2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题34平面向量的数量积及其应用（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题34平面向量的数量积及其应用（教师版），共19页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
【考点预测】
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(3)夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
【常用结论】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
【方法技巧】
1.计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
2.求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．
3.求平面向量的夹角的方法
①定义法：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
4.用向量方法解决实际问题的步骤
二、【题型归类】
【题型一】平面向量数量积的基本运算
【典例1】a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝_________；a·b＝________.
【解析】∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，
∴a＋b＝(4,0)，
∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，
a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.
【典例2】在平面四边形ABCD中，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，P为CD上一点，eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|
＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))的夹角为θ，且cs θ＝eq \f(2,3)，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝________.
【解析】如图所示，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，
又∵|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，
cs θ＝eq \f(2,3)，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝4×3×eq \f(2,3)＝8，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)\(AB,\s\up6(→))－\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \f(3,16)eq \(AB,\s\up6(→))2
＝eq \f(1,2)×8－9＋eq \f(3,16)×42＝－2.
【典例3】在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．①若eq \(BD,\s\up6(→))＝xeq \(BA,\s\up6(→))＋yeq \(BC,\s\up6(→))，则x＋y＝________；②eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝________.
【解析】①∵M是BC的中点，
∴eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，
∵D是AM的中点，
∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))，
∴x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,4)，∴x＋y＝eq \f(3,4).
②∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，且BM＝1，
∴eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝|eq \(BD,\s\up6(→))||eq \(BM,\s\up6(→))|cs∠DBM＝|eq \(BM,\s\up6(→))|2＝1.
【题型二】平面向量数量积的简单应用
【典例1】设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
【解析】将|a＋b|＝1两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.
∵a2＝b2＝1，
∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.
∴|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(a2－2a·b＋b2)
＝eq \r(1－－1＋1)＝eq \r(3).
【典例2】已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cs〈a，a＋b〉等于( )
A．－eq \f(31,35) B．－eq \f(19,35) C.eq \f(17,35) D.eq \f(19,35)
【解析】∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝25－12＋36＝49，
∴|a＋b|＝7，
∴cs〈a，a＋b〉＝eq \f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq \f(a2＋a·b,|a||a＋b|)
＝eq \f(25－6,5×7)＝eq \f(19,35).
【典例3】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.
【解析】由题意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0.
因为a，b为单位向量，且夹角为45°，
所以k×12－1×1×eq \f(\r(2),2)＝0，解得k＝eq \f(\r(2),2).
【题型三】两平面向量垂直问题
【典例1】已知向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
【解析】因为eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0.
又eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
所以(λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝0，
即(λ－1)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－λeq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＝0，
所以(λ－1)|eq \(AC,\s\up6(→))||eq \(AB,\s\up6(→))|cs 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))－9λ＋4＝0.解得λ＝eq \f(7,12).
【典例2】已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(eq \r(3)，eq \r(2))，则|a＋2b|＝( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(5)
C.eq \r(17) D．eq \r(15)
【解析】因为a－b＝(eq \r(3)，eq \r(2))，所以|a－b|＝eq \r(5)，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝5，则a·b＝0，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17，所以|a＋2b|＝eq \r(17).
故选C.
【典例3】(多选)设a，b是两个非零向量，则下列命题为假命题的是( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
【解析】对于A，若|a＋b|＝|a|－|b|，
则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，
得a·b＝－|a||b|≠0，a与b不垂直，所以A为假命题；
对于B，由A解析可知，若a⊥b，则|a＋b|≠|a|－|b|，所以B为假命题；
对于C，若|a＋b|＝|a|－|b|，
则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，
得a·b＝－|a||b|，则cs θ＝－1，
则a与b反向，因此存在实数λ，使得b＝λa，所以C为真命题．
对于D，若存在实数λ，使得b＝λa，
则a·b＝λ|a|2，－|a||b|＝λ|a|2，由于λ不能等于0，
因此a·b≠－|a||b|，则|a＋b|≠|a|－|b|，
所以D不正确．
故选ABD.
【题型四】向量数量积的综合应用
【典例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cs(A－B)，sin(A－B))，n＝(cs B，－sin B)，且m·n＝－eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影．
【解析】(1)由m·n＝－eq \f(3,5)，
得cs(A－B)cs B－sin(A－B)sin B＝－eq \f(3,5)，
所以cs A＝－eq \f(3,5).因为0所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝eq \f(4,5).
