2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题36数列的概念与表示（Word版附解析）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题36数列的概念与表示（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

专题36数列的概念与表示
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧

题型归类
题型一：由an与Sn的关系求通项
题型二：累加法
题型三：累乘法
题型四：数列的单调性
题型五：数列的周期性

培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
【考点预测】
1．数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
【常用结论】
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
2.在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
【方法技巧】
1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式.
2.Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
3.形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
4.形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项.
5.形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
6.形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
7.解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.
8.求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法.
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项.
二、【题型归类】
【题型一】由an与Sn的关系求通项
【典例1】(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是(　　)
A.an＝
B.an＝
C.Sn＝－
D.数列是等差数列
【解析】∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得－＝－1.
∴是以－1为首项，d＝－1的等差数列，
即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
∴Sn＝－.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＋＝，
又a1＝－1不符合上式，
∴an＝
故选BCD.
【典例2】已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②，Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项a1＝－1，q＝2的等比数列.
∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
【典例3】设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.
①求a1的值；
②求数列{an}的通项公式.
【解析】①令n＝1时，T1＝2S1－1，
∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
②n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，
则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1
＝2an－2n＋1.
因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，
所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，
两式相减得an＝2an－2an－1－2，
所以an＝2an－1＋2(n≥2)，
所以an＋2＝2(an－1＋2)，
因为a1＋2＝3≠0，
所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列.
所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，
当n＝1时也成立，
所以an＝3×2n－1－2.
【题型二】累加法
【典例1】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
【解析】因为an＋1－an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
……
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1，
则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也适合，
因此an＝2＋ln n(n∈N*)．
故选A.
【典例2】在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.
【解析】∵an＋1－an＝＝－，
∴当n≥2时，an－an－1＝－，
an－1－an－2＝－，
……
a2－a1＝1－，
∴以上各式相加得，an－a1＝1－，
∴an＝4－，a1＝3适合上式，
∴an＝4－.
【题型三】累乘法
【典例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，其首项a1＝1，且满足3Sn＝(n＋2)an，则an＝______.
【解析】∵3Sn＝(n＋2)an，①
3Sn－1＝(n＋1)an－1(n≥2)，②
由①－②得，3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，
即＝，
∴an＝···…··a1＝×××…××1＝.
当n＝1时，满足an＝，∴an＝.
【典例2】已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.
【解析】∵＝2n，∴当n≥2时，＝2n－1，＝2n－2，
……
＝22，＝2，
∴an＝··…···a1
＝2n－1·2n－2·…·22·2·2
＝21＋2＋3＋…＋(n－1)·2
，
又a1＝2满足上式，
∴an＝.
【题型四】数列的单调性
【典例1】已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　)
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．
故选D．
【典例2】等差数列{an}的公差d＜0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为(　　)
A．5 B．6
C．5或6 D．6或7
【解析】由a＝a，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，
因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，
又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.
因为d＜0，所以{an}是递减数列，
所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，显然前5项和或前6项和最大.
故选C．
【题型五】数列的周期性
【典例1】若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 022的值为(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．－3
C．－ D.
【解析】因为a1＝2，an＋1＝，所以a2＝＝－3，同理可得a3＝－，a4＝，a5＝2，a6＝－3，a7＝－，a8＝，…，可得an＋4＝an，则a2 022＝a505×4＋2＝a2＝－3.
故选B.
【典例2】已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)，则a2 020的值为(　　)
A．2 B．1
C. D.
【解析】因为an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)，
由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由a3＝2，a4＝1，得a5＝，
由a4＝1，a5＝，得a6＝，
由a5＝，a6＝，得a7＝1，
由a6＝，a7＝1，得a8＝2，
由此推理可得数列{an}是周期为6的数列，
所以a2 020＝a4＝1.
故选B.
三、【培优训练】
【训练一】已知各项均为正数的数列{an}满足an＋1－an＝2n，a1＝13，则取最小值时，n＝(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】由an＋1－an＝2n得，
当n＝1时，a2－a1＝2×1，
当n＝2时，a3－a2＝2×2，
…，
第n－1项，an－an－1＝2(n－1)，
累加可得an－a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，
∴an＝n2－n＋13，
∴＝n＋－1≥2－1，当且仅当n＝时取等号，又n∈N*，
∴当n＝3时，＝；
当n＝4时，＝，所以n＝4时，取得最小值.
故选B.
【训练二】(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的有(　　)
A．Tn无最大值 B．an有最大值
C．T2 023＝1 D．a2 023＝1
【解析】因为a1＝1，a2＝3，
anan－2＝an－1(n≥3)，
所以a3＝3，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝3，…
因此数列{an}为周期数列，an＋6＝an，
an有最大值3，
a2 023＝a1＝1，
因为T1＝1，T2＝3，T3＝9，T4＝9，T5＝3，T6＝1，T7＝1，T8＝3，…，
所以{Tn}为周期数列，Tn＋6＝Tn，Tn有最大值9，
T2 023＝T1＝1.
故选BCD.
【训练三】设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(－1)nan＋，则S1＋S3＋S5等于(　　)
A．0 B. C. D.
【解析】数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(－1)nan＋，
当n为偶数时，Sn＝Sn－Sn－1＋，
即有Sn－1＝，所以S1＋S3＋S5＝＋＋＝.
故选D.
【训练四】意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 020项的和为(　　)
A．672 B．673
C．1 347 D．2 020
【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，可得{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，
所以{an}是周期为3的周期数列，
一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2，
因为2 020＝673×3＋1，
所以数列{an}的前2 020项的和为673×2＋1＝1 347，
故选C.
【训练五】若数列{an}满足：对于任意正整数n，{an＋1－an}为单调递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有(　　)
A．an＝3n　　　　　　　　 B．an＝n2＋1
C．an＝ D．an＝ln
【解析】对于A，苦an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不是单调递减数列，故A错误；对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2＋1－n2－1＝2n＋1，所以{an＋1－an}是单调递增数列，不是单调递减数列，故B错误；对于C，若an＝，则an＋1－an＝－＝，所以{an＋1－an}为单调递减数列，故C正确；对于D，若an＝ln，则an＋1－an＝ln－ln＝ln＝ln，由函数y＝ln在(0，＋∞)上单调递减，可知数列{an＋1－an}为单调递减数列，故D正确．
故选CD.
【训练六】设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
【解析】(1)依题意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，
又b1＝S1－3＝a－3，
因此，所求通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2，
所以，当n≥2时，
an＋1≥an⇒12＋a－3≥0⇒a≥－9，
又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.
所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 数列3，6，12，21，x，48，…中的x＝(　　)
A．29　　　　　　　　　　　 B．33
C．34 D．28
【解析】因为6－3＝3＝1×3，12－6＝6＝2×3，21－12＝9＝3×3，所以根据规律可得x－21＝4×3，所以x＝21＋12＝33.同时也满足48－33＝15＝5×3.
故选B.
2. 已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【解析】因为数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，所以a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝.那么a5＝a3·a2＝.
故选A.
3. 在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】“|an＋1|>an”⇔an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，数列{an}为递增数列⇔|an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．
故选B.
4. 已知递增数列{an}，an≥0，a1＝0.对于任意的正整数n，不等式t2－a－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．6
【解析】因为数列{an}是递增数列，又t2－a－3t－3an＝(t－an－3)(t＋an)≤0，t＋an＞0，所以t≤an＋3恒成立，t≤(an＋3)min＝a1＋3＝3，所以tmax＝3.
故选C.
5. 数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　)
A． B．2
C． D．
【解析】由an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，
则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，
则＝＝－，
则＋＋…＋＝2×[＋＋…＋]＝2×＝.
故选C．
6. 已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为(　　)
A．4 B．4－1
C．8 D．9
【解析】由an＋1－an＝2n知a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，
以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，
当n＝1时，a1＝20符合上式，
所以＝n＋－1，n∈N*，
所以n≤4时单调递减，n≥5时单调递增，
因为＝，所以的最小值为＝＝8.
故选C．

