2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题28三角函数的图象与性质（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题28三角函数的图象与性质（学生版），共9页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
【考点预测】
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
【常用结论】
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acs ωx＋b的形式.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.
【方法技巧】
1.三角函数定义域的求法：求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．
2.三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
②把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
③利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域．
3.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx的形式．
4.周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)(ω>0)的周期为eq \f(2π,ω)，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为eq \f(π,ω)求解．
5.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
6.已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
二、【题型归类】
【题型一】三角函数的定义域
【典例1】函数y＝eq \f(1,tan x－1)的定义域为________．
【典例2】函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________．
【典例3】函数y＝lg(sin x)＋eq \r(cs x－\f(1,2))的定义域为________.
【题型二】三角函数的值域
【典例1】f(x)＝sin3xcs x－sin xcs3x的最大值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(\r(2),2) D.1
【典例2】当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))时，函数y＝3－sin x－2cs2x的值域为________.
【典例3】函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为________.
【题型三】三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【典例1】下列函数中，以eq \f(π,2)为周期且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增的是( )
A．f(x)＝|cs 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cs|x| D．f(x)＝sin|x|
【典例2】函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)＋φ))＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．
【典例3】设函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \f(3,4)，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称
C．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上的最小值为－eq \f(5,4)
D．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))对称
【题型四】求三角函数的单调区间
【典例1】函数y＝|cs x|的一个单调递增区间是( )
A．[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)] B．[0，π]
C．[π，eq \f(3π,2)] D．[eq \f(3π,2)，2π]
【典例2】设函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π))，则以下结论正确的是( )
A．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上单调递减
B．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增
C．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6)))上单调递减
D．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))上单调递增
【典例3】函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))的单调递减区间为________．
【题型五】根据单调性求参数
【典例1】若函数f(x)＝2eq \r(3)·sin ωxcs ωx＋2sin2ωx＋cs 2ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))上单调递增，则正数ω的最大值为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,6) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
【典例2】若f(x)＝cs x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,2)
C．eq \f(3π,4) D．π
【典例3】若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω＝________．
【题型六】利用单调性比较大小及求值域
【典例1】已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，设a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,7)))，b＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b【典例2】函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(3),2)，\f(3\r(3),2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(3),2)，3))
【典例3】下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cs 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cs 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cs 10°
D．sin 168°＜cs 10°＜sin 11°
三、【培优训练】
【训练一】(多选)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！函数f(x)＝eq \i\su(i＝1,7, )eq \f(sin[（2i－1）x],2i－1)(i∈N*)的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)为周期函数，且最小正周期为π
B．函数f(x)为奇函数
C．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称
D．函数f(x)的导函数f′(x)的最大值为7
【训练二】如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1，y1)，角β＝α＋eq \f(2π,3)的终边与单位圆交于点B(x2，y2)，记f(α)＝y1－y2.若角α为锐角，则f(α)的取值范围是________．
【训练三】已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sin x－eq \r(3)cs2x＋eq \f(\r(3),2).
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
(2)若方程f(x)＝eq \f(2,3)在(0，π)上的解为x1，x2，求cs(x1－x2)的值．
【训练四】已知函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m))上的最大值为eq \f(3,2)，求m的最小值．
【训练五】已知f(x)＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－eq \f(1,2).
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若函数y＝|f(x)|－m在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,24)，\f(3π,8)))上恰有两个零点x1，x2.
①求m的取值范围；
②求sin(x1＋x2)的值．
【训练六】已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的取值集合.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 下列函数中，周期为2π的奇函数为( )
A．y＝sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2) B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cs 2x
2. f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝( )
A．0 B．3
C．－1 D．－2
3. 下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))及eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))及eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是减函数
4. 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)
5. 设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(8π,3)对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝eq \f(π,6)
D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减
6. 已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )
A．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称 B．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)，0))对称
C．关于直线x＝eq \f(π,3)对称 D．关于直线x＝eq \f(5π,3)对称
7. 若函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，则函数g(x)＝cs x－eq \r(3)sin x在区间[a，b]上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值2 D．可以取得最小值－2
8. 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜ω＜1，|φ|＜\f(π,2)))的图象经过点(0，1)，且关于直线x＝eq \f(2π,3)对称，则下列结论正确的是( )
A．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(2π,3)))上是减函数
B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0
C．f(x)≥1的解集是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ，2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z
D．f(x)图象的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))
【多选题】
9. 下列函数中，最小正周期为π的是( )
A.y＝cs|2x| B.y＝|cs x|
C.y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) D.y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))
10. 已知函数f(x)＝sin xcs x＋eq \f(\r(3),2)(1－2sin2x)，则有关函数f(x)的说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称
D.f(x)的最大值为eq \r(3)
11. 已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))单调递增
C.f(x)在[－π，π]有4个零点
D.f(x)的最大值为2
12. 已知函数f(x)＝2sin xcs x－eq \r(3)(sin2x－cs2x)，判断下列给出的四个命题，其中正确的为( )
A.对任意的x∈R，都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))＝－f(x)
B.将函数y＝f(x)的图象向右平移eq \f(π,12)个单位，得到偶函数g(x)
C.函数y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12)))上是减函数
D.“函数y＝f(x)取得最大值”的一个充分条件是“x＝eq \f(π,12)”
【填空题】
13. 比较大小：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))________sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10))).
14. 函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x的最小值为________．
15. 设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)．若f(x)≤f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
16. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))))，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的周期是eq \f(π,2)；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝eq \f(5π,3)是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z.
【解答题】
17. 已知函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))时，求函数f(x)的最大值和最小值．
18. 已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).讨论函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,2)))上的单调性并求出其值域．
19. 已知函数f(x)＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心．
20. 已知函数f(x)＝sin ωx－cs ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的单调性．
21. 已知函数f(x)＝sin(2π－x)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))－eq \r(3)cs2x＋eq \r(3).
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(7π,12)))时，求f(x)的最小值和最大值．
22. 已知函数f(x)＝4tan xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3).
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的单调性．函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，且)) x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)))
递减区间
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
无