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    ( 五年级 )                                         备课教员:***

    第十三讲    最大公因数

    一、教学目标

     

    知识目标

    在解决问题的过程中理解公因数和最大公因数的意义,探索找公因数的方法,会正确找出两个数的公因数与最大公因数。

    能力目标

    1. 渗透集合思想,体验解决问题策略的多样化。

    2. 培养抽象能力和解决问题能力。

    情感目标

    经历探究求两个数最大公因数方法的过程,培养学生分析、归纳等思维能力。激发学生自主学习、积极探索和合作交流的良好习惯。

    二、教学重点:

    理解公因数和最大公因数的意义,会正确的求两个数的最大公因数。

    三、教学难点:

    初步应用求两个数最大公因数的方法解决生活中的简单实际问题。

    四、教学准备:

    PPT

    五、教学过程:

    第一课时(50分钟)

    一、导入(5分)

    【设计意图:从游戏入手,让学生以放松的心态进入学习情境,帮助复习公因数的概念,然后引出最大公因数,锻炼求最大公因数的能力。】

    师:今天老师和大家一起来玩一个游戏。老师手上有一些写有数字的纸,把它

        发给你们。

    生:……

    师:现在你们每人手上都有一个数字,我会喊一个数,凡是你们的数字是我报

        的数字的因数的,都要站起来。听明白了吗?

    生:……

    师:好,大家听好咯。12!

    生:……

    师:16!

    师:为什么有的同学起来了两次呢?大家相互之间讨论一下,再告诉我。

    生:因为两个数有公因数。

    师:那么请你们将两个数公有的因数写出来。

    生:1、2、4

    师:是的,我们把这三个数叫做12和16的公因数。那么你能找出其中最大的

        那个公因数吗?

    生:4

    师:是的。我们把两个数的公因数最大的那个叫做这两个数的最大公因数。所

    以同学们记住,公因数是可以有很多个的,而最大公因数只有一个。那么

    现在请同学们找一找24和16的最大公因数是多少。

    生:是8。

    师:你是用什么方法做的呢?

    生:……

    师:分解质因数再找最大公因数是一个很好的办法,大家也运用得很熟练,但

    是在数字比较大的时候,运用起来就没有那么得心应手了,所以老师今天

        要教大家一个更好的办法。我们一起来看例题一。

    【探究新知,引入新课:
      学生们对因数和公因数有一定的了解,因此我们这节课要让他们明白因数、公因数、最大公因数的区别与联系,会用短除法求最大公因数。并且运用最大公因数解决实际问题。】

    【板书课题:最大公因数】

    二、探索发现授课(40分)

    (一)例题1:(10分)

         有两根木条,一根长35厘米,另一根长30厘米,现在要将它们锯成同样长的小段没有剩余,每段最长是几厘米?

    讲解重点:让学生理解要使剪成的小段同样长,且木条没有剩余,那么每段长

              就是两根木条长度的最大公因数。

    (请一位学生读题)

    师:你从题中找到什么有用的信息?

    生:……

    师:那么要把它们锯成同样长的小段且没有剩余,同学们可以说说你对这句话

        的理解。

    生:……

    师:是的。35和30除以每段的长度正好整除,没有余数。那么这个除数和这两

        个数有什么关系呢?

    生:……

    师:是的。就是公因数。那么问题问每段最长是几厘米,那么是让我们求什么

        呢?

    生:最大公因数。

    师:我们现在不用分解质因数的方法做,老师教你们另一种方法,短除法。先

    看看老师是如何用短除法来求最大公因数的,然后说一说你们观察到的结

    果。

    板书:

        

    (35,30)=5

    答:每段最长是5厘米。

    师:同学们从老师刚刚的计算过程中发现了什么吗?

    生1:35÷5=7,30÷5=6,符号的左边是除数,符号底下是商,而且商是写在对

        应的被除数下面。

    生2:5是两个数的公因数。

    生3:7与6是互质数。

    师:是的,同学们都观察得很仔细。这个符号我们叫做短除号,就是将我们列

    竖式计算时的除号倒过来了。符号左边写上两个数的公因数,符号上是两

    个要求最大公因数的数即被除数,符号下面是商,我们在用短除法求最大

    因数时,短除号下面的商要计算到两个数为互质数为止。将符号左边的公

    因数相乘,求出的就是他们的最大公因数。而将两个数写在小括号内,代

    表的就是求最大公因数。大家一定要记住。我们通过练习1来练习一下。

     

    练习1:(5分)

        用96朵红花和72朵黄花做花束,如果每个花束里红花的朵数相等,黄花的朵数也相等,且没有剩余,最多可以做几个花束?

    分析:

        每个花束里相同颜色花的朵数相等,没有剩余,问最多做几个花束,就是要求最大公因数,利用短除法求。

    板书:

                  

    (96,72)=2×2×2×3=24

    答:最多可以做24个花束。

     

    (二)例题2:(10分)

       有三根铁棒,分别长12厘米、44厘米、56厘米。要把它们截成同样长的小棒(不许剩余),每根小棒最长有多少厘米?

