2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题34平面向量的数量积及其应用（Word版附解析）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题34平面向量的数量积及其应用（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。


专题34平面向量的数量积及其应用
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧


题型归类
题型一：平面向量数量积的基本运算
题型二：平面向量数量积的简单应用
题型三：两平面向量垂直问题
题型四：向量数量积的综合应用
题型五：平面向量的实际应用

培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
【考点预测】
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
【常用结论】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
【方法技巧】
1.计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
2.求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．
3.求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
4.用向量方法解决实际问题的步骤

二、【题型归类】
【题型一】平面向量数量积的基本运算
【典例1】(2021·北京)a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝_________；a·b＝________.
【解析】∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，
∴a＋b＝(4,0)，
∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，
a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.
【典例2】在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||
＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cos θ＝，则·＝________.
【解析】如图所示，

∵＝，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵＝3，
∴＝＋＝＋，
＝－＝－，
又∵||＝4，||＝3，
cos θ＝，
则·＝4×3×＝8，
∴·＝·
＝·－2＋2
＝×8－9＋×42＝－2.
【典例3】在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．①若＝x＋y，则x＋y＝________；②·＝________.
【解析】①∵M是BC的中点，
∴＝，
∵D是AM的中点，
∴＝＋＝＋，
∴x＝，y＝，∴x＋y＝.
②∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，且BM＝1，
∴·＝||||cos∠DBM＝||2＝1.
【题型二】平面向量数量积的简单应用
【典例1】(2020·全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
【解析】将|a＋b|＝1两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.
∵a2＝b2＝1，
∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.
∴|a－b|＝＝
＝＝.
【典例2】(2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
【解析】∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝25－12＋36＝49，
∴|a＋b|＝7，
∴cos〈a，a＋b〉＝＝
＝＝.
【典例3】(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.
【解析】由题意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0.
因为a，b为单位向量，且夹角为45°，
所以k×12－1×1×＝0，解得k＝.
【题型三】两平面向量垂直问题
【典例1】已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．　
【解析】因为⊥，所以·＝0.
又＝λ＋，＝－，
所以(λ＋)·(－)＝0，
即(λ－1)·－λ2＋2＝0，
所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝.
【典例2】已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|a＋2b|＝(　　)
A．2 B．2
C. D．
【解析】因为a－b＝(，)，所以|a－b|＝，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝5，则a·b＝0，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17，所以|a＋2b|＝.
故选C.
【典例3】(多选)设a，b是两个非零向量，则下列命题为假命题的是(　　)
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
【解析】对于A，若|a＋b|＝|a|－|b|，
则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，
得a·b＝－|a||b|≠0，a与b不垂直，所以A为假命题；
对于B，由A解析可知，若a⊥b，则|a＋b|≠|a|－|b|，所以B为假命题；
对于C，若|a＋b|＝|a|－|b|，
则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，
得a·b＝－|a||b|，则cos θ＝－1，
则a与b反向，因此存在实数λ，使得b＝λa，所以C为真命题．
对于D，若存在实数λ，使得b＝λa，
则a·b＝λ|a|2，－|a||b|＝λ|a|2，由于λ不能等于0，
因此a·b≠－|a||b|，则|a＋b|≠|a|－|b|，
所以D不正确．
故选ABD.
【题型四】向量数量积的综合应用
【典例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
【解析】(1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.因为0 所以sin A＝＝＝.
(2)由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，因为a>b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.
故向量在方向上的投影为
||cos B＝ccos B＝1×＝.
【典例2】已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，且m·n＝sin 2C．
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．
【解析】(1)由已知得m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，所以cos C＝.
又0＜C＜π，所以C＝.
(2)由已知及正弦定理得2c＝a＋b.
因为·(－)＝·＝18，
所以abcos C＝18，所以ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，
所以c2＝36，所以c＝6.
【题型五】平面向量的实际应用
【典例1】已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．

