数．

【答案】（1）120；（2）90°；（3）见解答过程；（4）500．

【解答】解：（1）总人数＝50÷＝120（人）；

（2）阴影部分扇形的圆心角＝360°×＝90°，

故答案为：90°；

（3）优秀的人数为：120﹣30﹣50＝40（人），

条形统计图如图所示：

（4）测试成绩达到优秀的学生人数有：1500×＝500（人），

答：该校1500名学生中测试成绩达到优秀的学生大约有500人．

八．列表法与树状图法（共2小题）

12．（2022•朝阳）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．

（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 　　．

（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是，

故答案为：；

（2）列表如下：

由表知，共有16种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有4种结果，

所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为＝．

13．（2021•朝阳）为了迎接建党100周年，学校举办了“感党恩•跟党走”主题社团活动，小颖喜欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．

（1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是 　　；

（2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率．

【答案】（1）；（2）小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率是．

【解答】解：（1）∵共有4种可能出现的结果，其中是舞蹈社团D的有1种，

∴小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是，

故答案为：；

（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一张是演讲社团C的有6种，

∴小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率是＝．