2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题37等差数列及其前n项和（Word版附解析）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题37等差数列及其前n项和（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

专题37等差数列及其前n项和
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧


题型归类
题型一：等差数列的基本运算
题型二：等差数列的判定与证明
题型三：等差数列项的性质
题型四：等差数列前n项和性质的应用
题型五：等差数列的前n项和的最值

培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
【考点预测】
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列．
【常用结论】
1.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；
②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
2.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.
【方法技巧】
1.等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．　
2.等差数列的判定与证明方法

3.如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am－n＋am＋n的值．
4.等差数列前n项和的性质
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an；
(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．　
5.求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法
　
二、【题型归类】
【题型一】等差数列的基本运算
【典例1】(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.
【解析】设等差数列{an}的公差为d，
则a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.
解得d＝1.
所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.
【典例2】(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为__________.
【解析】法一(观察归纳法)　数列的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
故前n项和为Sn＝
＝＝3n2－2n.
法二(引入参变量法)　令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.
令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1，2，3，…).
at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.
以下同法一.
【典例3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝a8＝8，则公差d＝(　　)
A. B. C.1 D.2
【解析】∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，
∴S7＝7a4＝0，则a4＝0.
∴d＝＝2.
故选D.
【题型二】等差数列的判定与证明
【典例1】(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】①③⇒②.
已知{an}是等差数列，a2＝3a1.
设数列{an}的公差为d，
则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋d＝n2a1.
因为数列{an}的各项均为正数，
所以＝n，
所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列．
①②⇒③.
已知{an}是等差数列，{}是等差数列．
设数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d＝n2d＋n.
因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.
②③⇒①.
已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
设数列{}的公差为d，d>0，
则－＝－＝d，得a1＝d2，
所以＝＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列．
【典例2】已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝log2(an＋1)．
(1)判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1){bn}是等差数列，理由如下：
b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1，
当n≥2时，bn－bn－1＝log2(an＋1)－log2(an－1＋1)
＝log2＝log2＝1，
∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知，bn＝1＋(n－1)×1＝n，
∴an＋1＝2bn＝2n，
∴an＝2n－1.
【典例3】已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
【解析】(1)由题意可得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，
所以a3＝15.
(2)由已知得＝2，
即－＝2，
所以数列是首项为＝1，公差为d＝2的等差数列，
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝2n2－n.
【题型三】等差数列项的性质
【典例1】设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于(　　)
A．72 B．36 C．18 D．9
【解析】∵a6＋a4＝2a5，
∴a5＝4，
∴S9＝＝9a5＝36.
故选B.
【典例2】在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
【解析】∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，又a6＋a8＝2a7，
∴a7＝a6＋a8，
即a7－a8＝a6＝8.
选C.
【典例3】已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a3＋a4等于(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】因为2an＝an－1＋an＋1，
所以{an}是等差数列，
由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，
a1＋a3＋a5＝3a3＝9，
所以a3＋a4＝3＋4＝7.
故选B.
【题型四】等差数列前n项和性质的应用
【典例1】已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为(　　)
A．100 B．120
C．390 D．540
【解析】设Sn为等差数列{an}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，
所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.
故选A.
【典例2】在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 018的值等于(　　)
A．－2 018 B．－2 016
C．－2 019 D．－2 017
【解析】由题意知，数列为等差数列，其公差为1，所以＝＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1.
所以S2 018＝－2 018.
故选A.
【典例3】(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)

A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
【解析】设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d＝9，首项为a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，解得n＝9，
则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402(块)．
故选C.
【题型五】等差数列的前n项和的最值
【典例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】方法一：设数列{an}的公差为d，则由题意得，解得所以an＝－2n＋17，由于a8＞0，a9＜0，所以Sn取得最大值时n的值是8，故选D.
方法二：设数列{an}的公差为d，则由题意得，解得则Sn＝15n＋×(－2)＝－(n－8)2＋64，所以当n＝8时，Sn取得最大值，故选D.
【典例2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为(　　)
A．6 B．7
C．12 D．13
【解析】因为在等差数列{an}中a1＞0，a6a7＜0，所以a6＞0，a7＜0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，所以S12＞0，S13＜0，所以满足Sn＞0的最大自然数n的值为12.
故选C.
三、【培优训练】
【训练一】（多选）已知定义：在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为等方差数列．下列命题正确的是(　　)
A．若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列
B．{(－1)n}是等方差数列
C．若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)不可能还是等方差数列
D．若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
【解析】若{an}是等方差数列，则a－a＝p，故{a}是等差数列，故A正确；an＝(－1)n时，a－a＝(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，故B正确；若{an}是等方差数列，则由A知{a}是等差数列，从而{a}(k∈N*，k为常数)是等差数列，设其公差为d，则有a－a＝d，由定义知{akn}是等方差数列，故C不正确；若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则a－a＝p，an－an－1＝d，所以a－a＝(an－an－1)(an＋an－1)＝d(an＋an－1)＝p，若d≠0，则an＋an－1＝.又an－an－1＝d，解得an＝，{an}为常数列；若d＝0，该数列也为常数列，故D正确．
故选ABD.
【训练二】多环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由苯和芘稠合而成的一类多环芳香烃，长期食用会致癌．下面是一组多环芳香烃的结构简式和分子式：
名称
萘
蒽
并四苯
…
并n苯
结构简式



…
…
分子式
C10H8
C14H10
C18H12
…
…
由此推断并十苯的分子式为________．
【解析】因为多环芳香烃的分子式中C的下标分别是10，14，18，…，H的下标分别是8，10，12，…，所以多环芳香烃的分子式中C的下标是公差为4的等差数列，设C的下标构成的等差数列为{an}，其公差为d1，则a4＝18，d1＝4，故an＝4n＋2，所以a10＝42.多环芳香烃的分子式中H的下标是公差为2的等差数列，设H的下标构成的等差数列为{bn}，其公差为d2，则b4＝12，d2＝2，故bn＝2n＋4.所以b10＝24，所以并十苯的分子式为C42H24.
【训练三】设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“精致数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“精致数列”，则数列{bn}的通项公式为________．
【解析】设等差数列{bn}的公差为d，由为常数，设＝k且b1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因为对任意正整数n，上式恒成立，所以解得d＝2，k＝，所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N*)．
【训练四】定义向量列a1，a2，a3，…，an从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量(即坐标都是常数的向量)，即an＝an－1＋d(n≥2，且n∈N*)，其中d为常向量，则称这个向量列{an}为等差向量列．这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an.已知等差向量列{an}满足a1＝(1,1)，a2＋a4＝(6,10)，则向量列{an}的前n项和Sn＝____________________.
【解析】因为向量线性运算的坐标运算，是向量的横坐标、纵坐标分别进行对应的线性运算，则等差数列的性质在等差向量列里面也适用，由等差数列的等差中项的性质知2a3＝a2＋a4＝(6,10)，解得a3＝(3,5)，
则等差向量列{an}的公差向量为d＝＝＝＝＝(1,2)，
由等差数列的通项公式可得等差向量列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d
＝(1,1)＋(n－1)(1,2)＝(1,1)＋(n－1,2n－2)
＝(1＋n－1,1＋2n－2)＝(n，2n－1)，
由等差数列的前n项和公式，可得等差向量列{an}的前n项和Sn＝
＝＝
＝＝.
【训练五】在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3，
解得a1＝1，d＝，
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，bn＝，
当n＝1,2,3时，1≤