【解析】取，为基底，设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b，
∴2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
上面两式相加，得2＋2＝2(a2＋b2)，
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
【典例2】若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ N，F1与F2的夹角为45°，求：
(1)F3的大小；
(2)F3与F1夹角的大小．
【解析】(1)∵三个力平衡，
∴F1＋F2＋F3＝0，
∴|F3|＝|F1＋F2|＝
＝
＝＝1＋.
(2)方法一　设F3与F1的夹角为θ，
则|F2|＝，
即＝，
解得cos θ＝－，
∵θ∈(0，π)，∴θ＝.
方法二　设F3与F1的夹角为θ，
由余弦定理得
cos(π－θ)＝＝，
∵θ∈(0，π)，∴θ＝.
三、【培优训练】
【训练一】在Rt△ABC中，∠C是直角，CA＝4，CB＝3，△ABC的内切圆与CA，CB分别切于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若＝x＋y，则x＋y的值可以是(　　)

A．1 B．2
C．4 D．8
【解析】设△ABC内切圆的圆心为O，半径为r，连接OD，OE，则OD⊥AC，OE⊥BC，所以3－r＋4－r＝5，解得r＝1，故CD＝CE＝1，连接DE，则当x＋y＝1时，P在线段DE上，但线段DE均不在阴影区域内，排除A；在AC上取点M，在CB上取点N，使得CM＝2CD，CN＝2CE，连接MN，所以＝＋，则当点P在线段MN上时，＋＝1，故x＋y＝2.同理，当x＋y＝4或x＋y＝8时，点P不在△ABC内部，排除C，D.
故选B.
【训练二】已知f(x)＝|sin πx|，A1，A2，A3为图象的顶点，O，B，C，D为f(x)与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5.记ni＝·(i＝1,2，…，5)，则n1＋…＋n5的值为(　　)

