高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.5 空间中的距离同步训练题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.5 空间中的距离同步训练题，共10页。
第一章1.2.5　空间中的距离A级 必备知识基础练1.[探究点一]如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=,E,F分别是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　A.1 B. C. D.2.[探究点三]已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到α的距离为(　　)A.10 B.3 C. D.3.[探究点二·2023华中师范大学附属中学高二阶段练习]Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,则点P到斜边AB的距离是　　　　　. 4.[探究点三]如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　)A.5 B.8 C. D.5.[探究点三](多选题)已知=(0,1,1),=(2,-1,2),BE⊥平面BCD,则(　　)A.点A到平面BCD的距离为B.AB与平面BCD所成角的正弦值为C.点A到平面BCD的距离为D.AB与平面BCD所成角的正弦值为6.[探究点三]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则BD到平面EFD1B1的距离为　　　　　. 7.[探究点三·2023浙江杭州高二期末]若两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量为n=(-1,0,1),则两平面间的距离是　　　　　. 8.[探究点三]在长方体A1B1C1D1-ABCD中,AA1=1,AD=DC=,Q是线段A1C1上一点,且C1Q=C1A1,则点Q到平面A1DC的距离为　　　　　. 9.[探究点二、三]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.(1)求点M到直线AC1的距离;(2)求点N到平面MA1C1的距离.                  B级 关键能力提升练10.已知直线l过定点A(2,3,1),且方向向量为s=(0,1,1),则点P(4,3,2)到直线l的距离为(　　)A. B. C. D.11.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为(　　)A. B. C. D.12.[2023安徽太和高二阶段练习]已知点M(-1,2,0),平面α过A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1)三点,则点M到平面α的距离为　　　　　. 13.已知在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别为BC和AC的中点.PA=2,且PA⊥平面ABC,设Q是CE的中点.(1)求证:AE∥平面PFQ;(2)求AE与平面PFQ间的距离.             14.[2023黑龙江哈尔滨高二阶段练习]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离;(2)求直线FC到平面AEC1的距离.                   C级 学科素养创新练15.已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,点P到β的距离为,点Q到α的距离为2,则P,Q两点之间距离的最小值为(　　)A. B.2 C.2 D.4
1.2.5　空间中的距离1.C　以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则点E(1,1,),F(2,1,),所以|EF|=,故选C.2.D　由已知得=(1,2,-4),故点P到平面α的距离d=.3. 3　以点C为坐标原点,CA,CB,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(4,0,0),B(0,3,0),P(0,0,),所以=(-4,3,0),=(-4,0,),所以点P到AB的距离d==3.4. C　(方法一)以D为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0,12,0),D1(0,0,5).设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0),=(-x,0,0),=(0,-12,5),=(0,0,-5).设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),由n⊥,n⊥,得n·=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,所以a=0,b=c,所以可取n=(0,5,12).又=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为.因为B1C1∥平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.(方法二)因为B1C1∥BC,所以B1C1∥平面A1BCD1,从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求.如图,过点B1作B1E⊥A1B于点E.因为BC⊥平面A1ABB1,且B1E⊂平面A1ABB1,所以BC⊥B1E.又BC∩A1B=B,所以B1E⊥平面A1BCD1,B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离.在Rt△A1B1B中,B1E=,所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为.5.BC　因为BE⊥平面BCD,所以是平面BCD的一个法向量,所以点A到平面BCD的距离为,故A错误,C正确;AB与平面BCD所成角的正弦值为,故B正确,D错误.故选BC.6.　以D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系,则E,F,D1(0,0,1),D(0,0,0),所以=(-,-,0),=(0,-,1).设平面EFD1B1的一个法向量为n=(x,y,z),所以令x=-1,则y=1,z=,所以n=(-1,1,).又,所以所求距离为.7.　依题意,平行平面α,β间的距离即为点O到平面β的距离,而=(2,1,1),所以平行平面α,β间的距离d=.8.　如图,以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则D(0,0,1),C(0,,1),A1(,0,0),C1(0,,0),∴=(0,,0),=(,0,-1),=(,-,0).由题可知,得Q(,0),∴=(,-1).设平面A1DC的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则z=,y=0,∴n=(1,0,),∴点Q到平面A1DC的距离d=.9.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直线AC1的一个单位方向向量为s0=(0,),=(2,0,1),故点M到直线AC1的距离d=.(2)设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),=(0,2,0),=(2,0,-1),则n·=0,且n·=0,即(x,y,z)·(0,2,0)=0,且(x,y,z)·(2,0,-1)=0,即y=0,且2x-z=0,取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量,因为N(1,1,0),所以=(-1,1,-1),故点N到平面MA1C1的距离d=.10.A　因为A(2,3,1),P(4,3,2),所以=(2,0,1),则||=.由点到直线的距离公式得d=.故选A.11.A　如图,以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),∴=(-2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,-2,0).设平面AD1C的法向量为n=(x,y,z),则取z=1,则x=y=2,所以n=(2,2,1),所以点B1到平面AD1C的距离为,故选A.12.　因为M(-1,2,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),所以=(-2,2,-1),=(0,1,-1),=(-1,1,0).设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,1,1),所以点M到平面α的距离为d=.13.(1)证明如图所示,以A为坐标原点,平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴,AC所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.∵AP=2,AB=BC=AC=4,E,F分别是BC,AC的中点,∴A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),E(,3,0),Q(,0),P(0,0,2),∴=(,0),=(,3,0),∴=2.∵无交点,∴AE∥FQ.又FQ⊂平面PFQ,AE⊄平面PFQ,∴AE∥平面PFQ.(2)解由(1)知,AE∥平面PFQ,∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离.设平面PFQ的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,即n·=0,n·=0.又=(0,2,-2),∴n·=2y-2z=0,即y=z.又=(,0),∴n·x+y=0,即x=-y.令y=1,则x=-,z=1,∴n=(-,1,1).又=(-,-,0),所求距离d=.14.解(1)以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),E(1,,0),F(1,,1),∴=(0,1,0),=(-1,1,-1),=(0,,-1),=(-1,,0),=(-1,,0),=(0,,0).取a==(0,1,0),u=(-1,1,-1),a2=1,a·u=,则点B到直线AC1的距离为.(2)∵=(-1,,0),∴FC∥EC1,而FC⊄平面AEC1,EC1⊂平面AEC1,∴FC∥平面AEC1,∴点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离.设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),则∴取z=1,则x=1,y=2,∴n=(1,2,1).又=(0,,0),∴点F到平面AEC1的距离为.15.C　作PM⊥β,QN⊥α,垂足分别为M,N.分别在平面α,β内作PE⊥l,QF⊥l,垂足分别为E,F,如图所示,连接ME,NF,则ME⊥l,∴∠PEM为二面角α-l-β的平面角.∴∠PEM=60°.在Rt△PME中,||==2,同理||=4.又,∴||2=4+||2+16+2+2+2=20+||2+2×2×4cos120°=12+||2.∴当||2取最小值0时,||2最小,此时||=2.