(2)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(4,5),4\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，因为a>b，所以A>B，则B＝eq \f(π,4)，由余弦定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(2)))eq \s\up12(2)＝52＋c2－2×5c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))，解得c＝1.
故向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影为
|eq \(BA,\s\up6(→))|cs B＝ccs B＝1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2).
【典例2】已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，且m·n＝sin 2C．
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求边c的长．
【解析】(1)由已知得m·n＝sin Acs B＋cs Asin B＝sin(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，所以cs C＝eq \f(1,2).
又0＜C＜π，所以C＝eq \f(π,3).
(2)由已知及正弦定理得2c＝a＋b.
因为eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝18，
所以abcs C＝18，所以ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，
所以c2＝36，所以c＝6.
【题型五】平面向量的实际应用
【典例1】已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
【解析】取eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))为基底，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，
则eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(DB,\s\up6(→))＝a－b，
∴eq \(AC,\s\up6(→))2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
eq \(DB,\s\up6(→))2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
上面两式相加，得eq \(AC,\s\up6(→))2＋eq \(DB,\s\up6(→))2＝2(a2＋b2)，
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
【典例2】若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2) N，F1与F2的夹角为45°，求：
(1)F3的大小；
(2)F3与F1夹角的大小．
【解析】(1)∵三个力平衡，
∴F1＋F2＋F3＝0，
∴|F3|＝|F1＋F2|＝eq \r(|F1|2＋2F1·F2＋|F2|2)
＝eq \r(12＋2×1×\f(\r(6)＋\r(2),2)cs 45°＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2)
＝eq \r(4＋2\r(3))＝1＋eq \r(3).
(2)方法一 设F3与F1的夹角为θ，
则|F2|＝eq \r(F\\al(12)＋F\\al(32)＋2|F1||F3|cs θ)，
即eq \f(\r(6)＋\r(2),2)＝eq \r(12＋1＋\r(3)2＋2×1×1＋\r(3)cs θ)，
解得cs θ＝－eq \f(\r(3),2)，
∵θ∈(0，π)，∴θ＝eq \f(5π,6).
方法二 设F3与F1的夹角为θ，
由余弦定理得
cs(π－θ)＝eq \f(12＋1＋\r(3)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2,2×1×1＋\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
∵θ∈(0，π)，∴θ＝eq \f(5π,6).
三、【培优训练】
【训练一】在Rt△ABC中，∠C是直角，CA＝4，CB＝3，△ABC的内切圆与CA，CB分别切于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若eq \(CP,\s\up6(→))＝xeq \(CD,\s\up6(→))＋yeq \(CE,\s\up6(→))，则x＋y的值可以是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
【解析】设△ABC内切圆的圆心为O，半径为r，连接OD，OE，则OD⊥AC，OE⊥BC，所以3－r＋4－r＝5，解得r＝1，故CD＝CE＝1，连接DE，则当x＋y＝1时，P在线段DE上，但线段DE均不在阴影区域内，排除A；在AC上取点M，在CB上取点N，使得CM＝2CD，CN＝2CE，连接MN，所以eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \f(x,2)eq \(CM,\s\up6(→))＋eq \f(y,2)eq \(CN,\s\up6(→))，则当点P在线段MN上时，eq \f(x,2)＋eq \f(y,2)＝1，故x＋y＝2.同理，当x＋y＝4或x＋y＝8时，点P不在△ABC内部，排除C，D.
故选B.
【训练二】已知f(x)＝eq \f(\r(3),2)|sin πx|，A1，A2，A3为图象的顶点，O，B，C，D为f(x)与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5.记ni＝eq \(OA2,\s\up6(—→))·eq \(OQi,\s\up6(—→))(i＝1,2，…，5)，则n1＋…＋n5的值为( )
A.eq \f(15,2)eq \r(3) B．45 C.eq \f(45,2) D.eq \f(15,4)eq \r(3)
【解析】由图中几何关系可知，OE＝eq \f(3,2)，A2E＝eq \f(\r(3),2)，
OA2＝eq \r(3)，A2C＝1，
∴∠A2OC＝30°，∠A2CO＝60°，
∵A3D∥A2C，∴OA2⊥DA3，
即eq \(OA2,\s\up6(—→))⊥eq \(DA3,\s\up6(—→)).