    讲解重点:会用短除法求三个数的最大公因数。

    (请一位学生读题)

    师:你能从题中找出什么已知条件吗?

    生:……

    师:那么问题是让我们求什么呢?

    生:……

    师:那么这个问题就是让我们求这三个数的什么呢?

    生:最大公因数。

    师:是的。我们刚刚学了用短除法求两个数的最大公因数,那么三个数该怎么

    求呢?同学们自己动手试试看。请两位同学来黑板上板书,其他同学在草

    稿纸上做。

    生:

    板书:

       

    (12,44,56)=2×2=4

    答:每根小棒最长有4厘米。

    师:用短除法求三个数的最大公因数与求两个数是一样的方法,只需找出这几

    个数的公因数,用三个数的公因数去除这三个数,直到这三个数没有公共

    的因数为止。

     

    练习2:(5分)

        有一个长方体,长140厘米,宽100厘米,高90厘米。如果要切成同样大的小正方体(没有剩余),那么这些小正方体的棱长最大可以是多少厘米?   

    分析:

        根据题意,要使切成的小正方体没有剩余,且棱长最长,就是求长方体长、宽、高的最大公因数。

    板书:

       

         (140,100,90)=10

    答:这些小正方体的棱长最大可以是10厘米。

     

    三、小结:(5分)

        给定若干个整数,如果有一些数是它们共同的因数,那么这些数就叫做它们的公因数,而其中最大的一个称为这些数的最大公因数。求几个数的最大公因数时,可以运用短除法。

    第二课时(50分)

    一、复习导入(3分)

    【设计意图:通过玩游戏的方式,带入用短除法求最大公因数,让学生从游戏中巩固对短除法理解。以活跃的气氛带动学生学习的积极性。】

    师:同学们,这节课老师要和你们玩一个小游戏。现在把你们分成2个小组,

        自己给你们组取一个组名吧。

    生:……

    师:现在给你们小组法一些小贴纸,贴纸上有数字的,你们两组的贴纸是一样

    的,现在老师出示一个用短除法求最大公因数的题,(出示PPT)只给出了

    三个被除数和一个公因数,每组的伙伴轮流贴一个数,以最快的速度将公

    因数和商贴在相应的位置,最先正确完成的组获胜,可以获得小礼品哦。

    大家明白规则了吗?

    生:……

    师:好,现在开始。

    二、探索发现授课(42分)

    (一)例题3:(10分)

    有一张长方形纸,长48厘米,宽30厘米,如果把它裁成边长为整厘米的最大正方形,并且纸张没有剩余,每个正方形的边长是多少?可以裁多少个这样的正方形?

    讲解重点:理解裁成边长为整厘米的最大正方形,纸张无剩余,就是要求

              长方形长与宽的最大公因数。

    (请学生读题)

    师:从题中你能找出信息?

    生:……

    师:你能说说对如果把它裁成边长为整厘米的最大正方形,并且纸张没有剩

        这句话的理解吗?

    生1:正方形边长是整数且最大。

    生2:正方形的边长是长方形长与宽的最大公因数。

    师:是的。那么如何求它们的最大公因数呢?

    生:用短除法求。

    师:是的。同学们动手试试看,它们的最大公因数是多少呢?

    生:6

    师:那么正方形的边长是多少呢?

    生:6厘米。

    师:嗯。我们再来看第二个问题,该怎么求正方形的个数呢?

    生:……

    师:我们看,长被剪成6厘米一份,可以剪成几份?

    生:8份。

    师:那么宽被剪成几份呢?

    生:5份。

    师:我们把长看成列,那就是一行有8个正方形,宽看成行,一共有5行,那么5行8列,一共有多少个正方形呢?

    生:8×5=40(个)

    板书:

        

    (48,50)=2×3=6

    8×5=40(个)

    答:每个正方形的边长是6厘米。可以裁40个这样的正方形。

     

    练习3(5分)

        有一块长72厘米,宽45厘米的长方形纸板,现将这块纸板裁成同样大小的正方形,不能有剩余,每个小正方形的边长最长是多少?可以裁成多少块?

    分析:

        要将长方形纸板剪成最大的正方形,且没有剩余,那么就是求长与宽的最大公因数,即正方形的边长。

    板书:

       

    (72,45)=3×3=9

    8×5=40(块)

    答:每个小正方形的边长最长是9厘米。可以裁成40块。

     

    (二)例题4:(12分)

    阿博士要将56本语文课本,70本数学课本,84本英语课本平均分成若干堆,每堆中相同课本的数量相等,那么最多可以分成多少堆?每堆中三种课本各有多少本?

    讲解重点:运用短除法求三个数的最大公因数,理解每堆中相同课本的数量

              相等是求每种课本的公因数。最多分成多少堆即求最大公因数。

    (请学生读题)

    师:从题中你找出了哪些有用的信息?

    生:……

    师:说说你对每堆中相同课本的数量相等的理解。

    生:就是求每种课本的公因数。

    师:对。问题说最多可以分成多少堆,又可以怎么理解呢?

