2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题04基本不等式及其应用（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题04基本不等式及其应用（学生版），共9页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能用基本不等式解决简单的最值问题.
3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.
【考点预测】
1.基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
【常用结论】
1.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2).
3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
【方法技巧】
1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)的最值”的问题，先将eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)转化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq \f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.
5.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.
6.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围.
7.根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.
8.解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
9.在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.
二、【题型归类】
【题型一】用配凑法求基本不等式的最值
【典例1】设0A.eq \f(9,4) B．4
C.eq \f(9,2) D．9
【典例2】若xA．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
【典例3】函数y＝ (x>－1)的最小值为________．
【题型二】用常数代换法求基本不等式的最值
【典例1】已知首项与公比相等的等比数列{an}中，满足amaeq \\al(2,n)＝aeq \\al(2,4)(m，n∈N＋)，则eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)的最小值为( )
A.1 B.eq \f(3,2) C.2 D.eq \f(9,2)
【典例2】已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,2b)的最小值是( )
A．1 B．2
C.eq \f(9,4) D.eq \f(9,2)
【典例3】已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
【题型三】用消元法求基本不等式的最值
【典例1】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．
【典例2】若实数x>1，y>eq \f(1,2)且x＋2y＝3，则eq \f(1,x－1)＋eq \f(1,2y－1)的最小值为________．
【典例3】已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝eq \f(2a＋3b,a＋b)( )
A.有最大值eq \f(14,5) B.有最小值eq \f(14,5)
C.有最小值3 D.有最大值3
【题型四】基本不等式的常见变形应用
【典例1】《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)
C.eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)(a>0，b>0)
D.eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)
【典例2】已知01，则下列不等式中成立的是( )
A．a＋bB.eq \r(ab)C.eq \r(2a2＋2b2)<2eq \r(ab)
D．a＋b【典例3】若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2eq \r(ab)
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(2,\r(ab))
D.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
【题型五】利用基本不等式求参数范围
【典例1】已知a>0，b>0，若不等式eq \f(m,3a＋b)－eq \f(3,a)－eq \f(1,b)≤0恒成立，则m的最大值为( )
A．4 B．16 C．9 D．3
【典例2】已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，则实数m的取值范围为________．
【典例3】已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【题型六】基本不等式与其他知识交汇的最值问题
【典例1】在△ABC中，点P满足eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若eq \(AM,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝neq \(AC,\s\up6(→))(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为( )
A.3 B.4 C.eq \f(8,3) D.eq \f(10,3)
【典例2】如果函数f(x)＝eq \f(1,2)(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上单调递减，那么mn的最大值为( )
A．16 B．18 C．25 D.eq \f(81,2)
【典例3】在△ABC中，A＝eq \f(π,6)，△ABC的面积为2，则eq \f(2sin C,sin C＋2sin B)＋eq \f(sin B,sin C)的最小值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3\r(3),4) C.eq \f(3,2) D.eq \f(5,3)
【题型七】基本不等式的实际应用
【典例1】某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60 m，AB＝40 m，且△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10 m，EF＝20 m，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G作一直线分别交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN＝x(m)．
(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；
(2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．
【典例2】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)?
【典例3】如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
三、【培优训练】
【训练一】(多选)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
A.a＋b＋c≤eq \r(3) B.(a＋b＋c)2≥3
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥2eq \r(3) D.a2＋b2＋c2≥1
【训练二】已知a＞0，b＞0，且ab＝1，求eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值；
(2)若a，b∈R，ab>0，求eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值.
【训练三】若x>0，y>0且x＋y＝xy，则eq \f(x,x－1)＋eq \f(2y,y－1)的最小值为________．
【训练四】设a>b>0，则a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,aa－b)的最小值是________．
【训练五】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2eq \r(ab)－4a2－b2的最大值．
【训练六】如图所示，已知树顶A离地面eq \f(21,2)米，树上另一点B离地面eq \f(11,2)米，某人在离地面eq \f(3,2)米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 若x>0，y>0，则“x＋2y＝2eq \r(2xy)”的一个充分不必要条件是( )
A.x＝y B.x＝2y
C.x＝2且y＝1 D.x＝y或y＝1
2. 函数f(x)＝eq \f(x2＋4,|x|)的最小值为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
3. 若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
4. 已知正数a，b满足a＋b＝1，则eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)的最小值为( )
A.eq \f(5,3) B.3 C.5 D.9
5. 已知函数f(x)＝ex在点(0，f(0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a＋2－b的最小值是( )
A.4 B.2 C.2eq \r(2) D.eq \r(2)
6. 若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
7. 设a>0，若关于x的不等式x＋eq \f(a,x－1)≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )
A．16 B．9
C．4 D．2
8. 已知x>0，y>0，且eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,2)，则x＋y的最小值为( )
A．3 B．5
C．7 D．9
【多选题】
9. 若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a＋b≥2eq \r(ab) B．eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(1,\r(ab))
C．eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 D．a2＋b2≥2ab
10. 给出下面四个推断，其中正确的为( )
A．若a，b∈(0，＋∞)，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
B．若x，y∈(0，＋∞)，则lg x＋lg y≥2eq \r(lg x·lg y)
C．若a∈R，a≠0，则eq \f(4,a)＋a≥4
D．若x，y∈R，xy<0，则eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≤－2
11. 已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥eq \f(1,2) B．2a－b>eq \f(1,2)
C．lg2a＋lg2b≥－2 D.eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)
12. 设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2) B.eq \f(2ab,a＋b)>eq \r(ab)
C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b D．(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4
【填空题】
13. 设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S7－S5＝3(a4＋a5)，则4a3＋eq \f(9,a7)的最小值为________.
14. 设P(x，y)是函数y＝eq \f(2,x)(x>0)图象上的点，则x＋y的最小值为________．
15. 函数y＝eq \f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值为________．
16. 若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为________．
【解答题】
17. (1)当x(2)设018. 已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
19. 设a，b为正实数，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2eq \r(2).
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
20. (1)已知0＜x＜eq \f(4,3)，求x(4－3x)的最大值；
(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值．
21. (1)解不等式eq \f(4,x－1)≤x－1；
(2)求函数y＝eq \f(2,x)＋eq \f(9,1－2x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))))的最小值．
22. 某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－eq \f(k,m＋1)(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家获取利润最大，最大利润是多少？