则ni＝eq \(OA2,\s\up6(—→))·eq \(OQi,\s\up6(—→))＝eq \(OA2,\s\up6(—→))·(eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(DQi,\s\up6(—→)))＝eq \(OA2,\s\up6(—→))·eq \(OD,\s\up6(→))
＝|eq \(OA2,\s\up6(—→))||eq \(OD,\s\up6(→))|cs eq \f(π,6)，
∴n1＋…＋n5＝3×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)×5＝eq \f(45,2).
故选C.
【训练三】定义两个平面向量的一种运算a⊗b＝|a|·|b|sina，b，则关于平面向量上述运算的以下结论中，
①a⊗b＝b⊗a；
②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b；
③若a＝λb，则a⊗b＝0；
④若a＝λb且λ>0，则(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)．
正确的序号是________．
【解析】①恒成立，②λ(a⊗b)＝λ|a|·|b|sina，b，
(λa)⊗b＝|λa|·|b|sina，b，当λ<0时，
λ(a⊗b)＝(λa)⊗b不成立，③a＝λb，则sina，b＝0，故a⊗b＝0恒成立，④a＝λb，且λ>0，则
a＋b＝(1＋λ)b，(a＋b)⊗c＝|1＋λ||b|·|c|sinb，c，(a⊗c)＋(b⊗c)＝|λb|·|c|sinb，c＋|b|·|c|sinb，c＝|1＋λ||b|·|c|sinb，c，
故(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)恒成立．
答案：①③④
【训练四】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ＝eq \f(3π,4)，设点D为线段OA上的动点，求|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最小值；
(2)若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq \(BC,\s\up6(→))，n＝(1－cs θ，sin θ－2cs θ)，求m·n的最小值及对应的θ值.
【解析】(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋t，\f(\r(2),2)))，
所以|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)，
所以t＝eq \f(\r(2),2)时，|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|最小，
最小值为eq \f(\r(2),2).
(2)由题意得C(cs θ，sin θ)，
m＝eq \(BC,\s\up6(→))＝(cs θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cs2θ＋sin2θ－2sin θcs θ
＝1－cs 2θ－sin 2θ＝1－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))，
因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以eq \f(π,4)≤2θ＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
所以当2θ＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，
即θ＝eq \f(π,8)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))取得最大值1，
即m·n取得最小值1－eq \r(2).
所以m·n的最小值为1－eq \r(2)，此时θ＝eq \f(π,8).
【训练五】已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝
(cs B，cs A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求c.
【解析】(1)m·n＝sin Acs B＋sin Bcs A
＝sin(A＋B)，
在△ABC中，A＋B＝π－C,0所以sin(A＋B)＝sin C，
所以m·n＝sin C，
又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cs C＝eq \f(1,2)，
又因为C∈(0，π)，故C＝eq \f(π,3).
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，
可得2sin C＝sin A＋sin B，
由正弦定理得2c＝a＋b.
因为eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，
所以eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝18，
即abcs C＝18，ab＝36.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，
所以c＝6.
【训练六】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cs B，2cs2 eq \f(C,2)－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(7)，c＝2eq \r(3)，求△ABC的面积．
【解析】(1)因为m＝(cs B，cs C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccs B＋(b－2a)cs C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccs B＋(sin B－2sin A)cs C＝0，
sin A＝2sin Acs C，又sin A≠0，
所以cs C＝eq \f(1,2)，而C∈(0，π)，所以∠C＝eq \f(π,3).
(2)由eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))知，eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))，
所以2eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))，
两边平方得4|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝b2＋a2＋2bacs ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcs ∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin ∠ACB＝2eq \r(3).
四、【强化测试】
【单选题】
1.已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A.－eq \f(9,2) B.0 C.3 D.eq \f(15,2)
【解析】因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.
故选C.
2.已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a·c＝b·c＝2，则c的模为( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.2eq \r(2)
【解析】由题意知a，b是相互垂直的单位向量，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，设c＝(x，y)，由a·c＝b·c＝2，可得x＝y＝2，即c＝(2，2)，则|c|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2).
故选D.