7. 在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于(　　)
A．256 B．510 C．512 D．1 024
【解析】在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.所以a6＝a3·a3＝64，a3＝8.所以a9＝a6·a3＝64×8＝512.
故选C.
8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．(2n＋1)2－1 B．(2n＋1)2
C．8n2 D．(n＋1)3
【解析】在4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an中，
令n＝1，得8(a1＋1)＝9a1，所以a1＝8，
因为4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，①
所以4n·(Sn－1＋1)＝(n＋1)2an－1(n≥2)，②
①－②得，4an＝an－an－1，
即an＝an－1，an＝an－1，
所以an＝××…××a1
＝××…××8
＝(n＋1)3(n≥2)，
又a1＝8也满足此式，所以数列{an}的通项公式为(n＋1)3.
故选D.
【多选题】
9. 下列四个命题中，正确的有(　　)
A．数列的第k项为1＋
B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项
C．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为an＝2n－1
D．数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}是递增数列
【解析】对于A，数列的第k项为1＋，A正确；
对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；
对于C，将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…，设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n(n∈N*)，因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，C错误；
对于D，an＝＝1－，则an＋1－an＝－＝>0，因此数列{an}是递增数列，D正确．故选ABD.
10. 若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(a∈N*)，其中是“差递减数列”的有(　　)
A．an＝3n B．an＝n2＋1
C．an＝ D．an＝ln
【解析】对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故A错误；
对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；
对于C，若an＝，则an＋1－an＝－＝，所以{an＋1－an}为递减数列，故C正确；
对于D，若an＝ln，则an＋1－an＝ln－ln＝ln＝ln，由函数y＝ln在(0，＋∞)上单调递减，所以{an＋1－an}为递减数列，故D正确．
故选CD.
11. 已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　)
A．这个数列的第10项为
B.是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间内
D．数列{an}是单调递减数列
【解析】an＝＝
＝，
令n＝10得a10＝，故A错误；
令＝得n＝33∈N*，
故是数列中的项，故B正确；
因为an＝＝＝1－，
又n∈N*.
所以数列{an}是单调递增数列，
所以≤an＜1，故C正确，D不正确．
12. 对于数列{an}，若存在数列{bn}满足bn＝an－(n∈N*)，则称数列{bn}是{an}的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是(　　)
A．若数列{an}是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列
B．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最大值
C．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最小值
D．若an＝1－n，则其“倒差数列”有最大值
【解析】若数列{an}是单增数列，则bn－bn－1＝an－－an－1＋＝(an－an－1)，
虽然有an>an－1，
但当1＋b5>…，
∴{bn}的奇数项中有最大值为b1＝－＝>0，
∴b1＝是数列{bn}(n∈N*)中的最大值，D正确．
故选ACD.
【填空题】
13. 已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
【解析】因为2an＋1＋Sn＝2，①，
当n≥2时，2an＋Sn－1＝2，②，
①式减②式得an＋1＝an，
又当n＝1时，2a2＋S1＝2，a2＝，
所以数列{an}是以1为首项，公比为的等比数列，an＝.
14. 已知数列{an}的通项公式an＝，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak对n∈N*恒成立，则正整数k的值为________.
【解析】an＝，当n≤5时，an>1；
当n≥6时，ana1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，
最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知5a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*).
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知5