A. B．45 C. D.
【解析】由图中几何关系可知，OE＝，A2E＝，
OA2＝，A2C＝1，

∴∠A2OC＝30°，∠A2CO＝60°，
∵A3D∥A2C，∴OA2⊥DA3，
即⊥.
则ni＝·＝·(＋)＝·
＝||||cos ，
∴n1＋…＋n5＝3×××5＝.
故选C.
【训练三】定义两个平面向量的一种运算a⊗b＝|a|·|b|sina，b，则关于平面向量上述运算的以下结论中，
①a⊗b＝b⊗a；
②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b；
③若a＝λb，则a⊗b＝0；
④若a＝λb且λ>0，则(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)．
正确的序号是________．
【解析】①恒成立，②λ(a⊗b)＝λ|a|·|b|sina，b，
(λa)⊗b＝|λa|·|b|sina，b，当λ<0时，
λ(a⊗b)＝(λa)⊗b不成立，③a＝λb，则sina，b＝0，故a⊗b＝0恒成立，④a＝λb，且λ>0，则
a＋b＝(1＋λ)b，(a＋b)⊗c＝|1＋λ||b|·|c|sinb，c，(a⊗c)＋(b⊗c)＝|λb|·|c|sinb，c＋|b|·|c|sinb，c＝|1＋λ||b|·|c|sinb，c，
故(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)恒成立．
答案：①③④
【训练四】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值.
【解析】(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝＋，
所以t＝时，|＋|最小，
最小值为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，
m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ
＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，
即θ＝时，sin取得最大值1，
即m·n取得最小值1－.
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝.
【训练五】已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝
(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求c.
【解析】(1)m·n＝sin Acos B＋sin Bcos A
＝sin(A＋B)，
在△ABC中，A＋B＝π－C,0 所以sin(A＋B)＝sin C，
所以m·n＝sin C，
又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cos C＝，
又因为C∈(0，π)，故C＝.
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，
可得2sin C＝sin A＋sin B，
由正弦定理得2c＝a＋b.
因为·(－)＝18，
所以·＝18，
即abcos C＝18，ab＝36.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，
所以c＝6.
【训练六】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
【解析】(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，
所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，
所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos ∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝absin ∠ACB＝2.
四、【强化测试】
【单选题】
1.已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)
A.－ B.0 C.3 D.
【解析】因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.
故选C.
2.已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a·c＝b·c＝2，则c的模为(　　)
A.1 B. C.2 D.2
【解析】由题意知a，b是相互垂直的单位向量，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，设c＝(x，y)，由a·c＝b·c＝2，可得x＝y＝2，即c＝(2，2)，则|c|＝＝2.
故选D.
3. 若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则a－b与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
【解析】|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，等号左右同时平方，
得|a＋b|2＝|a－b|2＝4|a|2，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2a·b＝4|a|2，
所以a·b＝0且|b|2＝3|a|2，
所以|a－b|＝
＝＝|b|，
所以cos〈a－b，b〉＝
＝＝－，
因为〈a－b，b〉∈[0，π]，所以〈a－b，b〉＝.
故选D.
4. 已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为(　　)
A.或
B.或
C.
D.
【解析】由题意得a－2b＝(－2－2k,7)，
∵(a－2b)⊥c，
∴(a－2b)·c＝0，
即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k＋14＝0，
解得k＝6，
∴b＝(6，－3)，
∴e＝±＝±.
故选A.
5. 在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若＝(1,2)，＝(2，t)，则||等于(　　)
A. B．5 C．2 D．20
【解析】由题意知⊥，∴1×2＋2t＝0，
∴t＝－1，∴||＝＝.
故选A.
6. a，b为平面向量，已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
【解析】设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2,4)－(2x,2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0,8)，所以解得
故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－.
故选B.
7. 若向量＝(1，1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A. B．2
C. D．
【解析】由于F1＋F2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F1＋F2|＝＝.
故选C.
8. 已知a，b，c均为单位向量，a与b的夹角为60°，则(c＋a)·(c－2b)的最大值为(　　)
A. B．
C．2 D．3
【解析】设c与a－2b的夹角为θ.因为|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝3，所以|a－2b|＝，所以(c＋a)·(c－2b)＝c2＋c·(a－2b)－2a·b＝1＋|c||a－2b|cos θ－1＝cos θ，所以(c＋a)·(c－2b)的最大值为，此时cos θ＝1.
故选B.
【多选题】
9. (多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(　　)
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a|·|b|
D.|a－b|≤|a|＋|b|
【解析】根据数量积的分配律可知A正确；
B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；
根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正确；
|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确.
故选ACD.
10. 如图，点A，B在圆C上，则·的值(　　)
A.与圆C的半径有关
B.与圆C的半径无关
C.与弦AB的长度有关
D.与点A，B的位置有关
【解析】如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，故·＝||·||·cos∠CAD＝||·||·＝||2，故·的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关.
故选BC.
11. 设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是(　　 )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
【解析】由于b，c是不共线的向量，因此(a·b)c与(c·a)b相减的结果应为向量，故A错误；
由于a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，因此B正确；
由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，故C中两向量垂直，故C错误；
根据向量数量积的运算可以得出D是正确的．
故选BD.
12. 已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为，则|e1＋e2|等于(　　)
A．1 B. C．3 D．2
【解析】设向量e1，e2的夹角为θ，则e1·e2＝cos θ，因为|e1＋λe2|＝＝，且当λ＝－cos θ时，|e1＋λe2|min＝＝，得cos θ＝±，故|e1＋e2|＝＝1或.
故选AB.
【填空题】
13. 设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．
【解析】a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.
14. 已知点M，N满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M，N两点间的距离为________．
【解析】依题意，得|＋|2＝||2＋||2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，故M，N两点间的距离为||＝|－|
＝＝＝4.
15. 若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
【解析】因为|a|＝|a＋2b|，
所以|a|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2，
所以a·b＝－|b|2，
令a与b的夹角为θ.
所以cos θ＝＝＝－.
16. 已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
【解析】由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6.
【解答题】
17. 已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
【解析】(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝＝5.
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
故x＝－3，所以b＝(1，－3)，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b的夹角是.
18. 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
【解析】(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)法一：由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．
由(－t)·＝0，得：
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－.
法二：·＝t2，＝(3，5)，
t＝＝－.
19. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
【解析】(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，所以cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝||||·sin∠ABC
＝×4×3×＝3.
20. 已知向量m＝(sin x，cos x－1)，n＝(cos x，cos x＋1)，若f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在Rt△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A＝90°，f(C)＝0，c＝，CD为∠BCA的角平分线，E为CD的中点，求BE的长．
【解析】(1)f(x)＝m·n
＝sin x·cos x＋cos2x－1
＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin－.
令2x＋∈(k∈Z)，
则x∈(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)f(C)＝sin－＝0，
sin＝，又C∈，
所以C＝.
在△ACD中，CD＝，
在△BCE中，
BE＝＝.
21. 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
【解析】(1)由题设知，＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)方法一：由题设知，＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．
由(－t)·＝0，得
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－.
方法二：·＝t2，＝(3，5)，
t＝＝－.
22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.
【解析】(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，
所以sin A＞0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，
根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋).
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
因此△ABC的面积的最大值为.