3. 若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则a－b与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
【解析】|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，等号左右同时平方，
得|a＋b|2＝|a－b|2＝4|a|2，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2a·b＝4|a|2，
所以a·b＝0且|b|2＝3|a|2，
所以|a－b|＝eq \r(|a－b|2)
＝eq \r(|a|2＋|b|2－2a·b)＝eq \f(2\r(3),3)|b|，
所以cs〈a－b，b〉＝eq \f(a－b·b,|a－b||b|)
＝eq \f(－|b|2,\f(2\r(3),3)|b|·|b|)＝－eq \f(\r(3),2)，
因为〈a－b，b〉∈[0，π]，所以〈a－b，b〉＝eq \f(5π,6).
故选D.
4. 已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
【解析】由题意得a－2b＝(－2－2k,7)，
∵(a－2b)⊥c，
∴(a－2b)·c＝0，
即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k＋14＝0，
解得k＝6，
∴b＝(6，－3)，
∴e＝±eq \f(b,\r(62＋－32))＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5))).
故选A.
5. 在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(2，t)，则|eq \(CD,\s\up6(→))|等于( )
A.eq \r(5) B．5 C．2eq \r(5) D．20
【解析】由题意知eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(CD,\s\up6(→))，∴1×2＋2t＝0，
∴t＝－1，∴|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋－12)＝eq \r(5).
故选A.
6. a，b为平面向量，已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
【解析】设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2,4)－(2x,2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0,8)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－2x＝0，,4－2y＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－2，))
故b＝(1，－2)，|b|＝eq \r(5)，|a|＝2eq \r(5)，cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2－8,\r(5)×2\r(5))＝－eq \f(3,5).
故选B.
7. 若向量eq \(OF1,\s\up6(→))＝(1，1)，eq \(OF2,\s\up6(→))＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A.eq \r(10) B．2eq \r(5)
C.eq \r(5) D．eq \r(15)
【解析】由于F1＋F2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F1＋F2|＝eq \r(（－2）2＋（－1）2)＝eq \r(5).
故选C.
8. 已知a，b，c均为单位向量，a与b的夹角为60°，则(c＋a)·(c－2b)的最大值为( )
A.eq \f(3,2) B．eq \r(3)
C．2 D．3
【解析】设c与a－2b的夹角为θ.因为|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝3，所以|a－2b|＝eq \r(3)，所以(c＋a)·(c－2b)＝c2＋c·(a－2b)－2a·b＝1＋|c||a－2b|cs θ－1＝eq \r(3)cs θ，所以(c＋a)·(c－2b)的最大值为eq \r(3)，此时cs θ＝1.
故选B.
【多选题】
9. (多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是( )
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a|·|b|
D.|a－b|≤|a|＋|b|
【解析】根据数量积的分配律可知A正确；
B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；
根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cs〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正确；
|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确.
故选ACD.
10. 如图，点A，B在圆C上，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值( )
A.与圆C的半径有关
B.与圆C的半径无关
C.与弦AB的长度有关
D.与点A，B的位置有关
【解析】如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，故eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs∠CAD＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·eq \f(\f(1,2)|\(AB,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2，故eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关.
故选BC.
11. 设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
【解析】由于b，c是不共线的向量，因此(a·b)c与(c·a)b相减的结果应为向量，故A错误；
由于a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，因此B正确；
由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，故C中两向量垂直，故C错误；
根据向量数量积的运算可以得出D是正确的．
故选BD.
12. 已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为eq \f(\r(3),2)，则|e1＋e2|等于( )
A．1 B.eq \r(3) C．3 D．2
【解析】设向量e1，e2的夹角为θ，则e1·e2＝cs θ，因为|e1＋λe2|＝eq \r(1＋λ2＋2λcs θ)＝eq \r(λ＋cs θ2＋1－cs2θ)，且当λ＝－cs θ时，|e1＋λe2|min＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(\r(3),2)，得cs θ＝±eq \f(1,2)，故|e1＋e2|＝eq \r(2＋2cs θ)＝1或eq \r(3).
故选AB.
【填空题】
13. 设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．
【解析】a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－eq \f(1,2)，所以a·b＝－1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2×1＝eq \f(5,2).