    生:就是三种书的最大公因数是多少。

    师:是的,那么同学们自己动手做做看,请两位同学来黑板上做。

    生:……

    师:你们求出的三个数的最大公因数是多少呢?

    生:14

    师:14对应的是哪个量?

    生:分成14堆。

    师:是的。那么我们再来看第二个问题,每堆中三种课本各有多少本,同学们

        知道吗?

    生:语文4本,数学5本,英语6本。

    师:是的,如果大家都是用短除法做的,那么就是我们符号下面的三个数。其

        实也就是每个数的因数中除去最大公因数,剩余因数的乘积。

    板书:

       

    (56,70,84)=2×7=14

    答:最多可以分成14堆。每堆中语文课本、数学课本、英语课本分别有4本、

        5本、6本。

     

    练习4:(5分)

        开学初,学校准备了48个黑板擦,72把扫帚,48个纸篓,平均分给一些班,要求每个班相同物品的数量相等。问最多可以分给几个班?每个班每种物品各有多少? 

    分析:

        根据要求每个班相同物品的数量相等。问最多可以分给几个班?即可知道班级的数量为三个数的最大公因数。

    板书:

       

    (48,72,48)=2×2×2×3=24

    答:最多可以分24个班。每个班黑板擦、扫帚、纸篓分别有2个、3个、2个。

     

    例题5:(选讲)

    把长132厘米,宽60厘米,厚36厘米的木料锯成尽可能大的,同样大小的正方体木块,锯后不能有剩余,能锯成多少块?

    讲解重点:理解要使锯成的正方体木块尽可能大,且大小相同,即找出长方体

              棱长的最大公因数为总的块数。

    (请学生读题)

    师:从题中你找出了哪些有用的信息?

    生:……

    师:说说你对把这块木料锯成尽可能大的,同样大小的正方体木块这句话

        的理解。

    生:就是正方体的棱长是最大的,每个正方体体积相等。

    师:那么锯后不能有剩余又该如何理解呢?

    生:就是求长方体棱长的最大公因数。

    师:是的。求出的最大公因数代表的是什么呢?

    生:是正方体的棱长。

    师:问题是让我们求锯成的块数,该怎么求呢?

    生:将符号下面的数字相乘。

    师:是的,大家自己做一做,说说你的答案。

    板书:

       

    11×5×3=165(块)

    答:能锯成165块。

     

    练习5:(选做)

    李师傅要将一块长36厘米,宽30厘米,高24厘米的长方体木料锯成同样大小的正方体木块,木块的体积最大,并且没有剩余,可以锯成多少块?

    分析:

        长方体木料锯成同样大小的正方体木块,木块的体积最大,并且没有剩余,即求长方体棱长的最大公因数,用短除法求,符号下面三个数的乘积即锯成的块数。

    板书:

       

    6×5×4=120(块)

    答:可以锯成120块。

     

    三、总结:(5分)

        短除法:将被除数写在符号上,符号左边写这几个数的公因数,符号下面写上商。运用短除法求最大公因数时,要除到符号下面几个数没有公因数为止,将符号左边的数相乘,积就是最大公因数。

     

    四、随堂练习:

    1. 有一块长方形布料,长40分米,宽25分米,现在要将它裁成正方形小布块,

       要求块数最少且布料没有剩余,那么裁成的正方形布块面积有多大?

    板书:

         (40,25)=5

           5×5=25(平方分米)

    答:正方形布块的面积有25平方分米。

    1. 有一个三角形公园,三边长分别为498米,612米,528米。计划在公园的

       周围每隔若干米植一棵樟树,并且每两棵之间的距离最远。每两棵树相隔多

       远?

    板书:

          (498,612,528)=6

    答:每两棵树相隔6米远。

    1. 兴趣小组有24个男同学,20个女同学。现要分小组,每个小组男、女同学

       人数分别相等,最多可以分成多少个小组?每个小组至少有多少个男同学?

       多少个女同学?

    板书:

         (24,20)=4

          每组男生:24÷4=6(人) 每组女生:20÷4=5(人)

    答:最多分成4组,每组男生6人,女生5人。

    1. 一个自然数,去除22少2,去除34也少2,这个自然数最大是几?

    板书:

    (24,36)=12

    答:这个自然数最大是12。

    1. 现在有香蕉42千克,苹果112千克,桔子70千克,将每种水果平均分给几

       个班,每班分到的相同水果的数量相等,那么最多分给了多少个班?每个班

       至少分到三种水果各多少千克?

    板书:

         (42,112,70)=14

          42÷14=3(千克) 112÷14=8(千克) 70÷14=5(千克)

    答:最多分给14个班,每个班至少分到3千克香蕉,8千克苹果,5千克桔子。

     


    家庭作业

     

    主管评价

     

     

     

    主管评分

     

     

     

    课后反思

    (不少于60字)

    整体效果

     

     

     

     

     

    设计不足之处

     

     

     

     

     

    设计优秀之处

     

     

     

     

     

     

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