14. 已知点M，N满足|eq \(MC,\s\up6(→))|＝|eq \(NC,\s\up6(→))|＝3，且|eq \(CM,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))|＝2eq \r(5)，则M，N两点间的距离为________．
【解析】依题意，得|eq \(CM,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))|2＝|eq \(CM,\s\up6(→))|2＋|eq \(CN,\s\up6(→))|2＋2eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))＝18＋2eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))＝20，则eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))＝1，故M，N两点间的距离为|eq \(MN,\s\up6(→))|＝|eq \(CN,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))|
＝eq \r(|\(CN,\s\up6(→))|2＋|\(CM,\s\up6(→))|2－2\(CN,\s\up6(→))·\(CM,\s\up6(→)))＝eq \r(9＋9－2)＝4.
15. 若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
【解析】因为|a|＝|a＋2b|，
所以|a|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2，
所以a·b＝－|b|2，
令a与b的夹角为θ.
所以cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－|b|2,3|b||b|)＝－eq \f(1,3).
16. 已知向量a，b，其中|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
【解析】由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cs θ＝3－2eq \r(3)·cs θ＝0，解得cs θ＝eq \f(\r(3),2).又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(π,6).则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cs θ＝3＋2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝6.
【解答题】
17. 已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
【解析】(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝eq \r(50)＝5eq \r(2).
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
故x＝－3，所以b＝(1，－3)，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(（2，－1）·（1，－3）,\r(5)×\r(10))＝eq \f(\r(2),2)，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b的夹角是eq \f(π,4).
18. 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．
【解析】(1)由题设知eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，1)，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，6)，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，4)．
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(10)，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝4eq \r(2).
故所求的两条对角线的长分别为4eq \r(2)，2eq \r(10).
(2)法一：由题设知：eq \(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t，5＋t)．
由(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得：
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－eq \f(11,5).
法二：eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝teq \(OC,\s\up6(→))2，eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，
t＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(OC,\s\up6(→))|2))＝－eq \f(11,5).
19. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．
【解析】(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，所以cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－6,4×3)＝－eq \f(1,2).
又0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(2π,3).
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝eq \r(13).
(3)因为eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))的夹角θ＝eq \f(2π,3)，
所以∠ABC＝π－eq \f(2π,3)＝eq \f(π,3).
又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|·sin∠ABC
＝eq \f(1,2)×4×3×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3).
20. 已知向量m＝(eq \r(3)sin x，cs x－1)，n＝(cs x，cs x＋1)，若f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在Rt△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A＝90°，f(C)＝0，c＝eq \r(3)，CD为∠BCA的角平分线，E为CD的中点，求BE的长．
【解析】(1)f(x)＝m·n
＝eq \r(3)sin x·cs x＋cs2x－1
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x－eq \f(1,2)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－eq \f(1,2).
令2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，
则x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递增区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．
(2)f(C)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C＋\f(π,6)))－eq \f(1,2)＝0，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，又C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以C＝eq \f(π,3).
在△ACD中，CD＝eq \f(2\r(3),3)，
在△BCE中，
BE＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2－2×2×\f(\r(3),3)×\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(21),3).
21. 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．
【解析】(1)由题设知，eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，1)，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，6)，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，4)．
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(10)，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝4eq \r(2).
故所求的两条对角线的长分别为4eq \r(2)，2eq \r(10).
(2)方法一：由题设知，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t，5＋t)．
由(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－eq \f(11,5).
方法二：eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝teq \(OC,\s\up6(→))2，eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，
t＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(OC,\s\up6(→))|2))＝－eq \f(11,5).
22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(eq \r(2)a－c)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝ceq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→)).
(1)求角B的大小；
(2)若|eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，求△ABC面积的最大值.
【解析】(1)由题意得(eq \r(2)a－c)cs B＝bcs C.
根据正弦定理得(eq \r(2)sin A－sin C)cs B＝sin Bcs C，
所以eq \r(2)sin Acs B＝sin(C＋B)，
即eq \r(2)sin Acs B＝sin A，因为A∈(0，π)，
所以sin A＞0，
所以cs B＝eq \f(\r(2),2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,4).
(2)因为|eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，所以|eq \(CA,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即b＝eq \r(6)，
根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－eq \r(2)ac≥2ac－eq \r(2)ac＝(2－eq \r(2))ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋eq \r(2)).
故△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B≤eq \f(3（\r(2)＋1）,2)，
因此△ABC的面积的最大值为eq \f(3\r(2)＋3,2).